论高等数学在经济分析中的应用

苏丽（吉林华桥外国语学院 吉林 长春 130117）

论高等数学在经济分析中的应用

苏丽
（吉林华桥外国语学院 吉林 长春 130117）

目前，金融经济水平在飞速发展，经济数学在金融领域中也显示出了越来越重要的作用。一些金融类高校在经济数学的教学过程会把经济数学有效地结合到金融经济专业课中，这也会导致未来经济数学的教学改革。数学方法在现代经济理论的分析中可以用大量的数理模型从理论框架和实验检验这两个方面不断推动现代经济分析的完善以及发展。本文从金融经济中的实际问题展开，结合专业课的内容，对经济数学在金融经济分析里的应用进行一些探讨。

经济数学；经济分析；数学模型

1.引言

由于现代社会经济的发展壮大，对一些金融与经济类的专业问题也逐渐从过去的定性分析转而成为定量和定性相结合的分析方式。而广泛地应用数学方法和理论可以解决许多实际的经济问题，可以将复杂转为简单，可以更精确地表达研究出来的成果，金融与经济分析中引入数学方法可以更好地推动自身的发展。

社会经济行为和经济现象作为现代经济分析的对象很难在人为控制的环境中进行反复的实验，因为受到了多方面诸如政治、社会、文化等的影响因素的牵制表现出了巨大的动态演变性和问题复杂性。此外，数学工具在有些问题上也产生了一些滥用和误用现象，这些问题还需要在实际中的使用进行不断改进和完善，以此更好地将数学工具应用到经济分析中。

2.数学在金融与经济分析中的影响和作用

经济分析的形成和发展与引入数学方法是密不可分的，在经济学中数学已经占据着越来越重要的地位，尤其在是构建大量的数理分析模型以及计量经济学方法的应用，从理论分析和实证检验这双重方面都进行着严密和准确的分析，从而推动现代经济分析的发展和进步。

2.1 数学方法使经济分析可以简化研究的对象，能够根据复杂的社会经济现象中的关键变量和关键因素来讨论它们之间的因果关联。在这里数学方法发挥了三种作用：一是着重关键变量，忽视次要变量。将数量和种类都简化，让变量之间的分析和因果分析尽可能显得简便；二是观察关键变量，分析社会经济的总体特征以及运作规律，排除次要因素的阻碍和不利影响；三是紧扣人类经济活动还有社会经济中的重要特征，观察社会经济现象和人类经济活动的关联和特征规律。

2.2 引入数学方法利于统一与完善现代经济分析法，更好地描述经济分析中的一些基本理论和概念。因为数学方法有着严密和逻辑性强的特征，对经济分析方法是弥补性的一个工具，能够准确地定义经济分析中的一些基本的概念比如是需求、供给、效用、偏好等词，使用这些概念可以避免产生歧义与学术争辩；规范经济分析，能够在各方面促进经济分析方法的发展和补充，配合与促进；对经济分析的原理可以进行科学系统的阐述、说明与论证，明确原理使用的边界和条件，比如萨伊定理、供求原理、凯恩斯定理等。

2.3 引入数学方法还可以在一定条件下对经济分析里的相关的结论和未知命题进行逻辑上的合理验证，证明真伪。采用数学工具可以从假设条件中得出一个一致性的推导结论，验证推理过程是否具有准确性和逻辑性，然后对过程验证是证实还是证伪；数学方程可以对设定的经济环境作出精确的描述，能除去模糊的状态，清晰地界定变量之间的复杂关系；对经济分析结论作出逻辑检验，然后对特定结论或者命题的前提条件进行分析，最后验证真伪。

2.4 引入数学方法能够拓宽经济分析的思路和框架，科学地描述出人类经济活动以及社会经济现象，避免模糊与误差问题，把之前没有或者难以纳入到人类经济或者社会活动中的现象纳入到了现代经济分析框架中来，拓展了现在理论和分析的框架解释范围；弥补了定性或者描述性的研究工作在精确方面的欠缺，增加了准确度和提高了解释力；综合比较了不同的理论和分析的框架，能促进现代经济分析不断进步发展，构建新理论与解释框架，对现在新出现的一些相关经济活动作出科学合理的解释；还为各个经济活动的主体比如企业、政府以及个体消费者等提供了方法论的工具。

2.5 引入数学方法能够对金融与经济分析中获得的许多命题、原理以及定理进行恰当的检验，分析经济现状是否吻合现实的人类经济活动和社会经济，构建出计量经济分析模型，做出假设检验和参数估计，观察现实数据和理论模型的拟合程度；根据数学方法选择样本数据以及经典案例，以此提供合理、可靠、科学和准确的验证证据；将实证中分析出的结论用数学的手法进行理论解析和对策分析，评价经济结论、命题与原理。

3.数学理论在经济学中的基本应用

在经济数学中，微积分里的极限，导数和微分方程以及线性代数里的矩阵等都是十分重要的，也是经济问题中研究与解决问题的基本方法。

3.1 运用函数模型研究经济问题

作为经济数学的基础，函数经常被运用来解决经济中的实际问题。比如用经济数学知识去研究在市场关系中的供求问题，人们的价值观、消费水平、商品的可替代程度、价格等都是市场中的影响因素，尤其价格是最重要的因素。因此，用函数构造需求和供给的关系。

一般来说，需求函数是一个减函数，价格上涨会引起需求量的减少。供给函数是一个增函数，价格上涨会带动供给量增加。在市场经济的供需变化中，价格是使供需两方达成一致的成交价格，也就是说价格决定问题。在产品价格和技术水平不变的情况下，就自然形成了成本与产量之间的成本函数关系：C(x)=C0+C1(x)。而收入是生产方生产商品得到的收入，因为生产商品的时候和成本有关，还和商品收入有关，商品销量和收入的关系形成了收益函数关系R(x)=xp，利润则是生产方在售出商品后扣除成本之后的剩余部分，是产量函数。

3.2 极限理论在经济分析中的应用

很多数学理论和概念将极限理论作为一个基础才能引导出许多结论来，因此说极限理论就是经济数学的灵魂。有句古话“一尺之棰，日取其半，万世不竭”就是对极限理论的一个精准描述。而且，极限思想在经济数学中的金融管理、经济管理和经济分析的领域中也占有了非常重要的地位，比如经济中许多事物增长衰减的一个定律，人口增长以及设备折旧的价值等都用到了极限思想。还有经济学里的储蓄连续复利更是具体体现了极限思想在经济数学中的重要分析应用。

3.3 导数在经济分析中的应用

在经济学中导数也有边际的概念，从而使经济学研究对象从常量变为了变量，这也是数学理论的一个极为经典的运用，在经济学中有着重要的含义。

边际函数包括边际收益函数、边际成本函数、边际需求函数以及边际利润函数等，用导数来研究变化率的问题能够准确反映出微小变化发生的自变量和因变量，比如用来研究人口问题、种群变化率的问题等。实质上，边际分析就是用导数来研究经济学中函数的变化量的，即为自变量发生在实际含义里的微小变化的时候，相应的因变量所产生的变化量。举一个成本函数的例子，先算出一个产品在固定产量下的边际成本，这个成本也就是再生产出一个这种产品花费的成本量，对比平均成本，根据结果决定该产品生产量究竟该扩大还是缩小，也就是说，边际成本如果低于平均成本的话，那么需要扩大生产，而边际成本高于平均成本则应该减少生产量。此外，导数还可以用来研究经济分析中的弹性问题，也就是函数的相对变化率问题。

举例来说，一个工厂对其生产的产品情况作出大量的统计和分析后得到总利润L(Q)(元)和每月的产量Q(吨)之间的关系是：L=L(Q)=250Q-5Q2，设每月产出比如20吨，25吨，35吨的边际利润，然后作出经济学中的解释。边际利润函数L´(Q) =250-10Q，则L´(Q)|Q=20=L´(20)=50，L´(Q)|Q=25=L´(25)=0，L´(Q)|Q=35=L´(35)=-100。这个结果说明，当生产量为每月20吨的时候增加一吨就会使利润增加50元；而当产量为每月25吨的时候，再加一吨，利润则不变；当产量为每月35吨的时候，再加一吨，那么利润会减少100元。这个结果充分说明了，对生产方而言，不是说生产的产品数越多利润就越高。

导数还经常用在经济中的最优选择问题中，这是经济决策中的重要根据，也是相当重要的。最优化问题包括了最大利润、最优收入分配、最佳资源配置和最大经济效益等问题，其中还用到了求极值的数学基本方法。举例来说，设某工厂一个月生产某产品Q件时, 总共花费成本为C(Q)=200+5Q(万元), 所得总收益为R(Q)=10Q-0.01Q2, 计算每个月生产数为多少时能够获得最大利润？根据题意知：L(Q)=R(Q)-C(Q)=10Q-0.01Q2-5Q-200=5Q-0.01Q2-200(0≤Q<1)，令L´(Q)=5- 0.02Q=0得Q=250。又因为L"(Q)=-0.02<0，L"(250)<0。因此，L(250)=425(万元) 是L一个极大值，所以当每月生产250件产品的时候，能够获得最大利润是425万元。

3.4 微分方程在经济问题中的实际应用

在一些实际问题中经常遇到十分复杂的函数关系，如何能够客观地运用函数建立反应量与量之间的关系是一个重要的问题。但是建立变量和导数或者微分之间的关系却是比较容易的，因此用到了微分方程。微分方程就是一个方程中含有自变量、未知函数和它的导数或者微分。在经济学的分析中是经常能用到微分方程的，比如可以用于商品销售的预测当中，可以建立微分方程，其中商品增长速度已知，可以算出销售量；预测可再生资源产量；分析商品在市场中的供需关系函数；分析国民收入、投资和储蓄的问题等等。

另外，经济学中还可能碰到关于两个或者两个以上更多自变量的函数问题，这样就先把一个变量看作是常量，按照一个变量的方法先解决出该问题，通常可用偏导数的理论还解决。更复杂的问题还可以同微分、全微分等的知识来求解。比如说计算近似值，可以利用微分中的推到公式求出。

4.数学在金融领域的主要应用

4.1 资产估价模型

不同时间点上，现金流动无法直接进行互相加减的比较，所以资金是具有时间价值的。美国经济学家欧文就提出了资产目前的价值和未来现金流量贴现值之和相等这一思想，建立了资产估价模型的基础，最简单的模型也就是复制公式：投资未来时刻设为t的现金流量是C(t)，贴现率R(t)，期数n，总现值PV，那么PV=∑C(t)[1+R(t)]-1，这个表达式就是用来计算证券投资价值资本化的基础，具有多种表现形式。美国投资理论家威廉斯有提出了贴现现金流模式DCF，说明了股票内在价值和未来股息贴现值之和相等：P(t)=∑∞k=1D(t+k)(1+i)-(1+k)，P是时刻t的股票价格，D(t+k)是时刻t+k时获得股息，i是贴现利率。之后以此公式为基础还产生了其他条件下的价值模型，比如股息零增长模型、固定收入证券价值模型等。

4.2 证券投资组合模型

由于金融市场的不确定性，在投资时候要注意和收益会存在时间的滞后，这样就有很多未来不确定性的因素影响，可能导致投资者资金亏损，这就是投资风险。用数学工具来表达，股票未来价格是一个随机变量，不同时间的股票不能比较价格，因此将价格序列转化为百分数表示的收益率序列表，将收益率作为随机变量就能用数学处理了。比如收益率R的数学期望E(R)是未来收益率的点值预测，R的方差D(R)=σ2用来测量未来实际收益率和预期收益率中偏离程度的数字特征,也就是采用方差(或者标准差)衡量关于投资风险的大小。

4.3 均值方差模型

用这个模型可以将金融学由描述性科学转为分析性的科学，也就是投资组合选择理论。当投资时候选择全部风险资产，模型的表述就是：X=(x1,x2,…,xn)T是一个n维的投资向量,而xi(1≤i≤n)是投资比例；I=(1,1,…,1) T；E(R)=[E(R1),E(R2)…E(Rn)]T，其中E(Ri)(i=1,2,…,n)是资产的期望收益率。

5.数学在现代经济学中面临的问题以及前进方向

数学工具在经济学中也存在一些相应的问题，具体分析数学在经济学中所面临的问题以及未来的方向。

5.1 引入数学方法会导致经济分析对象过于复杂或者过于简单化，弱化了经济分析的能力。因为在实际问题中，除了社会现象的一些关键因素和关键变量，还有其他的许多非关键变量与次要变量，但是也有可能转变为主要因素或者关键变量，因此变量之间的相互演化会对现在的经济分析方法产生不利影响。

5.2 引入数学方法虽然利于经济分析方法的完善和统一，但是也会导致教条化，使得很多基本的概念和原理脱离了社会现象与人类活动这个实际范围。因为数学本身强大的逻辑性和严密性也会产生对其他学科的研究方法的排挤效应，各个可能使用的分析工具之间会有冲突、矛盾以及不相协调的现象，这样导致了思路的混乱。

5.3 虽然数学方法可以对各种经济分析出的命题、原理、定理等进行实证检验，但是如果收集样本数据的方式有限，技术也有限，那么这种验证也只是理想中的准确度，现实无法达到真正的准确，存在着在假定的条件下对经济中相关问题和结论不能够证实的可能性。

5.4 引入数学方法虽然会扩大现在的经济分析思路在人类活动以及社会现象中的描述，但是也会出现泛数学化、泛模型化等超出数学解释的应有的边界，这样会严重阻碍人类的思想进步。人类活动中的实际情况并不会是预算中那么准确的，在有些方面无法用数学精准刻画，过度定量的话将会导致过于简单地裁决了现实中多重复杂的问题。

5.5 那么如何针对以上问题进行提升和改进呢？

（1）必须做到提高使用数学方法的合理性、科学性以及严谨性，严防数学工具被滥用或者误用。完善数学分析的手段和工具；准确掌握社会经济中许多变量的演变规律，区别多重变量的类型，避免滥用变量进行关于因果和相关的分析；在分析经济问题时不能放弃其他好的科学方案，可以试着把数学方法和其他的方法合并利用。

（2）运用数学原理的时候要确保充分地认识与了解了某些方面的局限性和存在的不足问题，避免产生误差和偏差导致结果的错误。防止数学工具被非定义领域内滥用或者误用，严防歧义造成的概念偏差。对无法用数学工具表达的原理和结论要给予尊重，恪守科学上的多样化研究方法原则。

（3）要牢记数学方法主要是为了研究经济活动中的人类活动和社会现象，不是某种技能的显现和脱离现实的教条。经济分析中的理论和结论都要对人类活动和社会现象能够作出一定程度上合理的解释，如果数学方法在其中成为了摆设或者是教条都会丧失本身的应用价值。在使用过程中必须保持案例分析的代表性和典型性，确保数据真实可靠性，尽可能消除掉在验证过程中产生的偏差，从实际出发而不是简单地套用，这样才能提升数学在经济学中的有效应用。

（4）数学方法中还需不断推动和改善才能得到更好的应用，成为研究现代经济分析的可靠的工具，要紧随时代不停地扩宽思路和框架，提高关于经济学理论的解释力。充分研究定量和定性之间的优势，并做配合与补充，提升分析中的科学性与精确性。把之前未被纳入或者很难纳入的一些人类活动和社会现象纳入到现代经济分析中，摆脱僵化思想的束缚。适应时代需求，开发出更新更好的分析工具，为使用这些工具的企业、政府以及消费者提供更好、更科学、更先进的理论工具。

6.结语

通过分析复杂的社会经济系统中含有的经济变量之间产生的联系、演变规律以及产生的影响效果，现代经济分析能够进一步地研究出经济运作中的一般规律，还可以为决策主体提供可靠的理论和实践经验作为参考。数学方法在经济分析中占据着非常重要的地位，准确的应用会提升经济分析的科学性、可靠性和准确性。数学的理论思想和计算方法可以被广泛应用于许多学科领域中，对于经济和金融的领域更是离不开数学的理论思想来分析和解决问题。经济现象通常有许多的影响因素，这门学科也是不容易被量化和定性分析的，并且还具有一定规律的周期性。因此，用数学方法对其进行分析和预测是十分必要的。金融类高等院校所教授的经济数学是起着核心作用的基础学科，和金融经济等学科交叉渗透，对金融、管理和会计等专业课的学习提供了充足的数学知识。随着数学学科、金融数学以及经济学科的进步，数学与这些学科会越来越紧密地进行融合，共同促进走向成熟。

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