情境引入的生活化与知识建构的数学化——以“直线与圆的位置关系”教学为例

陆静

情境引入的生活化与知识建构的数学化
——以“直线与圆的位置关系”教学为例

陆静

数学来源于生活，存在于现实且应用于生活，教学过程是帮助学生把现实生活问题转化为数学问题的过程。以“直线与圆的位置关系”教学为例，从情境引入的生活化、知识建构的数学化以及生活化数学课堂教学要注重教向学的转变三个层面入手，开展生活化数学课堂教学，充分展示数学课堂教学的生活化，凸显生活现象的数学化。

数学教学；情境引入；知识建构；生活化；数学化

荷兰教育家弗赖登塔尔认为：“数学来源于生活，存在于现实，并且应用于生活，教学过程是帮助学生把现实生活问题转化为数学问题的过程。”这是对数学生活化的精彩描述。生活中无处没有数学，处处存在着数学思想，关键是教师是否善于结合课堂教学内容去捕捉“生活现象”，采撷生活数学实例，为课堂教学服务。教师应努力创设生活化情境，把教材内容与生活情境有机结合起来，使数学教育真正回归到学生生活中，使数学学习真正与生活交融在一起，实现教学氛围生活化。这样，就会使学生真正体会到生活中处处有数学，处处用数学，感受到数学的生活价值，聆听生活中的数学真谛。本文以“直线与圆的位置关系”教学为例，探讨数学教学中情境引入的生活化与知识建构的数学化这一课题。

一、情境引入的生活化

建构主义学习理论强调“情境”是学习环境的重要因素，知识是学生积极主动建构的，是个体根据对外部世界的独特体验并赋予其个人经验来建构的。知识不是灌输的，只有在真实的环境中生成的知识，才是有效的，如果给予学习者一个近似真实环境的氛围，学习者的学习就会更为主动、积极，学习者就能主动去思考、探究，先前建构的知识会不断扩充、积累。但是，运用情境教学时首先需用“着眼发展”的观点，全面提出教学任务，而后优选教学方案，根据教学任务、班级特点及教师本人素质，选择创设情境。创设情境的途径有很多，例如，生活展现情境、实物演示情境、图画再现情境、音乐渲染情境、表演体会情境、语言描述情境等，纵观各种途径，无一不是与生活相关的，可见，情境引入的生活化在课堂教学中具有深远意义。

生活是数学的源泉，生活中充满了数学问题。教师要从学生的生活出发，把生活中的数学原型生动地展现在课堂上，使学生眼中的数学不再是冰冷的、抽象的，而是富有情感的、贴近生活的、具有活力的东西。只有这样，学生才能在具体形象的丰富感知中，化抽象为具体，真正形成对数学的认识。生活情境应该促进学生在自主探究的学习过程中，真正理解和掌握数学知识、技能、数学思想和方法，并建构自己的数学知识，同时，积累广泛的数学经验。传统的数学课堂教学中的许多问题情境，仅仅是作为引入新知识的“脚手架”或“拐杖”，而没有在新知识的发生、发展过程中发挥其实质性的作用。这里所说的发生、发展的过程就是数学知识“再创造”的过程，不是数学老师的直接灌输、而是学生主动建构数学新知的过程。只有经历了这样的学习过程，学生的学习热情才会被充分地激发出来。例如，“直线与圆的位置关系”这节课题引入，为了让学生从生活中发现直线与圆的位置关系，通过“展一展”环节，在《学习任务单》中设计了以“日出”为主题的三个项目：（1）画一幅主题为“日出”的色彩作品；（2）拍摄或搜集有关“日出”的照片；（3）制作主题为“日出”的动画。

课堂教学的导入犹如文章的“凤头”，乐曲的“引子”，戏剧的“序幕”，负有酝酿情绪、集中学生注意力、渗透主题和带入情境的任务。其中，项目一的内容紧扣学生所学专业——艺术设计；项目二来源于学生的生活实际；项目三的内容不仅与学生的生活实际密切相关，而且需要学生通过动画效果呈现主题。这样，学生能够经历三种不一样的生活情境。日出，让学生体验到数学来源于生活，发现了日出情境中蕴含着直线与圆的位置关系，感知到生活中数学的美，并激发他们进一步学习直线与圆的位置关系的欲望。在这样的氛围里，学生的思想不受束缚，往往能得到很多意想不到的收获。学生凭着自己的经历和经验，对贴近生活的数学知识具有一定的直观认识和感性认识，教师加以适当引导，就很容易使学生理解抽象的数学知识，让学生学得轻松、愉快。这样，不仅能提高学生学习数学的兴趣，而且能促进学生去求索和创新。

二、知识建构的数学化

建构主义的核心理念是，学习者应该主动建构自己的知识，而非被动地从环境中接受知识。[1]建构主义对教学有以下五个建议：（1）课堂应给学生提供需要解决的问题，让学生从中体验发现新知的机会；（2）课堂应给学生提供复杂的学习体验，便于学生从不同的视角考察知识、整合知识；（3）课堂应提供学生与教师以及其他同学进行合作交流、思考与学习的机会；（4）学生应学会自我调节，成为自己学习的主人；（5）学生需要参与真实的学习体验。数学课堂教学生活化为学生主动建构数学知识提供了一个平台。学生在学习数学概念、数学命题、数学问题时，教师需提供一定的生活情境，启发引导学生在积极主动的学习过程中观察、合作、交流和体验，从而建构自己的数学知识。

例如，“直线与圆的位置关系”这一课的建构归纳环节，可引导学生仔细观摩如图1所示几何画板软件制作动画“日出”：当太阳从地平线冉冉升起，日出的景象像是一条地平线（直线）与太阳（圆）相交、相切、相离的过程。

图1 几何画板软件制作的动画“日出”

有了这样的感性认识，教师再理性地引导学生“试一试”分析以下三点：（1）如果我们将太阳看作一个圆，那么地平线可以看作什么呢？（2）请问，太阳冉冉升起的过程中与地平线有几种位置关系呢？（3）每一位同学体验一下几何画板软件制作的日出动画。通过此活动，学生注意到一种直观判断直线与圆位置关系的方法——几何法，即判断圆心到直线的距离d与圆半径r的大小：若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线与圆相切；若d＞r，则直线与圆相离。

人们从感知到思维的每一个认识过程都是从注意开始的，注意是一切认识过程的开端。俄国著名的教育学家乌申斯基在谈到注意的作用时说：“注意是一扇门，一切来自外部世界的，刚刚进入人的心灵的东西都要从它那里通过。”因此，教师应着重引导学生思考问题：这直线与圆的三种位置关系，可否有代数方法来判断呢？为了吸引学生的注意力，可创设“探一探”：通过观察如图2所示“小黄人”几何画板图形，积极探索以下4个有趣的数学问题：（1）请写出“机器人脸”的“左眼”所在圆的方程和左唇线所在直线的方程；（2）猜猜“左脣线”的延长线与“左眼”是什么位置关系；（3）如何判断“左脣线”的延长线与“左眼”的位置关系；（4）“左脣线”的延长线的方程与“左眼”的方程有公共解？如何判断？

问题是有效教学的一种重要的辅助行为，通过7个数学问题的环环引导，学生使用个人的知识储备来积极构建他/她的解释和意义，鼓励学生集中注意力思考和解决问题，帮助他们进入最佳的知识建构过程，从而理清一个事实。即直线L和圆C的方程分别为：

Ax+By+C=0,x2+y2+Dx+Ey+F=0。

图2 “小黄人”几何画板图形

如果直线L和圆C有公共点，由于公共点同时在直线L和圆C上，所以公共点的坐标一定是这两个方程的公共解。反之，如果这两个方程有公共解，那么，以公共解为坐标的点必是直线L与圆C的公共点。从而，引导学生找到判断直线与圆的另一种方法——代数法，即联立直线方程与圆的方程，构成方程组：。

解方程组，依据解的个数判断两者的位置关系。学生获得判断直线与圆的位置关系的第二种方法：（1）若方程组有两个不同的解，即直线与圆有两个交点，则直线与圆相交；（2）若方程组仅有一组解，即直线与圆有一个交点，则直线与圆相切；（3）若方程组无解，即直线与圆没有交点，则直线与圆相离。由此进一步引导学生对直线与圆的位置关系进行分类，并总结出判断两者位置关系的方法：（1）判断圆心到直线的距离与圆的半径大小关系；（2）联立直线与圆的方程，构成方程组，判断解的情况。这里的方法（1）能够培养学生用数形结合思维方式思考解决问题。经过上述知识的建构，接下来，进一步引导学生进入“理一理”活动环节。如图3所示，学会用一张图表总结出判断直线与圆的位置关系的两种方法：（1）几何法；（2）代数法。从图中，我们可以清晰地发现直线与圆的位置关系的几何特征与代数特征。

图3 直线与圆的位置关系

三、生活化数学课堂教学要注重教向学的转变

如果说教一个活动的最好办法是演示，那么学一个活动的最好方法是做。生活化数学课堂教学为一个个教师活动与学生活动所贯穿，例如，情境导入中的“展一展”活动，它带领学生从生活中发现直线与圆的位置关系，体现了数学教学的生活化；又如，知识建构中的“试一试”、“探一探”、“理一理”三个活动层层递进，引导学生一步步理清数学原理，尝试“再创造”学习过程，体现情境生活的数学化。所以，无论是在情境引入环节还是在知识建构环节，我们需要重点关注的是将教转向学，从教师活动转向学生活动并且由感觉效应转到运动效应。[2]

值得注意的是，生活化的数学课堂教学会因学生的学习经验、学习基础、学习特点不同而异。然而，不管如何教与学，应该遵循主体性原则、情境性原则及主动构建原则。教师要充分展示数学课堂教学的生活化，凸显生活现象的数学化。

[1]托马斯.费兹科，约翰.麦克卢尔.教育心理学——课堂决策的整合之路[M].吴庆麟，译.上海：上海人民出版社，2008：159.

[2]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，译.上海：上海教育出版社，1995：103.

[责任编辑盛艳]

陆静，女，江苏联合职业技术学院扬州商务分院讲师，教育硕士，主要研究方向为数学课程与教学论。

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1674-7747（2016）33-0043-03