开放题：数学教育“轻骑兵”

作者简介

杨传冈，中小学高级教师，盐城市数学学科带头人，在省级以上期刊发表文章50多篇，其中有2篇被人大复印资料全文转载。主持一项全国教育规划“十二五”教育部重点课题，主编的《小学数学开放题举一反三》（1～6）由南京大学出版社出版，出版个人专著《触摸数学》。

众所周知，我国数学教育最大的优势就在于重视严密的逻辑思维训练，强调解题的深度、速度和效度。但客观上造成了数学课堂严谨有余而活泼不足，学生感觉数学单调乏味，学习的积极性随着年级的上升逐渐下降，从中高年级起数学学困生的数量一直居高不下。从数学教育改革来看，随着“新数”运动的急剧衰落，人们在对历史的反思中认识到数学教学模式应在综合化的过程中达到优化。在这一过程中，开放题被认为是最富教育价值的一种数学题型。

随着以互联网全球化普及为标志的信息技术革命的快速发展，特别是互联网+时代的到来，人类面临的是一个日新月异、开放、多元的社会。传统数学教育的弊端越发凸显，桎梏了学生创新思维的培养。面对生存挑战，数学教育亟须培养出具有创新能力的人才。从这个意义上说，开放题的出现是现代数学教学改革的呼唤。

一、传统与前卫的碰撞：小学数学开放题的理性思考

1.数学开放题的价值定位

开放题虽然是一类比较特殊的数学问题，但它不仅具有一般的知识教育价值，而且具有培养学生发散思维和创新思维的价值（这是开放题的教育价值核心内容和主要体现）。如果素质教育的核心是培养创新精神和创新能力，那么，开放题的教学就是推进学校素质教育的一个突破口。

从结构形式方面看，数学开放题答案具有不唯一性；从解题过程和解题策略看，开放题具有发散性、探究性、层次性、发展性和创新性等特点。这些特点决定了开放题教学的开放性。在开放性教学环境中，学生是知识的发现者、探索者和研究者，在探究活动过程中，学生能体验或者“再创造”数学家所经历过的数学研究活动过程，把握数学知识本质，从而形成正确的数学观念和意识，掌握基本的数学思想和方法，为今后的学习和解决问题奠定基础。

从激发学生学习兴趣方面看，开放题的学习有利于激发不同层次学生的学习兴趣，有利于增强学生学习数学的自信心，有助于凸现学生的主体意识，促进学生形成独立人格及克服困难、勇于探索的意志品质，强化团队意识和合作精神，增强学生的竞争意识、探索意识和创新意识，形成正确的科学态度等。

2.数学开放题的概念定位

数学开放题的概念到目前为止，学术界还没有一个统一的定义。有人从与封闭题对应的角度上定义：封闭题是指条件恰当（不多不少）、答案固定的习题；开放题是条件多余需选择、条件不足需补充或答案不固定的习题。有人从答案的数量上来定义：答案是不唯一的问题称为开放题。有人从解题途径和答案的数量上来定义：有多种正确答案、结果是开放的问题类型，它们通常有几个或很多个正确答案，有很多种正确解答的途径与方法。有人从条件、解题途径和答案的数量上定义：问题不必有解，答案不必唯一，条件可以多余。对数学问题指向只有原则性要求的一题多解式数学问题称为开放性数学问题。还有人从解答结果与目的上来定义：开放题是“无终结标准答案、培养发散思维的数学问题”。

尽管各种定义方式不一，但答案不唯一是开放题的共性特征。目前普遍采用的定义来自数学开放题中国化研究的先驱者戴再平教授。戴教授采用了一个描述性的定义：“答案不唯一，并在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索的数学问题。”

3.数学开放题的课程定位

作为一种新型的习题类型，数学开放题与结构严谨、体系严密的传统数学习题相比，还只是“襁褓”中的“婴儿”，其教学理论与实践尚处于建构阶段。广泛的教学实践表明：开放题对小学生思维发展有着极大的促进作用，特别是为学生提供公平学习机会、思维品质训练、创新能力培养、活动经验积累等方面所呈现出的独特价值，已得到学术界的广泛认同。

数学开放题的中国化实践为“千年不变”的封闭习题体系注入了一池活水，为数学教育改革打开了另一扇窗。开放题的小学教学实践并不排斥原有的课程体系，以不增加学生的课业负担为原则，希冀在校本课程与国家课程之间寻找一个契合点，旨在通过科学的校本课程研发，打通两者之间壁垒，实现课程的融合，增强数学课堂的亲和度。

二、坚守与创生的交合：小学数学开放题的开发路径

在30多年的开放题中国化实践中，小学数学开放题的研究较为薄弱，积累的教学素材也较为凌乱，尚未自成体系，特别是可资借鉴的成功案例数量较少。推进开放题的小学教学实践，当务之急就是要自主开发课程，为师生提供较为完整、系统的课程资源。从整体而言，开发小学数学开放题的思路有两种：一是把现有的封闭性习题加以改造，使其成为开放题；二是创造开放题。

1.改变条件，变封闭为开放

任何习题的开发都应遵循学生的认知规律，贴近学生的生活经验。为了让新开发的数学开放题能更加贴切学生的学习实际，避免陷入“为开放而开放”的误区，可以依托现有教材体系编制数学开放题，这是开放题编制最为常见的方法。通过对教材中一些例题、习题的条件或问题进行删减、增补或改编，将原有封闭题的限制性条件适当减少或弱化处理，可以改变其中的一个或多个条件，也可以是补充条件，使其问题答案不再唯一，成为探索性和开放性较强的数学问题，给学生提供更多的自主探索、独立思考的时空。

苏教版义务教育教科书（以下简称苏教版）《数学》四年级下册第71页有一道习题：一条环湖路全长3千米，小欣和小成同时从环湖路的某地出发，沿相反方向步行。小欣的速度是65米/分钟，小成的速度是70米/分钟。经过20分钟两人能相遇吗？如果不能相遇，小欣和小成还相距多少米？这是一道关于行程问题的封闭题，如果将原题条件进行增减变化，改成“小欣和小成同时从相距3千米的甲、乙两地出发。小欣的速度是65米/分钟，小成的速度是70米/分钟。经过20分钟两人可能相距多远”，就变成了一道开放题。因为没有说明两人的行走方向，存在着“相向”“背向”“同向”三种可能，其中同向而行中又包括“小欣追小成”“小成追小欣”两种情况，符合本题的问题答案会有4种不同的可能。

2.变换问题，话题开放

编制开放题也可以从原有封闭习题的问题入手，通过以下几种路径使其成为开放题：可以改变问题的设问方式，变问题的答案数量为满足条件的各种可能；也可以弱化问题中限制条件，减少问题中的限制性因素，删除“最多”“最小”“至少”“至多”“最长”“最短”等词；还可以直接由学生根据条件信息自由补充问题作答，从条件去推断结论成立的多种可能性。从本质上来看，这些路径都是基于相同的逻辑起点——将原来封闭题由狭窄的单一变为宽泛的多元，从而确保问题答案不唯一，成为探索性和开放性较强的数学问题。这种改变有助于学生从更为广阔的空间里剖析知识内在结构，把握知识本质，构建属于自己的知识框架。

苏教版五年级《数学》下册第49页有一道习题：把两根分别长45厘米、30厘米的彩带剪成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？这是一道关于最大公因数的典型习题，从问题“每根短彩带最长是多少厘米”可以看出本题答案唯一。如果将原题中的问题改为“把两根分别长45厘米、30厘米的彩带剪成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带可能是多少厘米”，删除原题中的限制性词语“最长”，原来求两个数的最大公因数变成了求两个数的公因数。符合要求的答案就是1厘米、3厘米、5厘米、15厘米中的任意一种可能。

3.沟通知识，变单为串

在日常教学中，我们还可以根据知识间的内在联系创造性地开发数学开放题。数学是一门体系严谨的学科，知识点环环相扣，螺旋上升。有些知识从局部来看只是一个点，但从小学六年的整体知识来看，可以把更多相似点串成一条线，形成问题体系。这些问题单从个体的视角观察，都有属于自己的不同答案范围，呈现出各自不同的规律。如果从整体视角而言，看似独立的规律之间又能找到某种内在的契合点，遵循着共同的规律，有些问题甚至能用一个通式加以表达。这种开放题能给学生提供寻找知识内在关联的机会，探索其共同的数学规律，从更一般的视角洞悉数学的内在逻辑关系，内化知识，建构自己的知识网络。

在学习 “用字母表示数”时，学生了解到两个自然数的和等于这两个数的乘积，符合条件的数有2，0。在学习小数乘法后，学生在计算中也能见到“一个整数和一个小数的乘积与它们的和相等”的特例。学习分数乘法时，也会遇到一个整数与一个分数的和与积相等的实例。从问题答案的数量看，这三个问题都属于答案不唯一的开放题；从知识背景看，又分别涵括了小学生重点学习的三大数域；从知识网络看，在三个不同问题的答案背后又隐藏着共同的规律。为此可以把它们整合成一次“和积相等”的开放探索活动。

活动从最基础的2个整数的和积相等到3个自然数的和积相等，到4个自然数的和积相等……初步找到规律后，延展至整数和分数的和积相等。通过提供一组实例，在经历尝试计算、观察思考、探索交流的过程后尝试建立数学模型，即A+■=A×■（B=A-1，B≠0）。接着将数域延展至整数和小数的和积相等，尝试建立数学模型，即A+B=A×B。在此基础上通过辨析，理解整数小数间的和积相等与整数分数间的和积相等规律在数学本质上是相同的，可实现统一，但也存在差异。教师进一步提示学生随着数域的进一步扩展，还会存在更多这样的和积相等实例，鼓励学生在今后的学习中进一步进行探究。

三、理想与现实的交融：小学数学开放题课程实践

“课程”一词源于拉丁语，原意指“跑道” （Race-course）。夸美纽斯认为，课程就是教材。关于课程，目前较为认同的定义是：有组织的学习经验。从这个角度看，人们往往把课程简单地理解为学校为学生设定的学习路径，甚至更宽泛地把范围扩展到学生在这些路径上的学习过程及所获得的学习结果。课程改革的一项重要内容就是要重新挑选课程内容、编写教材的活动，或是筹划实施新课程的活动。我们以承担全国、江苏省教育科学“十二五”重点课题为契机，开展了扎实有效的开放题校本研发、实践和评价。

1.课程融合，践行课改的一种可能

（1）从模糊到清晰。刚接触数学开放题时，只觉得这种新颖题型很有意思，有助于激发学生的学习兴趣。囿于时间限制和认识局限，最初只是搜集开放习题作为数学课外兴趣小组活动的学习内容；教学时空后来扩展到每周两次的大课间活动，进而融入到常态数学课堂之中。随着对“课程”概念的把握，我们认识到：学习要系统地规划内容，要有具体可行的方案，要关注过程，建立评价，才能组成完整的教育教学活动，才是真正意义上的“过程”。

（2）从零散到系统。数学校本课程作为三级课程的重要环节，其本真意义绝非另起炉灶，增加学生的课业负担。从更广泛的意义上说，校本课程的研发应着力于学情、校情和区情，以更广博的胸怀着眼于学生的数学素养提升，关注细节，注重思维发展。也就是说校本课程与国家课程、地方课程不是并列关系，也不是从属关系，需要相互打通，实现融合，兼容并蓄。

基于这样的认知，我们在认真研读教材的基础上，分析知识结构及呈现体系，与文本对话，寻找开放元素，激活开放因子。在对话交流的基础上，进行深度思考和联想，约请相关专业人士对开发习题的科学性、层次性进行测评，从而设计出适合课时教学的开放习题。在服务课时教学目标的基础上，注重系统表达，利用三年时间自主研发了一套与教材配套的校本课程《数学开放题举一反三》，全套6册，每册40个主题，对应每学期20个教学周，每周一个话题。

2.课程现场，课改实践的一种尝试

（1）从稳态到常态。在传统数学课堂教学中植入开放题元素，将开放题学习引向常态课堂，实现校本课程与国家课程的有效融合，为课程改革寻找一条可能的道路。我们深知数学开放题的课堂融合是一个长期的、渐进的过程，不可能一蹴而就。传统力量毕竟强大，改革只能循着小步，摸着石头过河，在前行中不断总结反思，及时调整方向。

有人说，课程改革是演变，不是革命。从这个意义上来说，作为课程领导者的教师在打破旧有课堂秩序常态的同时，下大力气在传统课堂与数学开放题的融合上积极探索，确保既定教学目标达成的前提下逐渐达成新的平衡，成为新的稳态。通过实验厘清诸如开放题与传统教学任务的时间分配问题、开放题的教学时机、开放题与传统习题的匹配等问题，逐步形成小学数学课堂教学的新秩序，建立一种新常态。

（2）从数量到质量。和任何变革一样，在开放题融入常态课堂初期，难免会出现两种习题的比例分配失调问题，规定教学任务没有完成，开放题教学又虎头蛇尾，这种顾此失彼、首尾不能衔接的窘迫时常发生。破解这一尴尬处境最有效的方法就是切实转变实验者的观点，将对开放题的量的追求转到对质的关注上，从具体的课型出发，有的放矢地开发合适的开放性问题，做到心中有数，把握适时、适量和适度的原则。既不客随主便，也不喧宾夺主，一切以服务学生的思维发展为落脚点和最终归宿。

通过实验，一节新授课中开放题的量以3～5分钟为宜，练习课中以8～10分钟为宜，复习课的量可以酌情再增加一些。实践表明：精当的开放题随堂练习，不仅不会增加学生过多的课业负担，反而能调动学生数学学习的兴趣，激发探究的兴趣和热情，增强学生对数学概念的理解，便于学生整体把握知识体系，强化数学技能的练习，有益于学生思维的广阔性、深刻性、灵活性、独创性、批判性和敏捷性的培养。

3.课程评价，课改成效的一种检验

现代课程论认为：课程评价应该先于课程的设计而存在。这充分说明了评价在课程实施中的重要性。开放题课程的评价可以从定性描述阶段和定量刻画阶段两个层面展开。

（1）循序渐进，定性描摹。开放题校本实践的评价中，相对容易操作的是过程性评价，也就是把过程性评价与总结性评价相结合，给予定性描摹。执教者和听课者对不同学习小组进行分类定向观测，及时记载开放题课堂教学观测表。定性描摹常用的方法包括：对学生开放题有效学习从全面性、过程性、发展性等方面进行评价；开放题编制从关注知识点选择的关键性、问题解决的方法、计算的准确性、表达的条理性和完整性等方面进行评价；开放题解决效度从学生求解方案的数量、求解过程中的行为表现及心理活动变化等方面进行评价；对学生求解开放题的状态从参与度、自信度、合作度、独立思考习惯、数学思考力、反思力、评估力等维度进行评价……

（2）由表及里，定量刻画。“数学是思维的体操”，数学思考是数学课堂的“主角”。数学开放题在课堂教学中最重要的作用之一就是培养学生的思维品质。随着开放题校本实践的持续深入，人们已经不再满足于从定性视角评价开放题教学的效度，研究者乃至一线教师最为关切的问题是数学开放题学习对小学生思维发展的具体影响所呈现出的特征。从这个视角看，对于数学开放题学习的评价需要实现从定性描述向定量刻画转变。纵观国际开放题研究现状，总体而言定性描摹居多，定量刻画不足。

开放题对学生思维发展影响的评测研究是当前开放题研究的一个新的热点。评测先期要确定好实验班与对照班，拟定好问卷，制定好评测量表，再通过对实验班与对照班的问卷调查，筛选好有效问卷后，通过SPSS统计软件进行统计、分析，以翔实的数据透析开放题对小学生不同思维的具体影响。当然这种评测需要借力于专业机构及有心理学背景的评测专家。

总之，小学数学引入开放题，不仅能激发学生主动探究的欲望，满足不同层次学生的学习需求，让不同的人在数学上获得不同的发展成为可能，还能推动数学课程改革的发展，促进国家课程与校本课程的融合，进而提升数学课程的亲和度。