小学计算教学中的问题及其思考

程 华

（咸阳师范学院数学与信息科学学院，陕西 咸阳 712000）

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（下文简称“新课标”）中又重新提出了“运算能力”，并成为十个核心概念之一，强调数学课程应当注重发展学生的运算能力。数学教育应当促进学生积极地思考，能否更有效地促进学生的思维发展，也已经成为评判数学课成功与否的重要标准。[1]小学阶段的计算教学地位举足重轻，那么，这些理念与要求，转化、体现在具体的计算教学当中，一线教师存在哪些问题？学习的本质在于变化，在看似平淡的计算学习中，学生应该发生哪些变化？本文结合“国培”等培训中对小学数学教师的调研，对此进行分析和探讨。

一、小学计算教学中一些突出的问题及其分析

小学阶段数学教学总课时大约1000课时，计算教学授课时数大约700课时，第一学段一至三年级，计算授课的节数约占据课时80%之多。然而，调研中我们深切感受到，教师在计算教学的理解以及实施上，还存在一些问题。

1.对“运算能力”理解存在偏差，计算教学的思维价值发挥不够充分

调研中我们发现，一些教师对“运算能力”理解片面，将“运算能力”等同于运算技能。具体表现为：把提高学生“运算能力”简单化为算得快、算得准，精力主要放在大量的程序化训练上。比如，讲授计算规则后，让学生反复操练，要求100以内的加减法等简便运算达到“脱口而出”的自动化程度；对计算准确率过分强调，一些学生为保险便一律列竖式运算，不注重整体分析；重视运算法则的记忆，却在运算意义的了解以及算理、算法的理解上节省时间，重“算法”而轻“算理”。

【教学片段1】《两位数乘两位数》

教师由现实情境导入，列出算式“24×12”。教师引导学生基本理解了“两位数乘两位数”的算理，并初步掌握了列竖式的计算方法。

布置拓展题：计算下列各式，并观察你得到的结果，比较各个算式与其结果，你能发现什么规律吗？12×11= 13×11= 15×11= 45×11= 63×11=

在下课铃响之前的半分钟还没有成形的结果，教师很无奈地告诉学生，“大家仔细看，一个两位数乘11，乘积就是将那个数‘两边一拉，中间一加’，现在你们知道了吗？记住这是一种快速巧算的方法”。[2]

案例中，教师更看重巧算的方法，却没有突出计算中归纳的思维，而这类现象绝非个别。这种过于重视结果的教学，会对学生产生怎样的影响呢？蔡金法曾对小学六年级的中美学生用计算题、简单问题、过程受限的复杂问题、过程开放的复杂问题进行测试，结果显示：中国学生在计算题与简单问题解决方面占绝对优势，但在复杂问题解决上却并没有体现出优势。研究表明：具备良好的双基并不一定自动转化为解决问题尤其是解决非常规、开放复杂问题的能力。[3]用过多的练习训练学生精准计算的能力，会使学生急于完成作业，无暇反思思维。有关研究也显示：“如果一个人能很好地用数量方式思维，就需要一个基本意义，而不是无数个自动反应，操作并不发展意义，重复并不引起理解。”[4]学会计算应该是能用数量的方式思维，对习题快速反应，不一定说明已达到更高水平的理解。

新课标中明确指出：“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。”也就是说，“运算能力”有三方面，“正确地运算”只是其一，还应有“理解运算的算理”，能够根据条件“寻求”到“合理简洁”的“运算途径”。教师对“运算能力”认识偏差，数学考试中计算结果又影响太大，致使教师双基过度，这直接反映到计算教学的目标设定、教学设计、实施以及对学生的评价上，计算教学的思维价值没能得到充分发挥。

2.算法多样化成为算法自由，影响了技能目标的达成

随着新课程改革的推进，很多教师已经认识到快速、准确地计算不应是计算教学的唯一目标，教学中“自主尝试—小组交流—全班反馈”，算法多样化与算法优化也呈现常态化。然而，我们发现实施的效果并不尽如人意。

比如，课堂上教师启发：“还有不同方法吗？”“你是怎么想的？”教师组织学生交流，不断询问：“谁能把你的方法说一下？”“为什么？”“你真行！”鼓励学生展示自己的思维过程。但是，随后访谈中我们却看到，一些学生只知道自己的办法，并不清楚其他同学的，掌握多种方法的学生并不多；有时课堂活跃、方法多样，但是测试结果却错误频频。算法多样成了算法自由，学生技能目标达成不理想。

实施“算法多样化”并不必然发展学生的思维，原因何在？我们发现效率不高的课堂往往具有以下特点：其一，教学中缺失引导学生相互沟通的语言；其二，板书中未能整理多种方法，及时总结计算法则；其三，教师没有引导学生优化各种方法，有的多样化算法缺乏迁移价值，反而冲淡了好的方法，等等。总之，在尊重学生与对多样化算法的归纳提升上、在算法多样与算法优化的平衡等方面，还存在不足。

3.重计算而对计算中蕴含的数学推理突出不足

长期以来，小学数学计算往往被认为主要是算，推理则属于高级形式的心智活动，一些教师对计算中蕴含的推理认识与重视不够。事实上，计算与推理相通。新课标中提倡“算法优化”，强调“运算能力”还包含能够根据条件“寻求”到“合理简洁”的“运算途径”，要“寻求”到“合理简洁”，必须依赖推理观察和导向。因此，提高学生运算能力，不可能离开推理，即使小学计算也必须重视推理。

例如，“已知正方形的面积是5平方分米，求这个正方形的内切圆面积”。学生如果按思维定式，就会认为求圆的面积需要先求R，但是开方没学过，解题受阻。实际上，已知（2R）2=5，求πR2=？经推理就可知如果学生缺少或者不善于用整体思维推理，就表现出运算能力不强。

【教学片断2】

师：23×11= 35×11= 46×11=

生：（列竖式运算）可以先用两位数乘10，再加上这个数。

师：16×22= 21×33= 13×44= 12×66=

（学生没有发现什么规律，又列竖式运算）

师：这几道题和上面这些题是有联系的，这些题都可以转化为乘11，然后照规律去做。

16×22=16×2×11=32×11，21×33=21×3×11=63×11……

生：这么麻烦，还不如竖式运算呢。

案例中，竖式运算方法是自动的操作程序，而推理、转化的方法对后续学习更有价值。这里，为什么学生要具体算，却没想到借助题目的相关性解决？可能与其对计算的认识有关。如果学生认为，计算就是按照教的法则做题，自然就按部就班地运算，注意不到其内部的联系。所以，如果学生的模仿练习过多，忽视其中蕴含的推理，就容易导致学生不习惯寓理于算，不能有意将计算转为推理。

案例中我们也注意到，学生要获取“正确”的算法往往不难，但是，要迅速判断方法是否“合理简洁”并不容易。帮助学生快速“寻求”并确定出“合理”“简洁”的方法，操作层面上教师该如何“做”，的确需要在实践中的摸索。

二、教学建议

基于上述分析不难得出，小学计算教学既有关知识、技能，又包含思维、方法以及学习的习惯。小学生学习计算的过程，也是发生变化的过程。对此我们提出几点建议。

1.实施算法多样化和算法优化要重视实效

新课标中关于算法多样化和算法优化的教学建议是：“教师不要急于评价各种算法，应引导学生通过比较各种算法的特点，选择适合于自己的方法。”即提倡用学生喜欢的方法，但教师仍有责任给学生推荐好的方法，而好的方法应当是师生交流的结果。可见，实施效果，取决于教师能否处理好教师指导与学生自主、个体最优化与群体多样化之间的关系。

首先，教师要善于引导学生沟通，在与同学方法的比较中选择合理、简便的办法。比如，教师启发：“与他的方法相同或差不多的还有吗？”“谁听懂了？你能解释吗？”“你的方法与他的不同在哪儿？”这样介入，帮助学生学习思考、倾听和认同，体会不同方法的价值。

其次，算法的优化要与通法兼顾。算法优化的前提是教师对何谓好方法要有深入的认识。教师很容易以计算速度评判最优解，比如“鸡兔同笼”的一些巧算法。其实，对方法的评价是多维的，从心理学维度看，为多数学生喜欢；从教育学维度看，教师易教、学生易学；从学科维度看，要对后续知识掌握有价值。显然，“鸡兔同笼”中的试算法，虽然不是快的方法，甚至被认为是笨的办法，但其实是个好方法。试算这类通法，有利于发现规律，列出通常算式，更具一般性，对后续的学习更有价值。

最后，要妥善处理思维训练与技能提高的关系。限时的课堂里，实施算法多样与优化，必须对投入时间做合理分配。新课标在教学建议中强调：“基本技能的形成，需要一定量的训练，但要适度，不能依赖机械地重复操作，要注重训练的实效性……。”基础训练是必要的，只是要适度。这就要求教师善于设计针对性强的专项练习，以获取思维与技能双方最大的收益，但是怎么做才是“适度”的？迫切需要一线教师能做量化的研究。

2.在教计算中重视发展学生的数学思维

小学数学计算虽然在内容上是基础的，但同样蕴含着丰富深刻的数学思想和方法。能否教出其中的思想，使学生思维真正得到发展，是衡量计算教学重要的指标。

（1）注重数学思想和方法的渗透

掌握有迁移价值的策略性知识，是数学学习的重要目的，小学阶段主要的数学思想有化归思想、数形结合思想、分类讨论思想、对应思想等，在计算教学中也多有蕴含。

一是在计算原理、法则教学过程中渗透。以“化归”为例，在新知转化为旧知中让学生感悟化归思想。例如，在《除数是小数的除法》中，学生知识基础是除数为整数的除法计算法则，除数是小数的除法时，怎么办？使学生意识到：除数需要由小数变为整数。怎么实现？这种转化又不能改变除法算式的结果，自然想到要用商不变的规律，把除数是小数的除法“转化”为除数是整数的除法。其间，学生就经历了有序的思维，获得策略性经验，即：未知的能转化为已知的，复杂的需转化为简单的，这就是化归。又如，三角形两边之和大于第三边，转化为“两点之间直线段最短”，平行四边形面积转化为矩形面积等，都能渗透化归思想。

二是用计算方法的合理、简洁感受数学思想。一些运算方法本质上是思想方法的选择与运用。比如，未学过0乘任何数规律的学生，计算0×9时用9个0相加，就是运用了化归思想。小学数学基本是数量关系和空间形式，而数与代数、图形与几何又分属不同的板块，计算教学也是沟通数与形的渠道。例如，计算：构造单位正方形表示面积为1，解释为单位正方形面积的一半，为面积一半的一半等，由图形就能看出答案。运用数形结合思想甚至小学生都能证明：已知a+a1=b+b1=c+c1=k，a、a1、b、b1、c、c1、k为正数，求证：a·b1+b·c1+c·a1=k2。构造边长为k的正方形，则a·b1、b·c1、c·a1是其内部的三个矩形面积，局部面积之和小于整体，一目了然，体现出数学思想的力量。

（2）计算与推理结合发展学生推理能力

学生的运算能力与诸多数学能力相互联系、相互促进，而抽象能力、推理能力和建立模型能力又被认为是所有数学能力的核心，“推理是抽象的计算，计算是具体的推理，图形是推理和计算直观的模型”[5]。计算与推理相结合，在学计算中可感受推理、发展推理能力。

在计算中学习推理有很多途径，一是使学生明确计算也是推理的手段。比如，比较两个数大小时，可以用计算差值实现。再如，“假设有一根很长的绳子，比地球赤道长10米，用它去围住赤道后，它与赤道之间的缝隙可以放进一个大的拳头吗？”将问题特殊化，绳子和地球赤道为同心圆时，由2π（R2-R）=10，有R2-R=1.6，用计算便推知答案。二是让学生感受计算不能离开推理。教师可选用一些问题，促使学生从算到想，从机械程序到思考推理。另外，在运算中强调步骤与依据的结合，意识到“数学地记忆”也离不开推理。三是从算理、法则学习中感受类比、归纳等推理方法。比如，在掌握整数运算法则背景下，类比学习小数运算法则，在加法运算律基础上，类比学习乘法运算律，等等。

【案例】

（ ）×（ ）=1728

A.42×47 B.28×816 C.36×48 D.36×68

选用类似问题，可以打破学生按程序运算的惯性。学生依据乘积的尾数可以排除A，依据乘积的位数排除B，依据乘积的前两位排除D，最后选择C。引导学生充分认识计算和推理的关系，在计算中发展推理意识，又将推理运用于计算。

（3）孕育和渗透代数思维

从算术思维向代数思维的跨越，是小学生认识上的难点，往往需要较长的过程。算术关注的是算理、算法和运算结果，而代数关注的是数量关系的一般化、概括化，对代数式的理解和解释，及其运算和变换等，算术思维是以数（常量）及其运算与拆合为对象的，而代数思维则主要以代数式（变量）及其运算与变换为对象。[6]教材中代数内容采用分散渗透与集中安排结合来编排。在小学计算中其实蕴含着不少代数思维的素材,以及算术思维与代数思维的联结点，教师要注意寻找有意渗透，对学生则很有裨益。

比如，“计算8+5=？”，学生不同方法的背后有着不同的思维。采用8+5=8+2+3=10+3=13，运用了加法运算法则，属算术思维，而用8+5=（8+2）+（5-2）=13的学生，能想到“某个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，和不变”，运用了数运算中相等变换关系，难能可贵地把握到其中的关系与结构，属于代数思维。再如，“10以内数的认识与加减法中，8+□=12，问□=？”这样的计算中，引导学生体会：符号“□”是未知数，8、12是已知数，通过未知数与已知数的等式关系，就能找到未知数。这里就渗透着解方程思想。

【案例】△和□分别代表被除数和除数，请你根据下面的算式，求出△和□各是多少？

△÷□=12……15，△+□=353

分析：由△÷□=12……15知△=12□+15，而且□大于15。如果取□=16，则有△=12×16+15=207。△+□=223，与353相差130，推断□取得小，如取□=30，△=12×30+15=375。△+□=405，比353大52，□应再换小，□应从30减少多少，恰使△+□值为353？分析发现□减少1，△就减少12，△+□就减少13，而52÷13=4，所以□=26，△=307。

计算教学中选用此类习题，把算术问题“代数地思考”，促使学生思考、识别、提取包含在表达式中的关系，感受其中结构的表达和转换，这对渗透代数思维和提高推理能力，会有很好的效果。

三、结语

小学计算教学既有基础性又有综合性，在现实中“做”远比“该怎么做”要复杂得多。教师的学科深度会直接影响其教学的高度，计算教学的丰富性与探索性对一线教师提出了很高的要求。如何让学生走进思考的天地，实现从学计算到学思维？计算教学究竟如何教？答案不一而足，然而可以肯定的是，小学计算教学，绝不仅仅是通过教师的“教”让学生“学会”了什么，还应该在学计算过程中，让学生发生“变化”，使学生既掌握数学的规律、方法，又养成思考、倾听与分享的习惯。▲

参考文献：

[1]郑毓信.“数学与思维”之深思[J].数学教育学报，2015（1）：1-5.

[2]孔凡哲，崔英梅.巧算背后的学科韵味——对知识技能教学的重新审视[J].人民教育，2011（11）：44-46.

[3]蔡金法.中美学生数学学习的系列实证研究——他山之石，何以攻玉[M].北京：教育科学出版社，2007：93.

[4]李士錡.PME：数学教育心理[M].上海：华东师范大学出版社，2005：16.

[5]张景中.感受小学数学思想的力量——写给小学数学教师们[J].人民教育，2007（18）：32-35.

[6]刘久成，刘久胜.代数思维及其教学[J].课程·教材·教法，2015（12）：76-81.