巧用数形结合思想 妙解初中数学问题

苏晓阳

摘 要：数形结合思想是数学学科的基本思想之一，也是最基本的一种数学思维方式。数形结合思想对于提升初中数学教学效率、培养学生的数学思维方式具有重要作用。在运用数形结合思想时，要将代数语言准确地转化为几何图形，才能保证结果的正确性。

关键词：初中数学；数形结合思想；有效应用

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）02-065-02

所谓的数形结合就是将数学问题中的“数”与“形”有效的结合在一起来解决问题，也是能够将抽象知识形象化的一种重要的数学思想。而数形结合思想作为四大基本思想之一，对提高学生的问题解题能力有着事半功倍的效果。

一、数与代数中的数形结合

这部分内容与原教学大纲比，数形结合的内容有很大改变和加强。它重视渗透和揭示基本的数学思想方法，加强数学内部的联系及其相关学科的联系，在数与代数的教学里，我认为，应该抓住实数与树轴上的点一一对应的关系，有序实数对与坐标平面上的点的一一对应关系，从数形结合的角度出发，借助数轴处理好相反数和绝对值的意义，有理数大小的比较，有理数的分类，有理数的加法运算，不等式的解集在数轴上的表示等。教师要赋予这些系统内容新的活力，采用符合课标理念的教法，在吃透新课程标准和教材的基础上，让学生经历试验、探索的过程，体验如何用数形结合思想分析和解决，培养学生学习和应用的能力，从而激发其学习数学的原动力。

例1 图形隐含条件：

例：在数轴上的位置如图，化简：|a-b|-|b-c|+2|a+c|。

解：∵b<0，c<0，b>c，a>b，|c|>|a|∴a-b>0，b-c>0，a+c<0。|a-b|-|b-c|+2|a+c|=（a-b）-（b-c）-2（a+c）=-a-2b-c。

二、“空间与图形”中的数形结合

新课程中的几何内容做了较大的删改，削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明，降低了论证过程形式化的要求和证明的难度。我想，这无疑给了教师充分脱脂的空间。教师要把握好数学思想方法在整个教学发展中的地位，对于“数形结合”，教师要善于挖掘教材和生活中的素材，从形到数，揭示“形”中“数”的本质。

例2如图1，是连接在一起的两个正方形， 大正方形的边长是小正方形边长的2倍，问： 若只许剪两刀， 应如何裁剪， 使之能拼成一个新的大正方形？

图1 图2

解析：对这一问题， 学生往往采取实验的方法， 这里裁一刀， 那里试一剪， 但却极少有人能在短时间内拼凑好. 如果对题目认真加以分析， 我们不难发现， 从已知到结论，图形虽然变了， 但其中却还有没变的东西：面积. 若设小正方形的面积为1则其边长就是1.这样一来， 我们仅需沿着图中长为 的线段去考虑裁剪即可，而图中这样的线段没有几条， 于是很快就能找到答案（ 如图2）。

问题之所以能很快解决，关键是我们从问题“变”中看到了“不变”，从“形”的表面找到了“数”这一实质。一个似乎是纯几何的问题，在“数”的引导下获得了最好的解决方式，这种由表及里，形中有数的思想方法，正是数学中“数形结合”的思想方法。

三、“统计与概率”中的数形结合

新课标中的统计与概率，在内部编排和内容要求上却有所加强，真正让学生经历统计的全过程，发现并提出问题，运用适当的方法，收集和整理数据，运用合适的统计表统计图来展示数据做出决策。

例3：在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的4个小球，上面分别标有数字1、2、3、4.一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球，用树状图列出挑选的概率。

从树状图可以看出所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，符合条件的结果有8种，∴P（和为奇数）

四、应用题中的数形结合

甲、乙两地相距23千米，A从甲地到乙地，在乙地停留20分钟后，又从乙地回到甲地；B从乙地到甲地，在甲地停留30分钟后，又从甲地返回到乙地，若A、B同时从甲、乙两地出发，经过5小时后，在他们各自返回的路上相遇，如果A的速度比B的速度快3千米/小时，求两人的速度。

分析：这是一道已知条件十分复杂的应用题，将数与形结合，借助图形来分析，就直观、清楚多了。A、B所走的路程可用下图表示：从图中可清楚地看到，A、B两人从出发到最后相遇正好共走完了甲、乙两地间距离的3倍，即等量关系为：A走的路程 + B走的路程 =23×3。如果设B每小时走X千米，则A每小时走X+3千米，由于两人途中都停留了一段时间，A实际走 小时，B实际走 小时，由此就不难列出方程： ，

得出 ， （下转第68页）