指数型产品多阶段可靠性增长的Bayes模型

于春雨　苏子美　孙永全　苑加和　牛　滨

哈尔滨理工大学,哈尔滨,150080



指数型产品多阶段可靠性增长的Bayes模型

于春雨苏子美孙永全苑加和牛滨

哈尔滨理工大学,哈尔滨,150080

摘要：基于D-S证据理论融合验前信息,建立了一种适用于小子样复杂系统多阶段可靠性增长分析的Bayes模型。选择Gamma分布作为失效率的先验分布,通过多源可靠性信息融合,将专家经验转换成概率分布,利用D-S证据理论融合多个专家信息,确定了先验分布参数,结合产品研制阶段试验数据,根据Bayes统计推断理论,给出了失效率、平均故障间隔时间(MTBF)和可靠度的Bayes点估计和置信下限。以兆瓦级直驱式风力发电机研制试验验证了该模型的有效性。

关键词：D-S证据理论;可靠性增长；Bayes模型;直驱式风力发电机

0引言

随着科学技术的发展与进步，大型复杂装备逐渐趋向于多功能化、集成化和复杂化，可靠性增长试验受时间和经费的限制，每一阶段试验量较少,这给可靠性增长定量分析带来困难。兆瓦级直驱式风力发电机属于继承性较强的产品，新型产品的研制往往是对已有产品或技术的改进，存在大量历史信息,同时,产品研制部门拥有许多经验丰富的专家，他们对新品研制具有一定认识,因此,要尽可能地利用这些资源和信息，高效、科学、合理地评估和预测产品可靠性水平。

对于小子样异总体统计问题的处理常采用Bayes可靠性增长模型[1]。在可靠性增长试验中,每一阶段试验结束后,排除产品故障,然后再进入下一阶段试验，总体的分布参数发生变化,上一阶段的验后分布不能直接作为下一阶段的验前分布。根据Barlow 等[2]提出的顺序约束模型,Smith[3]首先提出Bayes可靠性增长模型,假设先验信息是均匀分布,但应用Bayes 方法处理二项式可靠性增长的问题，评估产品在研制时期的可靠性时会出现计算错误。文献[4]采用折合因子法将上一阶段试验信息折合为下一阶段的验前信息，但折合因子的选择缺乏客观。Mazzuchi等[5]提出了先验分布为Dirichlet分布的可靠性增长Bayes模型,该模型利用了Dirichlet分布的边缘分布和联合分布特性,结合了专家的意见、经验和同类产品的试验信息,但该模型不仅先验分布参数的选取缺乏客观性,而且后验分布参数的计算困难，不方便工程应用。文献[6]将D-S证据理论用于可靠性分析,解决了可靠性分析中处理不确定信息的难题。文献[7]针对实际现实中信息的多源性和不确定性,给出了一种基于D-S证据理论的Babyes统计推断多源总体验前分布的融合方法。

本文利用D-S证据理论处理主管判断问题的优势,融合多个专家意见，确定验前分布参数，以研制过程中的兆瓦级直驱式风力发电机为研究对象，结合研制试验数据，根据Bayes统计推断计算验后分布，客观评价产品当前可靠性指标。

1可靠性增长模型

1.1假设条件

(1)产品可靠性增长分为n个阶段,第k(k=1,2,…,n)个阶段内对故障采取延缓纠正措施，阶段内产品可靠性水平不发生变化,且假设寿命服从参数为λk的指数分布:

f(t|λk)=λke-λkt

(1)

(2)第k个阶段内的试验结果为(zk,τk),zk表示第k个阶段内的累积故障次数,τk表示第k个阶段内的累积试验时间。

(3)各阶段试验相互独立,且纠正措施有效，新试验阶段产品可靠性比前一阶段产品可靠性有提高,即

λ1>λ2>…>λn

(4)指数分布参数λk的先验分布取Gamma分布：

(2)

式中,αk、βk为Gamma分布的分布参数。

1.2验后分布

第k个阶段内的似然函数为

(3)

由式(2)、式(3),根据Bayse定理得λk的验后分布为

(4)

后验分布是参数为(αk+zk,βk+τk)的Gamma分布,具有均值和方差，表达式分别为

(5)

(6)

平方损失下最后阶段的失效率λn的点估计为

(7)

λn的置信度为γ的置信上限λn,U为

(8)

因为平均故障间隔时间(MTBF)为失效率的倒数,即

Mn=1/λn

(9)

由式(4)得最后阶段MTBF的后验分布为

f(Mn|(zn,τn))=

(10)

后验分布是参数为(αn+zn,βn+τn)的逆Gamma分布,即Mn~Γl(Mn|(αn+zn,βn+τn))，具有均值和方差,表达式分别为

(11)

(12)

Mn的置信度为γ的置信下限Mn,L可由下式确定：

I(βn+τn)/Mn,L(αn+zn)=

(13)

式中,L(βn+τn)/Mn,L(αn+zn)为不完全Gamma函数。

近似为

(14)

因为可靠度为

Rn=e-λnt

(15)

由式(4)得最后阶段可靠度Rn的后验分布为

f(Rn|(zn,τn))=

LΓ(Rn|αn+zn,(βn+τn)/t)

(16)

式中，LΓ()为对数Gamma分布。

则可靠度的的均值和方差分别为

(17)

(18)

Rn的置信度为γ的置信下限Rn,L可由下式确定:

(19)

近似为

(20)

如果知道第k个阶段的先验分布参数(αk，βk,那么可以方便地得到上述一系列结果，问题在于如何确定先验分布参数。

1.3先验分布参数的选取方法

在第1阶段以前,产品通常未进行系统级试验,此时失效率λ取无信息先验较为合适,按照Jeffreys法则有[8]:

定时截尾表达式为

(α0,β0)=(0,0)

(21)

定数截尾表达式为

(α0,β0)=(1/2,0)

(22)

从第2阶段开始,利用增长因子ηk描述阶段间的延缓纠正措施的有效性,结合以前阶段的试验信息确定先验分布参数。

λk+1先验均值是λk后验均值的(1-ηk)倍，即

(23)

经过延缓纠正后，会消弱或消除某些故障源，不仅后验均值会变小，其后验方差也会有所变小。设λk+1先验方差是λk后验方差的(1-ηk)倍[4],即

(24)

式(23)除以式(24)得

βk+1=βk+τk

(25)

我们通常关注最后阶段的可靠性评估，因此，在β0=0时，由归纳法得

(26)

即

(27)

式(27)工程意义明显，最后阶段的综合总试验时间是所有阶段试验时间之和。

将式(25)代入式(23)得

αk+1=(1-ηk)(αk+zk)

(28)

由归纳法得最后阶段先验分布参数αn:

(29)

式(29)工程意义也十分明显,若确定了增长因子ηk,就可以得到最后阶段产品的可靠性测度,增长因子成为求解的关键。

2利用D-S证据理论确定增长因子

文献[9]中应用作图法求解增长因子,该方法比较实用,但是结果不够精确,并且缺乏客观性。文献[4]直接利用专家经验给出增长因子的估值,认为在多阶段(n≥3)可靠性增长试验中,增长因子ηk不宜大于0.6,该方法人为主观性较强。

(30)

进而求得增长因子：

(31)

上述方法没有充分利用专家经验。而在可靠性增长试验的各阶段,可靠性工程师、系统设计人员及领域专家在工作中积累大量知识，他们的专家经验能够较好地反映产品的实际情况，因此专家经验应该得到重视。为了充分利用试验信息和专家经验，本文利用证据理论融合多位专家的经验判断,以便得到可信性更高的结果。

2.1专家经验向概率分布的转化

增长因子η为随机变量,设其服从正态分布。m个专家给出增长因子的区间估计,P(ηL<η<ηU)=γ(ηL、ηU分别为η的下限和上限)，如图1所示。

图1　转化的概率密度分布

根据图1，专家给出区间估计等价于认为增长因子服从N(μ,δ2)分布,概率密度函数为f(η),且η落在(ηL,ηU)之间的可能性为γ。通过此方法,将专家经验的区间估计转化为概率密度分布。

分布中有两个未知参数μ、δ2。正态分布是对称的,均值μ取估值区间的中点:

(32)

方差δ2可以根据区间估计通过积分计算得到:

(33)

2.2基于D-S理论的信息融合

图2　专家一致度

专家信息的一致度为两概率分布与横轴围成面积的交集与并集的比值:

(34)

M(fi(η),fj(η))简记Mi j,可以表示一个专家对另一个专家的支持程度,值越大,两个专家意见的一致程度越高,则对两个专家信息的一致部分信任度也越高。

m个专家对增长因子进行评估，每个专家评估结果为Ei(i=1,2，…，m),Ei转化成概率密度分布fi(η)。根据一致度定义,任意两个专家信息Ei,Ej具有一致度,则所有专家信息两两组合,得到m×m的一致度矩阵:

(35)

将矩阵中每一行元素进行归一化,得到一个新矩阵M′：

(36)

(37)

利用证据理论合成规则,经过m-1次合成可得

(38)

令wj=m(fj(η))(j=1,2, …,m),为融合后的各概率密度分布权重。

2.3融合后的增长因子

各概率密度分布是由专家经验的增长因子区间估计转化而来的,即概率密度分布的权重就是专家经验的权重。则增长因子为

η=w1μ1+w2μ2+…+wmμm

(39)

3数值算例

对某型兆瓦级直驱式风力发电机进行三阶段研制试验，前两阶段得到的指数分布定数截尾信息为：(z1，τ1)=(6,636 h),(z2,τ2)=(3,572 h),第3阶段得到的指数分布定时截尾信息为(z3,τ3)=(1,500 h)。

3名领域专家给出第1阶段末增长因子的区间估计：

P1(0.2<η1<0.5)=0.9,P2(0.4<η1<0.6)=0.85

P3(0.4<η1<0.55)=0.8

第2阶段末的增长因子的区间估计为

P1(0.3<η2<0.7)=0.9

P2(0.45<η2<0.75)=0.85

P3(0.5<η2<0.8)=0.8

若任务时间t=240h,求第3阶段末发电机的失效率、MTBF和可靠度的Bayes估计和置信度为0.8时的置信下限。

由D-S证据理论，根据专家对增长因子的评估,得到融合后的增长因子估值:η1=0.4680,η2=0.5982。先验分布参数为:(α3，β3)=(2.4879，1208)。

所以第3阶段末发电机的失效率、MTBF和可靠度的Bayes估计为

失效率、MTBF和可靠度的置信下限为

R3,L=exp(-tλ3,U)=

4结论

(1)提出了基于D-S证据理论的验前信息融合方法,结合Bayes统计推断,有效解决了专家经验、不同阶段试验数据的信息融合问题,给出了失效率、MTBF和可靠度的Bayes点估计、方差和置信下限。

(2)选取先验Gamma分布作为失效率的先验分布,使得计算结果简单,方便工程应用。

(3)利用D-S证据理论融合多个专家的主观判断,使评价的客观性有所改善,进一步将专家意见和客观试验数据融合,更有利于客观地确定先验分布参数。

参考文献:

[1]张金槐.Bayes可靠性增长分析中验前分布的不确定方法及其剖析[J]. 质量与可靠性,2004,112(4):10-13.

ZhangJinhuai.TheDifferentMethodsandAnalysisofDeterminingPriorDistributiononReliabilityGrowthTesting[J].QualityandReliability,2004,112(4):10-13.

[2]BarlowRE,ScheuerEM.ReliabilityGrowthduringaDevelopmentTestingProgram[J].Technometrics,1966(8):53-60.

[3]SmithAFM.ABayesianNotesonReliabilityGrowthduringaDevelopmentTestingProgram[J].IEEETransationsonReliability,1977,26(5):346-347.

[4]周源泉,刘振德,陈宝延,等.指数分布阶段可靠性增长模型的Bayse融合[J].质量与可靠性,2006,122(2):14-19.

ZhouYuanquan,LiuZhende,ChenBaoyan,etal.BayesFusionofReliabilityGrowthModelattheStageofExponentialLifeDistribution[J].QualityandReliability,2006,122(2):14-19.

[5]MazzuchiTA,SoyerR.ABayesMethodforAssessingProductReliabilityduringDevelopmentTesting[J].IEEETransactionsonReliability,1993,42(3):503-510.

[6]SunYongquan,GuoJianying.ReliabilityAssessmentBasedonD-SEvidenceTheory[C]//8thInternationalConferenceonReliability,MaintainabilityandSafety.Chengdu, 2009:411-414.

[7]李豪亮,师义民,陈华.基于D-S证据理论的Bayes信息融合[J].模糊系统与数学,2009,23(1):46-51.

LiHaoliang,ShiYimin,ChenHua.FusionofInformationofBayesBasedonD-SEvidenceTheory[J].FuzzySystemsandMathematics,2009,23(1):46-51.

[8]周源泉,翁朝曦.可靠性评定[M].北京:科学出版社,1990.

[9]党晓玲.柔性制造系统可靠性增长管理与分析技术研究[D].长沙:国防科技大学,1999.

(编辑袁兴玲)

Bayes Model of Exponential Product Multi-stage Reliability Growth

Yu ChunyuSu ZimeiSun YongquanYuan JiaheNiu Bin

Harbin University of Science and Technology,Harbin,150080

Abstract:A multi-stage reliability growth Bayes model was built based on D-S evidence theory and prior information, that was adaptive to small-sample complicated systems.Gamma distribution was used as prior distribution of failure rate.Through integrated usage of multiple-source reliability informations,the expertise was converted into probability distribution.Using D-S evidence theory and multiple experts’ informations,the prior distribution parameters were known.With test data at product development and Bayes statistical inference theory,the failure rate,MTBF,point estimation and lower confidence were obtained.The validity of this approach was illustrated by the development and test of MW direct-drive wind turbine.

Key words:D-S evidence theory;reliability growth;Bayes model;direct-drive wind generator

基金项目：黑龙江省教育厅面上项目(12511093)

收稿日期：2014-10-29

中图分类号：TB114.3DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.23.005

作者简介：于春雨,女,1979年生。哈尔滨理工大学测控技术与通信工程学院副教授。主要研究方向为复杂机电系统可靠性与维修性。苏子美,男,1961年生。哈尔滨理工大学测控技术与通信工程学院副教授。孙永全,男,1982年生。哈尔滨理工大学测控技术与通信工程学院副教授。苑加和,女,1991年生。哈尔滨理工大学测控技术与通信工程学院硕士研究生。牛滨,男,1955年生。哈尔滨理工大学测控技术与通信工程学院教授。