新题展（函数与导数）

龚才权

先做两道题，如遇麻烦，尽可能再理一理思路，如果还不能解决问题，看一看提示，做好后，对一对答案，最后结合命题者的反思，自己也反思一下.

做一做

1.已知函数f（x）=lnx和g（x）=k（x-1）.

（1）讨论函数h（x）=f（x）-g（x）的单调性；

（2）若直线y=g（x）是曲线y=f（x）的切线，求实数k的值；

（3）若对任意两个互不相等的正数x1，立，求实数k的取值范围.

2.设函数f（x）=x?-（3m+3）x?+（3m?+bm）x+n（其中m，n∈R）.

（1）若函数f（x）在区间[3，4]内是单调减函数，求m的取值范围；

（2）当函数f（x）有三个不同的零点时，m的取值范围恰好是（- 3，-2） U（-2，0）U（O，1），求n的值；

（3）若函数f（x）有三个不同的零点x1，x2，x3，且满足xl+x2+3=6，x1+x2+x2x3+X3Xl=9，求n的取值范围.

看一看

1.（1）对h（x）求导，得h'（x）=1/x-k讨论k的情况判断h'（x）=1/k-k的正负，进而判断函数k（x）的单调性；

（2）先设出切点（xo，Inxo），由f（xo）=g（xo）和k=f'（xo），联立消去k，得到关于xo。的一个方程，解该方程，就能求出实数k的值；

（3）先将式子再换元，令即可转化为研究“不等式

2.（1）先对f（x）求导，得到f'（x）=3（x-m）（x-m-2），从而可求得函数f（x）的减区间为[m，m+2]，由函数f（x）在区间[3，4]内是单调减函数，故有[3，4]∈[m，m+2]；

（2）先研究函数f（x）的单调性，得出函数f（x）的极大值为f（m），极小值为f（m+2）；则函数f（x）有三个不同的零点，等价于f（m）>0且f（m+2）<0；

（3）先设f（x）=（x-x1）（x-x2）（xx3），结合x1+x2+x3=6和x1x2+x2x3+x3x1=9，以及题设中函数f（x）的表达式，可得.f（x）=x?-6x?+9x+n；则问题可转化为：函数f（x）=x?-6?+9x+n有三个不同的零点，求实数n的取值范围.

对一对

1.解：（1）h（x）=lnx-k（x-1），h（x）f（m）>O且f（m+2）<0，即m?+3?+n>0且（m+2）?（m-1）+n<0.

据题意可知，上述不等式组的解集恰为（-3，-2） U（-2，0）U（0，1），所以当m=-3时，（-3）?+3·（-3）?+n≤O，得n≤0；当m=-2时，（-2+2）?·（-2-1）+n≥0，得n≥0.因此=0.

此时，f（x）=x?-（3m+3）x?+（3m?+6m）x=x·[x?（3m+3）x+3m?+6m].

因为函数f（x）有三个不同的零点，则x?（3m+3）x+3m?+6m=0有两个异于0的不等实根，故△=（3m+3）?-4（3m?+6m）=3m?-6m+9>0，且0?（3m+3）·0+3m?+6m≠O，

解得m∈（-3，-2） U（-2，0）U（0，1）.综上，n=0.

（3）据题意可设f（x）=（x-x1）（xx2）（x-x3），则f（x）=x?-（x1 +x2+x3）x?+（x1+x2+x2x3+x3x1）x-x1x2x3，即f（x）=x?-6x?+9x-x1x2x3.

对比f（x）=x?-（3m+3）x?+（3m?+6m）x+n，得m=1，n=-x1x2x3.

所以f（x）=x?-6x?+9x+n，f'（x）=3x?-12x+9=3（x-1）（x-3）.

所以f（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，

所以f（x）的极大值为f（1），极小值为f（3）.

据题意，f（x）有3个不同的零点，即函数y=f（x）的图象与x轴有三个不同的交点.

故只需f（x）极大值=f（1）>0且f（x）极小值=f（3）

想一想

1.（1）求单调性的解题步骤：求函数h（x）的定义域；求函数h（x）的导函数h'（x），并化简；令h'（x）=o，求出所有的根，并检查根是否在定义域内；列表：注意定义域的划分，h'（x）正负号的确定；根据列表情况得出答案.

（2）如何求解方程是本小题的一个难点，因为所求解的方程不是一个常见的二次方程，所以不能按照常规思路进行因式分解；对于此类问题，我们的基本策略是猜特解，研究单调性.在高中阶段，所要求解的一些非常规方程一般都不会太复杂，我们可以尝试猜出它们的一些特解，再通过讨论相应函数的单调性加以验证.

（3）本小题的一个难点是变形和换元，在（1，+∞）上恒成立”的问题.变形和换元的目的都是为了减少变量，化繁就简，将陌生的问题转化为我们熟悉的问题进行处理.

2.（1）“函数f（x）在区间[3，4]内是单调减函数”，通常转化为恒成立问题：f'（x）≤o在x∈3，4上恒成立，且仅在个别点处等号成立.就本小题而言，尝试对f'（x）进行因式分解，求出f（x）的减区间，更简单一点.

（2）通过区间的端点位置，求出n的值；估计有不少解这道题的学生到此就会戛然而止.客观上讲，作为一道解答题，解到此就停止肯定是有失严谨.所以本小题容易犯的一个错误就是不对求得的n的值进行验证.

（3）本小题实质上是：已知一个三次函数f（x）有三个不同的零点，求其参数n的取值范围.这是一个我们较熟悉的问题，只不过本小题对f（x）的表达式进行了包装，需要我们多绕一个弯，所以，碰到陌生的问题情境，关键是要能实现转化和化归，化陌生为熟悉，化繁就简.此外，求解数学问题时，有时候也需要大胆猜测，这样在遇到比较陌生的问题时才能较快地找到正确的解题方向.