单自由度非线性振动等效线性化法分析

陈俭勇

摘  要：对于单自由度非线性振动的微分方程的求解方法很多，但等效线性法是一种处理简单、实用的方法。其对于研究如单摆等弱非线性问题的精度是可以满足要求的。当前关于单摆式运动的研究不断深入和创新，形成能够使主体结构耗能减震的TMD阻尼器。

关键词：非线性振动;等效线性化;单摆;TMD阻尼器

中图分类号：O322 文献标识码：A

1 引言

工程系统可以分为线性系统和非线性系统，对于线性系统的动力微分方程的求解已经有很成熟和精确的方法。但对于非线性系统的动力微分方程的求解还没有精确的方法，现在形成并应用的有相平面法，摄动法，数值法，其中一种方法-等效线性化法由于处理简单常被应用研究弱非线性问题。本文将详细分析和研究等效线性化法处理思路和应用。

2 等效线性化法

（1） 等效线性化法简介

非线性振动系统的微分方程可以概括为：

， 为小量。（1）

当 时，   （2）

方程（1）的一次近似解设为 ，

可将非线性力 展开成傅里叶级数并仅保留基频;

（3）

其中，

将其带入方程（1）可得：

（4）

因此，可记为：

这样，就可以将非线性系统化为形式上的线性系统即：

-为等效阻尼系数， -为等效刚度系数，则有，系统的固有频率为： ，系统的阻尼比为：

系统的解为：

（2） 等效线性化方法的最优性

当假设系统作简谐振动时，在 的一个周期 内考虑非线性力与等效线性力误差的平方累计：

（6）

以 代入（5）式则有，

为确定△的极值，分别对 和 取偏导数有：

（7）

从上式可知，当且仅当（5）成立时有 ， ，故此时 有极值，再分别对（7）式求二阶倒数可知：

， ，

由高等数学的极值定律可知，（5）式给出的 ， 使 取极小值。

因此，假设的简谐振动时等效线性化力逼近非线性力时的误差平方和累计最小。故此时等效线性化具有最优性。

3 单摆的非线性振动

单摆系统的振动微分方程为：

当摆角不大时可写成：

将右端非线性力展开成傅里叶级数：

由上述推导知：

得等效线性系统为：

单摆的振动虽然简单，但近年来，工程师发现单摆可以运用到结构的耗能减

震中，并取得了良好的效果。如下图的悬吊摆式TMD，通过控制摆长可以调节其频率并有效地起到主体结构的减震作用。

图1 悬吊摆式阻尼器

4 空腔楼盖内置FPS-TMD结构减震

随着人们对摆动研究工作的深入，开发出了多种形式的阻尼器。诸如下图的摩摆式阻尼器，它克服了悬吊式阻尼器的所需空间大的缺点，可以在小空间内并可以采用特殊形式的支座来进行调谐达到结构减震的目的。

图中，1-半径为r的底座滑道，2-质量为m的滑块，

3-结构楼板质量为mn

该摩块的振动微分方程可以描述为：

此非线性微分方程可以采用上述的等效线性化的方法进行近似求解。

近年，高层结构为了节约混凝土的用量研究出了空腔楼板，作者未来在此领域想利用空腔的内置空间，结合摩摆式阻尼器的原理，在空腔内设置FPS-TMD阻尼器以期达到既经济又满足结构耗能减震的双重目的。

参考文献：

[1] 陈立群.关于单自由度非线性谐迫振动等效线性化方法的注记[J].长沙大学学报，2003（4）.

[2] 陈立群.等效线性化方法的最优性[J].力学与实践，1996 （1）.

[3] 陈予恕.非线性振动[M].天津：天津科学技术出版社，1983.

[4] 秦丽等.TMD对结构地震响应控制效果的研究[J].世界地震工程，2010 （1）.

[5] 龚大林.现浇钢筋混凝土薄壁空腔楼盖的理论分析[D].武汉理工大学，2010.

（本文审稿  张端丹）