在有效活动中建构数学模型

卢清荣

《数学课程标准》指出：数学课程要从学生已有生活经验出发，让学生亲身经历将数学实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步与发展。因此，教师引导学生建构数学模型时，要引导学生充分经历模型的形成过程。特级教师罗鸣亮为我们做了很好的示范和引领。让我们一起走进罗老师的课堂，感悟他的课堂引领艺术。

【片段一】 在猜一猜中准备模型

师：罗老师带来一个信封，里面“躲”着图形。猜对了，它就是给你的礼物！第一个图形——它的面积是1平方分米，这个图形是？

生1：正方形。

师（出示正方形）：猜对了，送给你！这个正方形的边长是？

生2：1分米。

师：很棒！第二个图形，它的面积是3平方分米，它是？

生3：它是长方形。

师：你是怎么想的？

生4：3平方分米组成3个正方形，可以拼成一个长方形。

师：我们一起来看看他猜对了没有。（师出示下图） 猜对了吗？（没有）

师：它的面积是3平方分米吗？（是）

师：下面这个图形的面积呢？

生5：4平方分米。1个正方形面积是1平方分米，4个正方形面积就是4平方分米。

师：那位同学猜对了没有？（没有）为什么他想到长方形呀？

生6：我们平常见到的一般都是长方形，忽略了不规则图形。

【赏析】数学教学是数学活动的教学。教师要为学生提供数学活动的机会，引导他们在自主探索与合作交流的过程中，真正理解和掌握数学知识、技能和思想方法，从而学习有价值的数学。事实上，只有数学活动与数学思考紧密结合时，有效的数学活动才会发生。图形面积模型是无数个面积单位的叠加，罗老师引导学生“猜一猜”，从面积为1平方分米的小正方形开始猜测，引向由多个相同正方形组成的图形猜测。猜测面积是3平方分米的图形时，学生的正常思维是猜测长方形，验证时发现是不规则图形。这种认知冲突，打破了学生的思维定式，激发了学生的好奇心和学习兴趣。学生发现多个小正方形可以拼成大图形，并且所拼图形的形状可以是规则的，也可以是不规则的。在这样的猜测活动过程中，学生初步发现图形面积的计量方法——“数”小正方形的个数。这样，学生在猜图活动中就为建构长方形面积模型做好了充分准备工作。

【片段二】在数一数中感知模型

师：由6个面积是1平方分米的正方形拼成的长方形是什么样的呢？

生1：摆2行，每行3个，一共摆6个。

师：6个什么图形？它的面积是多少？

生2：6个面积是1平方分米的正方形，面积是6平方分米。

生3：可以摆1行，每行6个，面积也是6平方分米。

师：为什么也是6平方分米？

生4：因为有6个面积是1平方分米的正方形。

师：谁能说说下面图形的面积？

生5：12平方分米。

师：你会讲道理吗？

生6：有3行，每行4个，一共12个。

师：下面这幅图呢？

生7：每行15个，有10行，一共150个。

师：你怎么知道每行15个？

生8：小正方形边长是1分米，15分米里面有15个1分米，可以摆15个。

（教师课件演示验证：一行摆15个。）

师：如果有30分米呢？每行可以摆几个？（30个）这里为什么是10行？

生9：10分米里面有10个1分米，有10个小正方形，就是10行。

（教师课件演示验证：一个一个地摆，第一列可以摆10个。）

师：这就说明一共可以摆几个？面积是多少？

生10：可以摆150个，面积是150平方分米。

【赏析】好的数学活动是引导学生思维螺旋上升的过程。长方形面积模型包含长和宽两个因素，面积计量的直接方法是数面积单位个数，厘清长和宽与面积单位个数的关系，有助于学生把面积的直接计量方法向间接计量方法转变，也就是能促进学生建构长方形面积模型。罗老师分三个层次，引导学生体验面积直接计量向间接计量的转变过程：首先提供由6个面积是1平方分米的正方形拼成的长方形，让学生想象长方形的形状，学生根据“有几行？每行有几个？总共有几个”进行有序表述，面积计量方法从一个一个地数，转向用行数和每行个数两个量进行表达，突出长方形所包含的小正方形个数是由“每排的个数”与“排数”决定的。接着用面积是12平方分米的长方形及时巩固和内化长方形的面积与每排的个数和排数的关系，帮助学生形成表象，计量长15分米、宽10分米的长方形面积时，教师引导学生巧妙计数——根据长方形的长和宽进行计数：长15分米，每行可以摆15个；宽10分米，可以摆10行。这样实现计量方法的简化，有助于学生逐渐感知长方形的面积模型。

【片段三】在量一量中探究模型

师：如果你能算出这个信封里的长方形面积，它就是你的礼物了。

（出示一个长方形，没有标注长和宽，学生尝试计算。）

生1：长方形的长是5厘米，宽是4厘米，面积就是5×4=20平方厘米。

师：为什么要去量长方形的长和宽？

生2：它的长是5厘米，用面积是1平方厘米的小正方形可以摆5个；它的宽是4厘米，用面积是1平方厘米的小正方形可以摆4个。5×4=20，一共可以摆20个小正方形。

师：20个什么样的小正方形？

生3：20个面积为1平方厘米的小正方形，就是20平方厘米。

【赏析】每排摆几个小正方形以及能摆几排，分别由长方形的长和宽决定。罗老师提供一个长方形让学生尝试解决。学生自主测量长方形的长和宽，就是明确长和宽是确定长方形面积大小的决定因素——长5厘米，需要摆5个面积是1平方分米的小正方形；宽4厘米，需要摆4个同样的小正方形。这就沟通了摆的个数与长度之间的对应关系。从直接计量到间接计量，凸现了长方形面积模型的发生和发展过程。学生在教师的引导下，经历了“数面积单位个数—每行有几个、有几行—每行个数、行数与长度相对应的关系”的探究过程，面积计量方法从直接计量变为间接计量，数学模型已经呼之欲出。

【片段四】在想一想中形成模型

师：有个长方形，面积也是20平方厘米，但形状和刚才的不一样，想一想，长方形的长和宽分别是多少？

生1：长20厘米，宽1厘米。

师：你是怎么想的？

生2：长20厘米、宽1厘米的长方形，面积是20平方厘米。

师：你怎么知道面积是20平方厘米？

生3：摆一行，一行20个面积为1平方厘米的小正方形。

师：长方形的长可能比20厘米多吗？

生4：宽改成0.5厘米，长就是40厘米。（师课件演示验证。）

师：长可能比40厘米多吗？

生5：有可能。如果宽是1毫米，长就比40厘米多。

生6：把宽分下去，长就可以很长很长。

师：学到这里，你有什么收获？如果让你讲一句话，你会讲什么？

生7：长方形的面积=长×宽。

【赏析】学生明确长方形面积与长和宽的数量有关系后，罗老师没有出示结论，而是引导学生思考面积是20平方厘米的长方形的形状，让学生猜长方形的长和宽分别是多少。宽越来越小，长越来越大。学生从中体会长和宽的数量可以变化，但它们的乘积（长方形的面积）不变。这样，学生不但能感悟到变与不变的数学思想，而且在不断经历寻找数量—想象图形—验证结果的过程中，对长方形的面积模型越来越清晰。最终，长方形面积模型的建构水到渠成。

总之，罗老师从知识本质出发，开展有效数学活动，引导学生经历数学模型建构过程，沟通学生原有认知结构与模型结构之间的内在联系，帮助学生不断调整思维路径，沿着模型形成的轨迹，深入思考，顺其自然地建构了长方形面积的数学模型。

（作者单位：江苏省睢宁县实验小学）

责任编辑：周瑜芽

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