基于压缩感知的分布式MIMO成像雷达网格失配问题研究

张海龙，陆广华，于　慧，王东进

(中国科学技术大学 中国科学院电磁空间信息重点实验室,　合肥 230027)



基于压缩感知的分布式MIMO成像雷达网格失配问题研究

张海龙，陆广华，于慧，王东进

(中国科学技术大学 中国科学院电磁空间信息重点实验室,合肥 230027)

摘要：在基于压缩感知的分布式多输入多输出(MIMO)成像雷达系统中，若成像目标不在事先划分的网格点上，即存在网格失配(Off-Grid)偏差时，成像结果将急剧恶化，文中针对该问题，分别在Off-Grid偏差一阶和二阶近似下提出了行之有效的解决方法。文中首先建立了系统存在Off-Grid偏差时的回波模型，在理想划分网格点的基础上，将Off-Grid偏差看作未知数，分别进行一阶和二阶Taylor展开，建立扰动模型，分析Off-Grid偏差对成像结果的影响，最后给出了一种采用欠定系统局灶解法(FOCUSS)和约束总体最小二乘(CTLS)方法联合估计目标位置和散射系数的算法。与传统的基于压缩感知的成像方法相比，文中所提出的算法能够很好地解决网格失配问题，提高目标的反演精度。计算机仿真结果验证了所提方法的有效性。

关键词：分布式多输入多输出雷达；压缩感知；网格失配；欠定系统局灶解法；约束总体最小二乘

0引言

多输入多输出(MIMO)雷达是近几年提出的一种新体制雷达，正吸引着越来越多的学者的注意[1]。MIMO雷达采用多个发射天线和多个接收天线，并且不同于传统的相控阵雷达发射相干波形，MIMO雷达发射正交波形，接收端通过匹配处理来恢复各发射信号分量[2]。MIMO雷达有集中式和分布式两大类：集中式MIMO雷达可以利用波形分集处理，提高雷达的抗截获性能和杂波背景中探测低速、弱目标的能力；分布式MIMO雷达可以通过大间距布阵形式获得空间分

集增益，提高对起伏目标的检测性能[3]。在本文中，本文将重点研究分布式MIMO雷达。

当发射机和接收机数目受限时，波数域的覆盖范围是不完整的，若仍采用基于匹配滤波的传统成像方法将得不到好的成像效果[4]。在大多数的成像雷达应用场景中，目标散射点往往是稀疏分布的，也就是说，实际散射点的数目远小于潜在的散射点数目。目前很多学者致力于研究MIMO成像雷达的稀疏恢复技术[5-7]，比如正交匹配追踪算法(OMP)和基追踪算法(BP)。一般地，压缩感知(CS)将稀疏恢复问题表示为y=Φx+e，其中x表示散射系数，y表示接收回波，Φ表示感知矩阵，e表示成像过程增加的噪声。我们的

目的是得到x的最稀疏的解，即x中的非零元素个数最少的解。采用CS技术，利用目标散射点的稀疏性，可以得到较好的成像效果[8]。

现有的大多数稀疏恢复算法都要求所有的散射点精确地位于事先划分好的离散网格点上，但是当散射点不在事先划分的网格点上，即存在网格失配(Off-Grid)偏差时，稀疏恢复性能将会受到严重影响[9]。在MIMO雷达成像中，由于散射点分布在连续场景中，所以即使所划分的离散网格点很密集，Off-Grid问题还是存在的。使用密集的网格点划分可能会减轻失配的程度，但是对于Off-Grid目标成像问题，这不是一个好的补救措施，因为密集的网格点划分会显著地增加感知矩阵的列相关性，违背可靠稀疏恢复所要遵循的限制等距条件(RIP)[10]。现在已经有一些学者致力于研究感知矩阵的失配问题，并将其研究成果应用到波达角(DOA)的Off-Grid问题估算当中。ZHU等[11]提出了一种稀疏总体最小二乘的方法(S-TLS)来缓和矩阵失配问题，但是该方法效率较低并且耗时较长。HAN等[12]提出了更快更稳定的算法，总体最小欠定系统局灶解法(TLS-FOCUSS)和同步下降欠定系统局灶解法(SD-FOCUSS)，并将SD-FOCUSS算法应用到DOA多次测量矢量(MMV)当中。YANG等[13]建立了采用稀疏贝叶斯推理(SBI)对DOA的Off-Grid问题进行估计的公式并通过期望最大化(EM)迭代得到源信号和矩阵偏差。

本文针对分布式MIMO雷达成像过程中所遇到的Off-Grid问题，提出了一种联合估计目标位置和散射系数的方法。

1网格失配下的成像方法

1.1网格失配一阶近似下的成像方法

1.1.1网格失配一阶近似下的成像模型

考虑分布式MIMO雷达，并且假设发射机、接收机和目标位于同一个两维平面上。系统共有M台发射机和N台接收机，第m台发射机位于tm=[tmx,tmy]，第n台接收机位于rn=[rnx,rny]。假设不同发射机所发射的信号是正交的且第m台发射机所发射的基带信号为sm(t)，则相应的带通信号可以表示为

sm=Re{sm(t)ej2πfct}

(1)

式中：Re{·}表示取实部；j表示虚数单位；fc表示载波频率，并且在不同延时情况下不同发射信号之间的互相关为零。

假设成像目标包含K个各向同性散射的散射点，σk和pk=[pkx,pky]分别表示第k个散射点的散射系数和位置。简单起见，假设每个散射点的散射特性不随观察角度的改变而改变，并且系统发射窄带信号，则第n台接收机接收到的回波可以表示为

(2)

(3)

式中：c表示光速。

将所接收到的信号经过一组匹配滤波器，由于发射信号是正交的，则在第q(q=1, 2, …,Q)个采样时刻，第n台接收机的第m个匹配滤波器的输出可以表示为

(4)

式中：emn(q)为噪声。

将成像区域按照最小分辨要求沿x方向划分为U个离散单元、沿y方向划分为V个离散单元，则在成像区域中共有R=UV个网格。假设所有的散射点都位于网格点上，则可以得到

(5)

其中

(6)

y=Φσ+e

(7)

若存在Off-Grid偏差，即在第r个格点处存在x向偏差Δxr、y向偏差Δyr，则对于∀r=1,2,…,R，均有|Δxr|≤0.5ρx，|Δγr|≤0.5ρy，其中，ρx和ρy分别为x和y方向上的网格大小。因此，对感知矩阵做一阶Taylor近似，可得

(8)

式中：Φ=[Φx, Φy],Φ为考虑Off-Grid偏差以后计算得到的感知矩阵；Φ0=[Φx0，Φy0]，Φ0为不考虑Off-Grid偏差得到的感知矩阵；Φ′=[Φ′x, Φ′y]，Φ′为感知矩阵对Off-Grid偏差的一阶微分；(g)x表示对x维的操作；(g)y表示对y维的操作；Λx1、Λy1分别为由Δxr、Δyr构成的对角线矩阵。令Δx1=vec(Δxr)，Δy1=vec(Δyr)则Δ=[Δx1,Δy1]T为Off-Grid偏差。

经过上述推导，可得考虑Off-Grid偏差以后将格点位置偏差进行一阶Taylor展开的成像模型为

y=(Φ+H1Λ1)σ+e

(9)

1.1.2网格失配一阶近似下的求解方法

本节给出一种FOCUSS和CTLS相结合的CTLS-FOCUSS-1方法来求解式(9)所示问题。其中，FOCUSS用于稀疏恢复，CTLS用于求解目标位置的格点偏差。

步骤1：稀疏恢复

在该步骤中，通过FOCUSS理论的迭代求解方法进行稀疏恢复。设迭代标号为l，在更新了校正后的目标位置以及重新计算了感知矩阵以后，寻找最优的估计值σ(l+1)以使得如下代价函数最小

(10)

令∂F1/∂σ(l+1)=0，可得

(11)

式(11)的左右两边都含有σ，无法直接获得σ的显示表达，因此这里采用迭代松弛方法求解σ

(12)

式中：s为内循环次数；W(l,s)=W(σ(l))。

当内循环s收敛时，即可得σ(l+1)=σ(l+1,s)。

步骤2：格点校正

通过CTLS方法求解格点偏差，进而更新格点位置。

定义扰动项μ1=[Bx1Δx1,By1Δy1，1/σee]T。则可以通过求解下式所示的优化问题来求解格点偏差

(13)

(14)

(15)

(16)

式中：l为迭代次数。由原始划分格点与Off-Grid偏差更新目标格点位置

(17)

步骤3：参数更新

将步骤2中计算得到的目标位置p(l+1)计算得到感知矩阵Φ(l+1)。

将迭代次数加1，重复步骤1到步骤3，直到σ变化很小或者达到预先设定的迭代次数。

1.2网格失配二阶近似下的成像方法

1.2.1网格失配二阶近似下的成像模型

前面所述方法都是基于1.1.1节中感知矩阵对Off-Grid偏差进行泰勒展开并保留一阶近似的模型上进行的，接下来将推导Off-Grid偏差的二阶近似模型，并给出相应的CTLS-FOCUSS-2算法步骤。

当存在Off-Grid偏差时，如式(18)所示，对感知矩阵做二阶Taylor近似，可得

(18)

式中：Φ″为感知矩阵对Off-Grid偏差的二阶微分；Λx2、Λy2分别为由(Δxr)2、(Δyr)2构成的对角线矩阵，并令Δx2=(vec((Δxr)2)，Δy2=vec((Δyr)2)。

则经过上述推导，可得考虑Off-Grid偏差以后，将格点位置偏差进行二阶Taylor展开的成像模型为

y=(Φ+H1Λ1+H2Λ2)σ+e

(19)

式中：H2=[Φ″x， Φ″y]；Λ2=[Λx2,Λy2]T。

1.2.2网格失配二阶近似下的求解方法

对于该问题的求解，与Off-Grid偏差一阶近似的过程相似，仅需在1.1节的求解过程中，替换第二步即可，下面仅给出在Off-Grid偏差二阶近似的情况下采用CTLS方法求解Off-Grid偏差的过程。

定义扰动项μ2=[Bx1Δx1, By1Δy1,Bx2Δx2,Bx2Δy2,1/σee]T，则可以通过求解下式的优化问题来求解格点偏差

(20)

(21)

(22)

其中，式(21)仍可采用牛顿法进行求解，设置的初值为该问题的最小二乘解。由μ2进而可以反解出Off-Grid偏差Δx1和Δy1

(23)

按照式(17)由原始划分格点与Off-Grid偏差得到更新后的目标格点位置p(l+1)。

2仿真实验及分析

在本节中，我们通过给出一些仿真结果来证明所提算法CTLS-FOCUSS-1和CTLS-FOCUSS-2的有效性，所做的仿真是在Matlab中完成的，并且CTLS-FOCUSS-1和CTLS-FOCUSS-2的迭代终止条件均设置为 或者达到最大迭代次数50。

仿真参数设置如表1所示。

表1　仿真参数

目标的散射点分布情况如图1所示。在成像场景中，沿x方向和y方向均划分为40个离散单元，并且相邻单元之间的间隔为1 m。从图1可以看出，这里共有10个散射点，并且散射点均不在事先离散划分好的网格上。

图1　目标散射点分布情况

在下面的仿真当中，除了我们所提算法CTLS-FOCUSS-1和CTLS-FOCUSS-2，还包括其他的算法：MF，OMP，FOCUSS，和TLS-FOCUSS。TLS-FOCUSS算法是在对Off-Grid偏差进行一阶Taylor展开的基础上，假设所加噪声为高斯白噪声并且Off-Grid偏差服从高斯分布的情形下，通过对式(24)的求解得到的最大后验解(MAP)。

(24)

采用MF，OMP，FOCUSS，TLS-FOCUSS和我们所提算法(CTLS-FOCUSS-1，CTLS-FOCUSS-2)的恢复结果如图2a)~f)所示，其中，圆圈表示的是真实散射点的位置。如前所述，由于波数域覆盖不是完整的，所以采用匹配滤波的方法得不到好的恢复结果。由于Off-Grid散射点的存在，OMP和FOCUSS算法也是失效的。与OMP和FOCUSS算法相比，TLS-FOCUSS算法能够得到改善的恢复结果，但是恢复结果中存在虚假散射点。CTLS-FOCUSS-1是在Off-Grid偏差一阶近似的情况下对网格失配偏差做校正，所以其恢复精度有限。相比之下，CTLS-FOCUSS-2在当前仿真条件下能

图2　Off-Grid目标的恢复结果

够对Off-Grid散射点成像并得到好的恢复结果。

下面我们将研究成像误差与信噪比(SNR)之间的关系。SNR在-5 dB~30 dB变化，变化间隔为5 dB，目标恢复误差和Off-Grid偏差均是通过对超过30次的仿真试验取平均得到的结果。在每次仿真试验中，Off-Grid偏差在沿x方向或者y方向的一个离散单元内均匀分布。

采用OMP，FOCUSS，TLS-FOCUSS，CTLS-FOCUSS-1和CTLS-FOCUSS-2算法的目标恢复结果的归一化均方误差(NMSE)随SNR的变化曲线如图3a)所示。从图3a)中可以看出，随着信噪比的增大，采用OMP和FOCUSS算法的目标恢复误差仍然维持在一个较高水平。采用TLS-FOCUSS和CTLS-FOCUSS-1算法将得到改善的恢复结果，并且后者的目标恢复效果和Off-Grid恢复误差均优于前者，这是因为在仿真过程中，Off-Grid偏差是均匀分布的，TLS-FOCUSS算法中有关Off-Grid偏差Λ的假设与之不符。从图3a)和图3b)可以看出，采用CTLS-FOCUSS-2算法可以得到好的目标恢复结果，并且Off-Grid恢复误差得到明显提高，可见在对Off-Grid偏差进行二阶Taylor展开的情况下采用该方法求解目标位置和散射系数的有效性。

图3　不同信噪比下几种算法恢复结果对比

3结束语

针对在分布式MIMO雷达中使用压缩感知成像所面临的Off-Grid问题，分别在网格偏差一阶和二阶近似下提出了行之有效的CTLS-FOCUSS-1和CTLS-FOCUSS-2算法。该算法通过循环迭代的过程，将非凸优化问题转化为三个主要步骤：稀疏恢复、格点校正和参数更新，实现Off-Grid偏差的自适应调整，具有很好的抗噪性，相比传统的基于压缩感知的成像方法能够得到更高的恢复精度。本文最后通过数字仿真验证了所提算法的有效性，显示了其在实际系统中的应用前景。

参 考 文 献

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张海龙男，1989年生，在读硕士。研究方向为微波成像、阵列信号处理和压缩感知。

陆广华男，1970年生，副教授。研究方向为微波与毫米波技术及其在精确制导、通讯系统、雷达系统等领域中的应用。

于慧女，1988年生，硕士。研究方向为微波成像、阵列信号处理和压缩感知。

王东进男，1955年生，教授。研究方向为微波与毫米波技术及其在精确制导、通信系统、雷达系统等领域中的应用。

A Study on Off-Grid Problem for Distributed MIMO

Imaging Radar Based on Compressive Sensing

ZHANG Hailong，LU Guanghua，YU Hui，WANG Dongjin

(Key Laboratory of Electromagnetic Space Insformation of CAS, USTC,Hefei 230027, China)

Abstract：In distributed MIMO radar system based on compressive sensing, if the imaging target is not positioned at the pre-discretized grid locations, that is to say, there exists Off-Grid deviation in the system, the imaging results will be deteriorated sharply. In order to solve this problem, an effective solution under one order and two order approximation of Off-Grid deviation respectively is proposed in this paper. The echo model when there exists Off-Grid deviation in the system is established first and then, based on the ideal discretized grid, the perturbation model is established by regarding the Off-Grid deviation as unknown and carrying out one order and two order Taylor expansion of it. After that, the influence of Off-Grid deviation on imaging result is analysed. Finally, the algorithm based on FOCUSS and CTLS is proposed to jointly estimate the target location and its scattering coefficient. Compared with the traditional imaging method based on compressive sensing, the algorithm proposed in this paper can solve the Off-Grid problem effectively and improve the inversion accuracy of target recovery. The effectiveness of the proposed algorithm is confirmed by several experimental results.

Key words：distributed MIMO radar; compressive sensing; Off-Grid; FOCUSS; CTLS

收稿日期：2015-07-26

修订日期：2015-09-28

通信作者：张海龙Email：hailong@mail.ustc.edu.cn

中图分类号：TN957.52

文献标志码：A

文章编号：1004-7859(2015)12-0049-05