非对称相互作用势对孤波散射过程中相移的影响
2016-02-01张楠，金涛
张 楠， 金 涛
(陕西师范大学 物理学与信息技术学院， 陕西 西安710119)
非对称相互作用势对孤波散射过程中相移的影响
张楠， 金涛*
(陕西师范大学 物理学与信息技术学院， 陕西 西安710119)
摘要：研究了一维广义FPU-αβ晶格模型中微观粒子之间相互作用势的非对称性对孤波散射过程产生相移的影响,该系统存在两种拓扑孤波，Kink和Antikink。数值计算结果表明：随着非对称性强度增加，同种孤波散射所产生的相移减小，而异种孤波散射所产生的相移增大。为解释上述计算结果，在特殊孤波碰撞位形下将广义FPU-αβ晶格模型近似成具有非线性相互作用的两粒子系统，通过求解两粒子系统的动力学方程发现：在总能量确定的情况下，两粒子最大相对位移的绝对值随非对称性增加而减小；最大相对位移在扣除微观粒子两平衡位置间距后所得到的结果与数值计算得到孤波相移结果一致。
关键词:孤波散射；相移；FPU-αβ晶格模型；非对称势
PACS: 05.10.-a; 05.20.-y; 05.70.Np
1955年，费米及其合作者在一维非线性晶格系统(即FPU模型)中检验平衡态统计物理的各态历经假设过程时发现了著名的Fermi-Pasta-Ulam(FPU)回归现象[1]。随后，Zabusky和Kruskal发现在连续性近似下FPU晶格模型可由Korteweg-de Vries (KdV)方程来描述，并指出KdV方程的孤波解具有强稳定性，即当两个孤波发生散射后各自回复原状，碰撞的效果只是产生了空间上的平移。孤波的这种散射性质正是FPU回归现象的根源[2]。也就是说，FPU回归现象是FPU晶格模型中激发出孤波造成的。后续研究严格检验了这一发现，并证明这一空间平移与孤波在散射过程中发生的相移密切相关[3-5]。通常，我们对孤波的空间平移和相移不做区分，统称为相移[6-9]。相移是孤波相互作用的固有属性，包含了孤波散射过程的相关信息。更重要的是，作为非线性激发的一种，孤波已被证明广泛存在于非线性晶格系统中[10]，是晶格系统中一种重要的能量输运载流子。因此，孤波散射动力学在建立晶格系统能量输运的微观描述中具有不可忽视的重要地位[11]。
另一方面，微观粒子间相互作用势的非对称性与其非线性一样，是对真实物理系统建立模型进行研究的必备要素。例如，非对称相互作用势是热胀冷缩这种普遍存在的自然现象的微观基础[12]。最近，赵鸿教授课题组提出非对称相互作用势对低维系统热传导性质起着至关重要的作用[13-17]。他们发现在适当的非对称度和一定的温度范围内，低维系统会表现出正常热传导行为。
前人对孤波散射的研究都是针对对称性相互作用势的系统。本文在一维FPU-αβ晶格模型中，研究了微观粒子相互作用势的非对称性对孤波散射过程中产生相移的影响，发现随着非对称性强度的增加，同种孤波散射所产生的相移减小而异种孤波散射所产生的相移增大。通过分析一种特殊的碰撞位形，展示了上述结果的微观动力学起源。
1模型介绍
早期的研究表明FPU模型非常适合晶格孤波动力学行为的研究，而FPU-αβ晶格模型则是最简单的具有非对称相互作用势的理想模型[17-21]。在自由边界条件下，我们考虑包含N个微观粒子的一维晶格系统，设其晶格常数为单位长度且每个格点的质量为单位质量，则其哈密顿量可表述为:
(1)
(2)
其中，pi和xi分别表示第i个粒子的动量和偏离平衡位置的位移，V(xi+1,xi)表示第i+1个粒子与第i个粒子之间的相互作用势能，g是势能函数非对称性强度的控制参数[14]。当g=0时，系统退化为对称的FPU-β模型。图1给出了不同参数下的势能曲线。
图1 不同参数下的势能曲线
2数值模拟
首先，对FPU-αβ格点链进行初始化，即令pi=0,xi=0,i=1,2,…,N。然后通过赋予单个粒子动量来激发出孤波[17-22]。具体做法是：在t=0时刻，对格点链的第一个粒子施加一个动量激发p1=c1，该动量激发将在格点链上产生一个向右传播的孤波。为研究孤波散射，我们在t=δ时刻对最后一个粒子施加一个动量激发pN=cN，该动量激发会在格点链上产生一个向左传播的孤波。两个孤波在速度空间和位移空间的具体情况如图2a和2b所示，从图中可以发现两个孤波的后面都伴随着一系列的声子“尾巴”。由于孤波是一种超声速的空间局域化的激发模式，因此随着系统的演化，会与声子“尾巴”分离。我们只考虑孤波散射，故待孤波与声子“尾巴”完全分离后，使孤波后面粒子的动量为零并且位移等于格点偏离平衡位置的最大位移来抹平一系列的声子“尾巴”[11]，得到一对纯净的孤波，以研究它们的散射动力学。
由孤波的性质[23]，可规定微观粒子动量达到最大值时所在的位置为孤波的位置，这样就可测量不同时刻孤波所在位置，进而得到孤波运动过程的时空轨迹(如图2c所示)。前人的研究成果表明，在散射过程中小孤波将从大孤波获得能量[17-21]。我们得到的结果也显示碰撞前后孤波的轨迹不再平行，表示碰撞前后孤波的速度发生了变化，即能量发生了变化。由于碰撞点附近的时空轨迹较为复杂，因此我们除去碰撞前后的一小段轨迹，采用直线拟合的方法找到轨迹1和2的交点，即为碰撞点。忽略碰撞过程的细节，则在碰撞时刻轨迹1与轨迹3之间的平移即为α孤波在散射过程中的空间平移，如图2c中ΔSα。
图2 模型中激发一对孤波及其碰撞过程
为了研究相互作用势的非对称性强度对孤波散射时空间平移的影响，我们取FPU-αβ模型的非对称性参数为0，-1，-2(g>0的情况可由对称性推知)。在FPU-αβ模型中存在两种类型的孤波[24]，分别为Kink(图2中α孤波)和Antikink(图2中β孤波)。构成Kink的微观粒子的运动方向与孤波的传播方向一致，而构成Antikink的微观粒子的运动方向与孤波的传播方向相反。鉴于系统中存在两种类型的孤波，本文分两种情况进行研究：同种孤波散射产生的空间平移(记为KK)和异种孤波散射产生的空间平移(记为KA)。
通过对孤波附近动量大于10-8的格点能量进行累加，进而得到孤波的能量。为了不失普遍性，固定右侧β孤波的能量Eβ为12.45(对应动量激发为5)，改变左侧α孤波的能量Eα，计算不同能量孤波碰撞产生的空间平移〈ΔSα〉，每个〈ΔSα〉都是ΔSα在几个周期内的平均值。
图3b给出了两种类型散射在不同非对称相互作用势下空间平移和Eα的关系，可知两种散射的〈ΔSα〉都随着Eα的增加而减小。然而，两种空间平移的细节有所不同：对于同种孤波散射，〈ΔSα〉总是小于零；而对于异种孤波散射，〈ΔSα〉总是大于零。除此之外，从图3b中还可以发现随着相互作用势非对称性的增加，其对应的空间平移也发生了相应的变化。随着非对称性强度的增加，同种孤波散射所产生的空间平移减小，而异种孤波散射所产生的空间平移增加。
图3空间平移ΔSα的数值模拟和理论分析结果
Fig.3TheresultofspatialshiftΔSαin numerical simulation and theory
注：图b中曲线从上到下依次为：KA(g=-2),KA(g=-1),KA(g=0),KK(g=-2),KK(g=-1),KK(g=0)。
3讨论
我们以上文提到的3种碰撞位形中的第3种位形为例，从微观上研究相互作用势的非对称性对孤波散射过程中产生的空间平移的影响。
由两类孤波的特点可知，该种位形发生在同种孤波散射过程中。在碰撞时刻，我们将FPU-αβ格点链简化成只由iα和iβ两个格点构成，能量在粒子的动能与势能之间发生相互转化。当两粒子的动能全部转化为粒子之间的势能时，粒子之间的距离达到极值xm，具体为Kink与Kink发生散射时为极小值，Antikink与Antikink发生散射时为极大值。下一时刻α孤波将传到iβ格点上，β孤波将传到iα格点上，即碰撞完成，而此时α孤波发生的空间平移ΔSα即为xm。因此，非对称性对ΔSα的影响即为对xm的影响。
我们研究两个孤波总能量一定时，随着相互作用势非对称性强度的增加，xm的变化情况。求解如下的方程：
(3)
其中E为发生碰撞的两孤波能量的总和，设定E=25(我们已经证明定性的结论与E的大小没有关系)。解得xm有4个解，鉴于每个解的形式都比较复杂，很难直接看出xm随非对称参数g的变化关系，并且每个解随g取值的不同，其虚实要发生变化。故我们以g为横坐标，xm为纵坐标做出4个解的实数解部分随g变化的图像(如图3c所示)。从图中可以发现在g<0区域，当xm<0时，|xm|随|g|的增加而减小。而对于同种孤波散射，其空间平移小于零，并且随着非对称强度增加而减小，理论结果与数值结果定性一致。
严格来说，孤波的空间平移ΔSα由两部分组成[11]：一是散射时α孤波产生的相移Δα，二是β孤波的高度hβ，即ΔSα=Δα+hβ。原因如下：FPU-αβ模型中激发出来的孤波均属于拓扑孤波；构成拓扑孤波的微观粒子有两个平衡状态(例如，对于β拓扑孤子，第i个格点有两个平衡位置xi=0和xi=hβ)[25]；发生散射前，由于β孤波的经过，第i个格点已经从第一个平衡位置运动到第二个平衡位置，这导致在散射过程中α孤波的位置额外改变了hβ。由于hβ只反映了β孤波的性质，因此从ΔSα中除去hβ即得到Δα。下面，我们给出微观粒子相互作用的非对称性对α孤波散射相移Δα和β孤波高度hβ的影响。
由孤波的性质[23]可知，孤波所在处格点的最大位移即为孤波的高度，孤波的高度越高代表其能量越大。我们研究不同非对称相互作用势下两类孤波的高度随能量的变化趋势，如图4所示： 对于Kink，系统相互作用势的非对称性越强，相同能量下孤波的高度越低；而对于Antikink，相互作用势的非对称性越强，相同能量下孤波的高度越高。这主要取决于两种孤波自身性质的不同。
图4两类孤波E与h的关系
Fig.4Evshofkinkandantikink
通过孤波散射过程中产生的相移Δα、空间平移ΔSα和孤波的高度hβ三者之间的关系可知，两个孤波散射时满足：Δα=ΔSα-hβ，进而可得不同非对称势下孤波散射时产生的相移Δα。与得到空间平移ΔSα的做法相同，固定右侧β孤波的能量Eβ为12.45(对应动量激发为5)，改变左侧α孤波的能量Eα，得到〈Δα〉和Eα的关系，每个〈Δα〉都是Δα在几个周期内的平均值。
图5给出了相移〈Δα〉的典型结果，其中空心正方形曲线和半实心正方形曲线分别对应FPU-β模型的同种孤波散射和异种孤波散射。对于FPU-β模型，同种孤波散射时其〈Δα〉总是大于零，而异种孤波散射，当Eα
图5 两种散射类型的〈Δα〉随Eα的变化
注：曲线由上到下分别为：KK(g=0),KK(g=-1),
KK(g=-2),KA(g=0),KA(g=-1),KA(g=-2)。
4结论
本文研究了非对称相互作用势对孤波散射过程中产生的相移的影响。发现随着非对称性强度增加，同种孤波散射的相移减小而异种孤波散射的相移增大。我们在特殊孤波碰撞位形下将广义FPU-αβ晶格模型近似成非线性相互作用下的两粒子系统，通过求解该两粒子系统动力学方程发现，在总能量确定的情况下，两粒子最大相对位移的绝对值随非对称性增加而减小；最大相对位移在扣除微观粒子两平衡位置间距后所得到的结果与数值计算得到孤波相移结果定性一致，从一定程度上解释了上述结果的微观机制。此外，对孤波高度的研究发现，对于Kink，相互作用势的非对称性越强，相同能量下孤波的高度越低；对于Antikink，系统相互作用势的非对称性越强，相同能量下孤波的高度越高。这些结果将有助于从集体激发模式相互作用的层次上理解微观粒子间相互作用势的对称性对系统宏观热传导性质的影响。
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〔责任编辑 李博〕
第一作者： 张海岛,男,博士研究生,研究方向为功率超声。E-mail:262268197@qq.com
The effect of asymmetric inter-particle interactions on
spatial shift of solitary wave scattering
ZHANG Nan, JIN Tao*
(School of Physics and Information Technology, Shaanxi Normal University,
Xi′an 710119, Shaanxi, China)
Abstract:The effect of asymmetry of interparticle interaction potential on the spatial shift of solitary wave scattering in one-dimensional generalized FPU-αβ lattice model are investigated.The system has two types of solitary wave, Kink and Antikink. The numerical result shows that with the increase of asymmetry the spatial shift decreases for the scattering between same types of solitary wave,while increases for the scattering between different types. To explain the above result, FPU-αβ lattice model as two particle system with nonlinear interaction under special collision configuration is approximately generalized. By solving the dynamical equation of two particle system, it can be found that the absolute value of maximum relative displacement between particles decreases with the increase of asymmetry when the total energy is determined. Furthermore, when removing the spacing between two equilibrium position of the micro particle, the maximum relative displacement is consistent with numerical result of spatial shift qualitatively.
Keywords:solitary wave scattering; spatial shift; FPU-αβ lattice model; asymmetric potential
通信作者：* 贺西平,男,教授,博士生导师。E-mail: hexiping@snnu.edu.cn
基金项目：国家自然科学基金(11374201)
收稿日期：2015-07-15
doi:10.15983/j.cnki.jsnu.2016.01.214
文章编号：1672-4291(2016)01-0039-04
中图分类号:O415.6
文献标志码:A
