积累经验·丰富理解·关注选择——一元二次方程的解法选择探析

□浙江省杭州市景芳中学 吴洁慧

积累经验·丰富理解·关注选择
——一元二次方程的解法选择探析

□浙江省杭州市景芳中学 吴洁慧

一、问题的发现和提出

一元二次方程的解法及其应用是中考必考内容。例如2014年杭州中考第22题：菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，BD=4，动点P在线段BD上从点B向点D运动，PP′⊥AB于点P′，四边形PFBG关于BD对称。四边形QEDH与四边形PFBG关于AC对称，设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S1，未盖住部分的面积为S2,BP=x. （1）用含x代数式分别表示S1S2; （2）若S1=S2,求x.

中考考查的内容更倾向于一元二次方程的计算，也就是作为求解工具融合在综合性题目中进行考查。因此，教师和学生往往会更加注重对解一元二次方程的操练，但是这种机械的训练往往会忽略了学生对于解法选择的理解。因此，除了整体的教学思路和对知识本身的溯源，我们还应关注学生对一元二次方程的解答原理的理解情况。

在求解不同的一元二次方程时，学生是否能够根据不同情况选择使用比较合适的解法进行解答？学生在用配方法或者公式法求解一元二次方程时，是否能理解相应解法的原理？在遇到可多种方法求解的问题时，学生更倾向哪种方法？

在浙教版八年级下教材的第二章一元二次方程的解法教学结束后，对于求解这道题“2x2+3x+1=0”，笔者统计了一下自己所教两个班级81名学生中此题的方法选择和各方法的正确率。其中选择配方法的有32人约占39.5%，公式法的有23人约占28.4%，十字相乘因式分解法的有21人约占25.93%，其他5人，三种解法的正确率分别是50%、74%、86%。

在期中考前复习该章节内容时，复习卷中有这样一题：“解下列方程：2x2+5x+2=0”。笔者带着困惑统计了一个年级386个学生，其中选择配方法的有78人约占20.2%，公式法有188人约占48.7%，因式分解的87人约占22.5%，其他33人。三种解法的正确率分别是55.13%、81.9%、94.3%。

最后的期中考后一个练习中，安排了“x2-7x+10=0”。一个年级386个同学，其中选择配方法的有102人约占26.4%，公式法有138人约占35.8%，因式分解的114人约占29.5%，其他32人，三种解法的正确率分别是54.9%、78.5%、92.1%。

为何配方法错误率很高？又为何明明配方法错误率高学生还乐此不疲？笔者随机采访了一些学生，得到了匪夷所思的答案：“因为配方法复杂，太难！”教师们想当然地觉得因式分解的十字相乘法非常好用，尽管课标没有要求，教材也没有要求，但是几乎所有老师都补充教学了，结果却令人费解。到底是什么原因？我们教师又应该如何处理这样的情况？

二、问题的原因分析

1.学生对一元二次方程解法的理解的采访记录。关于为什么教师认为的因式分解法快捷正确率高，而不少学生却会选用正确率不高的复杂的配方法，笔者随机采访了一些学生，得到了这样的答案：

师：你为什么选择配方法？

生1：因为配方法复杂，太难！

生2：因为老师说配方法很重要！

师：你为什么不选因式分解法？

生3：因为十字相乘老师说课标不要求！就没认真听。

生4：因为十字相乘法不懂。

生5：因为因式分解法不是所有方程都可以用，但是配方法可以。

师：那为什么不用公式法，公式法也是所有方程都可以用啊！

生5：公式没记住，没背出来。

越是复杂的方法由于学生花费理解的精力更多，反而记忆更加深刻，再一次说明了数学活动经验积累的重要性。而绝大多数学生对于求根公式的理解就只限于“工具性理解”。

2.一元二次方程配方法错误原因分析：（1）常数项移向变号出错；（2）添的常数项出错；（3）方程左边因式分解错误；（4）转化成一元一次方程后计算错误。

3.学生对一元二次方程解法的理解加深需要时间。不同于学习过程，理解不是简单化、线性化或者链条式地累积，而是非线性螺旋式地上升发展出来的。因此，随着时间的推移，学生解方程的次数的增加，即活动经验的积累，必然会从“工具性理解”向“关系性理解”转化发展。而这个过程的进度即发展速度部分是可根据教师的引导而有所不同。

三、问题的教学对策

1.重视一元二次方程解法选择专题训练。

在解一元二次方程时，我们应当仔细观察方程的形式特点和系数特点，选取较合适的方法来解一元二次方程，这样有利于减少计算量，从而提高计算的正确性：

（1）没有一次项的，形如ax2+c＝0，可以使用直接开平方法。

（2）没有常数项的，形如ax2+bx＝0,可以使用因式分解中的提取公因式法。

（3）三项都有，且二次项系数为1时，首先考虑利用十字相乘法因式分解，若不能进行因式分解，可以考虑配方法。

（4）三项都有，且二次项系数不为1的，一般可以用公式法。

通过探究性学习，使学生经历知识发生发展的过程；通过变式训练，达到知识方法本质的认识；通过总结，引导学生主动构建知识网络，实现“关系性理解”。

2.重视还原一元二次方程的历史。通过做PPT、数学小报，丰富对于一元二次方程概念的理解和变量、等式之间的关系，来加强过程性教学。如开展拓展性学习“几何法求解一元二次方程”，介绍历史上一些一元二次方程的几何解法：欧几里得解法，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米的解法，三国时期赵爽的解法，也可以借此培养学生的数形结合思想。

3.重视求解过程中数学思想的渗透和提炼。著名数学家莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解的题转化为已经解过的题。”数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。转化，是一种重要的数学思想方法，解一元二次方程的基本思路就是运用了“转化”的思想，即把待解决的问题（一元二次方程），转化转化为已解决的问题（一元一次方程）。直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中都渗透了这一思想。

有些一元二次方程问题，可根据其特点，采用整体处理的方法，不仅可避免复杂的计算，而且还达到了解决问题的目的。例如：解方程（x+3）2=15+15x，将（x+3）看作一个整体，移项后提取公因式得到（x+3）（x+3-5）=0，这就是整体的思想方法，利用整体思想可以培养学生的逻辑思维能力。

我们在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论。分类讨论是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在初中数学学习中占有重要的位置，教师务必要加以重视。分类讨论一般分为以下三步。第一步，根据题目需要确定分类的标准；第二步，根据分类的标准进行求解；第三步，对分类讨论结果进行合并，综合得出结论。例如：解方程（x+3）2=（9-2x）2，平方后相同若底数相同，则有x+3=9-2x，若底数相反，则有x+3=-9+2x，综合可得：x1=2，x2=12。再比如，公式法的使用，先要进行分类，当判别式△=b2-4ac大于等于0时才可以使用公式法求解，这本身就是分类讨论思想的体现。

数学思想是数学解题的精髓，是学习数学的方向盘。解题时恰当地运用数学思想可使思路开阔，方法简便快捷，同时又为今后学习可化为一元二次方程的其他多元高次方程、一元二次不等式、二次函数等知识打下基础。因此，我们一定要重视教学过程中数学思想的渗透，并且在进行教学的过程中要善于引导学生不断地进行总结和积累。

4.重视求解过程中数学能力的培养和提高。在中学数学教学过程中，不仅要传授数学知识，使学生具备数学基础知识的素养，还要重视对学生的数学能力的培养。

数学能力是人们在从事数学活动时所必需的各种能力的综合，而其中数学思维能力是数学能力的核心。我们知道，人类的活动离不开思维。钱学森教授曾指出：“教育工作的最终机智在于人脑的思维过程。”思维活动的研究，是教学研究的基础，数学教学与思维的关系十分密切，数学教学就是指数学思维活动的教学，数学教学实质上就是学生在教师指导下，通过数学思维活动，学习数学家思维活动的成果，并发展数学思维，使学生的数学思维结构向数学家的思维结构转化的过程。因此，在数学教学中要重视发展学生的数学思维，培养学生的数学思维能力。

在教学过程中，课堂内我们要学生先行、交流其中、教师断后，而课后我们必须及时积累经验、丰富理解、关注选择，只有这样，才能做到真正理解数学、理解学生、理解教学。