基于ADM的加权正则化的块稀疏优化算法

刘娟

摘 要 压缩感知理论（CS）是利用信号稀疏性的一种新的信号采样方法，而稀疏优化是该理论的研究热点之一。本文提出了有效的基于加权正则化的块稀疏优化算法。尽管加权正则化改善了块稀疏问题，但是由于结构和可能的分块不则则性，所以该正则化问题会比传统的正则化问题更难解决。本文基于变量分裂和交替方向（ADM），将两种算法分别对应于加权正则化的原规划问题和对偶规划问题，数值实验结果表明，本文提出的ADM算法在随机问题中具有良好的效率及稳健性。

关键词 压缩感知 块稀疏 加权正则化 交替方向法

中图分类号：TN911.7 文献标识码：A

近十年来，现代信号处理领域出现一个热门的研究方向，即压缩感知理论（Compressive Sensing（CS）），此概念由Candes和Donoho等人于2004年首次提出，是一种寻找欠定线性系统的稀疏解的技术。实际上，许多稀疏解都是已知的某些块稀疏结构。此稀疏解已有了一个自然分块，而这个块可能由全是零或者全非零的元素块成。编码块稀疏结构可以减少稀疏解中的自由度。从而较大程度地提升了对稀疏信号的恢复重建能力。

本文主要研究欠定线性测量中稀疏解的重建问题。近年来，对于块稀疏重建问题，一个较好的解决方法是运用加权正则化。假设x∈Rn是未知的块稀疏解，{xgi∈∶i=1，…，s}是x的分块，其中gi {1，2，…，n}是对应于第i块的一个指标集，表示指标集gi的矢量。下面定范数为||x||∶||x||2 （1）

范数正则化有助于块稀疏信号重建，但同时也会引起凸优化问题。然而，由于非平滑和混合范数结构，范数正则化的问题很难解决。目前已有的算法谱有：投影梯度法（SPGLI），加速梯度法（SLEP），块坐标下降算法和SpaRSA。

本文基于变量分裂和交替方向法（ADM）提出了一个解决范数正则化问题的新方法。本文运用了ADM方法解决了范数正则化中的原则划问题和对偶规划问题，并得到所有子问题的闭合形式解。数值结果表明，本文所提出的算法快速、稳健。

1数据模型和问题描述

3结语

本文提出了有效的交替方向法来解决基于一正则化的块稀疏优化问题。如果每次迭代时可正确地简化凸二次函数。那么现有的理论可以保证这些ADM算法的收敛。当测量矩阵A是一个行是标准正交的部分变换矩阵.那么主要的计算量就只是每次迭代中的两个矩阵矢量乘法。此外，这样一个矩阵A可以被视为一个无明确存储的线性算子。这对于大则模计算是特别可取的。对于一般的矩阵A。求解一个线性系统也是必须的。计算结果可以证明了ADM算法对于块稀疏解的重建的有效性。ADM算法的实现表明了此方法比SPGLl算法有着明显的速度优势。此外。至少在随机问题上ADM算法比SPGLl算法更易得到精确解。

参考文献

[1] 韩宁，刘勇进，刘梅娇.一类闭凸锥上投影算子的计算[J].沈阳航空航天大学学报，2013，30（5）：88-91.