多样化思想在高中数学解题教学中的应用

☉江苏省清江中学　黄保球

多样化思想在高中数学解题教学中的应用

☉江苏省清江中学黄保球

高中数学是一门非常重要且颇具难度的学科，其高度的抽象性要求学生具备很高的逻辑思维能力才能较好地学习数学.高中数学的解题过程也往往是非常复杂的，需要学生根据解题思路应用不同的数学思想和数学方法.所以，为了帮助高中生快速有效地学习数学，提高学生应用数学知识解题的能力，教师应当在高中数学解题教学中，贯彻多样化的思想，培养学生掌握、运用多种实用数学思想方法的解题习惯.

一、巧用变量代换

在高中数学的学习中，函数、导数以及微积分的求解是一个重点部分，但是大量、复杂的函数表达式常常会让学生感到难以找到思路，解题找不到良好的办法，学生对这部分的学习自然无法顺利展开.在进行这一部分的教学时，教师可以引导学生应用变量代换法来进行解题.应用变量代换法，可以用简单的变量代换一个复杂的式子，将原本复杂的方程式变得简单明了，然后再进行解题就会十分简单.导数题主要有三类比较难，分别是复合函数的导数求解、隐函数的导数求解以及积分函数的导数求解.这三种导数的求解，都需要反复地变换函数等式的形式，学生在解题时难度很大，而应用变量代换法可以简化题中复杂的函数等式，再进行等式的变化就比较简单了，求解导数的过程也会大大简化.相应地，在导数题目中应用变量代换法解题也有几类.其一，复合函数导数求解题中的变量代换.其二，积分函数导数求解中的变量代换.

在函数题中应用变量代换法时，函数题的一般题型是给出与函数相关的一些等式，让学生求函数的数值，根据题的难度不同，题干给出的函数等式的数量和形式也不同，学生在应对复杂程度过高的函数等式时，基本难以找到思路，应用变量代换法，可以明显降低函数等式的复杂程度，然后再进行解题就非常容易了.例如，题型一，假如题干给出的函数等式为f′（lnx）=1－x，求函数f（x）的表达式.这种题目，我们直接求并不好求，可以应用变量代换法，将式中的lnx用t代替，这样题目中的等式就会变成关于t的式子，然后就能得到f（x）的表达式.题型二，题目给出的函数等式为f的表达式.我们可以用t替代x即使我们不能求解出x，但我们可以通过变换等式右边，将原等式变成关于t的函数，然后将t换成x，就能够求出f（x）的表达式.题型三，题目给出的函数等式为，求解f（x）（x≠0），求函数f（x）的表达式.对于这道题，我们需要进行较为复杂变量代换，首先要用代换x，代入原来的等式中后，可以得到，然后与原来的等式联立，就可以解出）的表达式，最后化简后得到f（x）的表达式.

在积分函数部分的解题中，应用变量代换法，需要将原本复杂的积分式代换成相对比较简单的变量式，然后再应用积分计算公式就可以进行求解.在积分函数习题中应用变量代换法可以分为变量倒代换法、根式变量代换法以及算式变量代换法等解题方法.对于变量倒代换法，应用时需要满足一定的条件，即积分式中分母中的自变量的次数之差大于1.例如，对积分式积分的求解.对于这一积分的求解过程，首先用代换x，然后代入原式中，可以得到ln|x|+c.根式变量代换法，是指用单独的字母（比如u）代换积分式中出现的无理根式然后进行积分的计算.例如，在计算运用根式变量代换法，首先令u=然后就可以得到x=u2，进而求出x关于u的导数为x′=2u，把它代入原式中，可以计算出，积分为22ln（1++c.算式变量代换法，在积分式中出现类似ax+b的算式时，可以用u来代替原式中的ax+b，然后在进行积分的计算.例如，在求解dx的积分时，可以先用u替换式中的x-3，然后用u表示出x，就可以计算出原式的积分值为

二、活用类比思想

在数学解题教学中，类比思想主要应用于微积分、线面垂直以及帮助学生理解公式中.其中，微积分是学生学习数学的一大难关，在微积分解题教学中应用类比思想，首先教师要为学生明确微积分相关的理论知识，在这部分的教学中，可以先让学生回忆学过的四则运算中的逆运算关系，然后再介绍微积分的相关知识，就会让学生了解两者之间的相似性，相应的，积分其实就是微分的逆运算，并没有什么复杂的地方，然后在积分的解题过程中，只要牢记这一点，结合微分就可以很轻易地进行解题.其二，线面垂直定理的相关解题.学生在刚接触线面垂直定理时，一定会存在困惑，因为线面垂直定理和之前的很多内容都不同，这是无法直接举出实验来证明的，无法正确理解定理内容，学生在相关问题的求解中自然无法很好地应用.对此，教师在线面垂直定理解题教学中，可以应用类比思想，先从线线垂直讲起，然后结合两相交直线确定一个平面，就可帮助学生快速理解线面垂直定理.其三，对于公式定理等的教学.教师在高中数学解题教学中，需要用到许多公式和定理，这就要求学生能够理解并灵活应用数学公式.和数学的抽象性一致，公式往往也非常难以理解，学生要想牢固掌握，需要明白其本质含义.对此，教师可以应用类比思想，把新旧的公式和定理联系起来，在解题过程中，将新旧公式定理的应用方法相类比，就能帮助学生快速掌握.

三、注意分类讨论

除了上面的变量代换、类比思想两种数学思想和方法，分类讨论也是高中数学中非常常用的一种数学思想，特别是在函数部分的内容，更是有很多的应用.分类讨论在函数解题中的应用主要有四个方面.最基本的，是根据函数概念进行分类讨论，对数函数的定义域以及指数函数是其中的代表.例如，设0＜x＜1，a＞0，且a不等于1，试比较|loga（1-x）|与|loga（1+x）|.在这题的求解中，我们需要用到分类讨论思想，首先令s=|loga（1-x）|-|loga（1+x）|，然后根据a的取值不同，进行分类讨论，当0＜a＜1时，s＞0，当a＞1时，s＜0，可以得出前者大于后者.其二，对于函数图形的分类讨论.在函数问题中，函数图形的位置可能会存在很多.例如，在平面中有一曲线y2=2x，设点M（m，0），m∈R，曲线到点A的最短距离为f（m），求f（m）的表达式.解题时，设曲线上一点N（x，y），可得|MN|=［x-（m-1）］2+ 2m-1，当m-1≥0时，|MN|min=2m-1，当m-1＜0时，|MN|min= a2，可以得出f（a）=

其三，问题中可能会出现具有不确定性的条件，这时需要用到分类讨论.例如，等差数列a1，a2，…an，n≥4，各项都不为零，且公差d不为0，在不改变顺序的情况下去除某一项可得到等比数列，求当n=4时，值.解题过程如下：n=4，如果删除a1，a4，那么d=0，舍如果删除a，那么可算出-4，；如果删除a，可算出=1，所以，23有两个结果，-4或1.其四，对于二次函数的分类讨论.二次函数解题过程中的分类讨论，可以分为三种，其一是动轴定区间的分类讨论，其二是定轴动区间的分类讨论，最后一个是动轴动区间的分类讨论.这三种类型的题目需要考虑二次函数图形的对称轴、以及区间，然后根据题中所给的具体条件，进行分类讨论，求出结果.

在高中数学解题教学中，教师要将变量代换、类比思想、反思解题以及分类讨论这四个数学思想和解题方法教授给学生.运用变量代换，可以简化代数式，方便计算；运用类比思想，可以加深知识理解，加快解题；运用反思解题，可以增强学生的解题能力；运用分类讨论，可以增强学生思维的严密性，提高学生的数学素养.还有其他很多的数学思想和方法，教师要在数学解题教学中向学生传授多样化的思想，提高学生的解题能力.Y