高三一轮复习专题

张杏宇

摘 要：导数与函数的身影，考查函数的单调性、极值、最值，求曲线的切线。

关键词：导数；单调性；极值；最值；切线；应用

在最近几年的高考中，导数与函数的身影频现。以导数为工具，以函数为载体，考查函数的单调性、极值、最值等性质及其应用为目标，是最近几年函数与导数综合应用试题的特点和命题趋向。导数在高考中常见的内容和题型是简单的函数求导和利用导数求曲线的切线，利用导数求函数的单调区间，应用导数求函数在区间上的最值和极值，借助函数图像的研究，来考查学生分析问题、解决问题的能力，数形结合的思想，利用导数求解实际问题等。“导数法”现在已然成为高中数学研究函数的一个重要方式，函数问题涵盖了高中数学很多的考点和思想方法。

一、用导数求函数的切线

例1.求曲线y=x3-3x2-2x，在点（-1，-2）处的切线方程。

分析：根据导数的几何意义来进行求解。

解：y'=3x2-6x-2，当x=-1时y'=7，即所求切线的斜率为7。故所求切线的方程为y+2=7（x+1），即为：y=7x+5

思维点拨：函数y=f（x）在点x0处导数就是曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的斜率。即曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的斜率为f'（x0），故所求的切线方程为y-y0=f'（x0）（x-x0）。另外，注意，如果把“在”改成“过”，问题就不一样了，在点P（x0，f（x0））处的切线是指以点P为切点，最多只有一条；而过点P（x0，f（x0））处的切线，并不一定是以P为切点的，要先设切点Q（x1，f（x1）），用点Q的坐标先表示出切线的方程，最后把P点的坐标代入，求解出Q点的坐标才可以。

二、用导数判断和证明函数的单调性

例2.求函数y=x3-3x2-2的单调区间。

分析：求出导函数y'，令y'>0或y'<0，解出x的取值范围即可。

解：y'=3x2-6x，令y'>0得3x2-6x>0，得x<0或x>2，由y'<0得3x2-6x<0，解得0

所有函数的单调增区间为（-∞，0）和（2，+∞），单调减区间为（0，2）。

思维点拨：利用导数，判断函数单调性的步骤解析：（1）确定f（x）定义域；（2）求f'（x）；（3）解不等式f'（x）>0和f'（x）<0（在函数f（x）的定义域内）；（4）写出f（x）的单调区间。

导数法是研究函数单调性问题的一个主要方法，求解单调性、参数范围等问题，需要先求导函数再解不等式，这类问题常常转化为含参数的不等式的恒成立、存在、有解问题的求解。由于大多函数的表达式中含有参数，所以在研究函数单调性时要注意函数的定义域以及对参数的讨论。

三、利用导数求函数极值

例3.求函数f（x）=x3-3x2-9x+4的极值。

分析：求导数，列写表格。

解：由f'（x）=3x2-6x-9=0解得x=-1或x=3。

列表得：

当x=-1时，y有极大值f（-1）=9，当x=3时，y有极小值f（3）=-23

思维点拨：求可导函数的极值的步骤解析：（1）确定函数的定义域；（2）求导函数f'（x）；（3）令f'（x）=0，得所有实数根；（4）列表，对每个实数根进行检验，并判断在每个根（如x0）的左右侧，导函数f'（x）的符号（正负）是如何变化的，如果f'（x）的符号由正到负的变化，则f（x0）为极大值；如果f'（x）的符号由负到正的变化，则f（x0）为极小值。需要注意的是：若f'（x）=0的根x=x0的左右侧符号相同，则f（x0）就不是极值。

另外，关于函数零点的问题，函数的零点就是曲线与x轴的交点的横坐标，就是方程的根，函数零点的个数常常与函数的图像与x轴的交点个数一致，而复杂函数的图像需要借助研究函数的单调性和极值等，来判断函数的最值点相对于x轴的位置，包括函数的大致图像。

四、用导数求函数的最值

例4.求函数f（x）=x3-3x2-9x+4在闭区间[-2，4]上的最值。

分析：求导，列出在区间上的表格。

解：由f'（x）=3x2-6x-9=0解得x=-1或x=3

列表得：

当x=-1时，y有最大值f（-1）=9，当x=3时，y有最小值f（3）=-23

思维点拨：求可导函数极值的步骤是：（1）确定函数定义域，求导数f'（x）；（2）求f'（x）=0的所有实数根；（3）和求极值一样，列表，不同的是，要包含区间端点；（4）比较表中的数据，包括极值和区间端点的值，其中最大的就是函数f（x）的最大值，最小的就是函数f（x）的最小值。

五、证明不等式

例5.已知：x>1，求证：x2+lnx

分析：首先构建函数，对函数进行求导，并判断函数的单调性。

证明：令f（x）=x3-（x2+lnx）

f'（x）=2x2-x-

因为x>1，所以f'（x）>0

所以f（x）在（1，+∞）上是增函数，

所以f（x）>f（1）=>0在（1，+∞）上恒成立，

因此x>1时， x2+lnx

思维点拨：利用导数法处理有关不等式证明问题是近年来高考中常用的一种行之有效的方法。其方法就是“由实际问题，构造函数模型，利用导数求解函数最值”。

要证不等式f（x）≥g（x）在区间D上恒成立，只需证不等式f（x）-g（x）≥0在区间D上恒成立；即证函数f（x）-g（x）在区间D上的最小值大于等于零。所以不等式的证明问题可以转化为用导数求函数的最值问题。

导数作为一种高中数学解题工具来说，在解决函数问题时很便捷，尤其是解决函数的单调性、极值、最值以及切线问题。教师要教会学生将实际问题转化为数学模型问题，培养学生运用导数知识和不等式知识去解决最优解问题的能力。 复习时，学生首先要“回归”课本，融合所学的知识，扎实基础，熟练掌握解题的通解通法，提高解题速度。同时，要知道大多高考试题在教材中都有原型，他们很大一部分是由教材中的习题、例题引申变化而来。因此，学生在一轮复习过程中要利用好课本，夯实基础知识，为自己后面的二轮、三轮复习做铺垫、做准备。

参考文献：

[1]吴志义.函数单调性在解题中的应用[J].中国科教创新导刊，2007（20）.

[2]崔华.导数在中学数学中的应用：运用导数，巧妙体现[J].魅力中国，2009（11）.

编辑 谢尾合