等效化简带有广义优先关系的时间-费用权衡问题

等效化简带有广义优先关系的时间-费用权衡问题

苏志雄1,2，乞建勋1，阚芝南1

(1.华北电力大学经济与管理学院，北京102206；2.南昌工程学院工商管理学院，江西南昌330099)

摘要：对于经典的时间-费用权衡问题，工序之间只存在单一时间约束，可用CPM网络表示。但是对于工序之间存在多种时间约束的时间-费用权衡问题，包括最大和最小时间约束(称为广义优先关系，简称GPRs)，则只能用GPRs网络表示，比CPM网络复杂许多。首先，论述了带有GPRs的时间-费用权衡问题与经典问题的巨大差别：在GPRs中，(1)缩短某些关键工序的工期能使总工期缩短，但缩短另一些关键工序的工期反而能使总工期延长；(2)缩短或延长工序的工期可能会破坏项目自身的可行性；等。其次，研究了GPRs网络的特性，推导出该网络的路长定理。第三，根据该定理，设计出等效化简带有GPRs的大型时间-费用权衡问题的简单方法，从而大幅减小求解该问题的难度和计算量。最后，通过算例演示了该方法。

关键词：项目调度；时间-费用权衡问题；等效化简；路长定理；广义优先关系

收稿日期：2012-09-29

基金项目：国家自然科学基金资助项目(71171079)

作者简介：苏志雄(1983-)，男，山西朔州人，博士生，研究方向：运筹学，项目进度与计划管理；乞建勋(1946-)，男，河北邢台人，教授，博士生导师，研究方向：运筹学，项目进度与计划管理；阚芝南(1987-)，女，江苏扬州人，博士生，研究方向：运筹学，项目进度与计划管理。

中图分类号：TB114.1文章标识码：A

Simplification of Time-cost Tradeoff Problem with Generalized Precedence Relations

SU Zhi-xiong1,2, QI Jian-xun1, KAN Zhi-nan1

(1.SchoolofEconomicandManagement，NorthChinElectricPowerUniversity,Beijing102206,China; 2.BusinessAdministrationCollege,NanchangInstituteofTechnology,Nanchang330099,China)

Abstract:For classic time-cost tradeoff problem, only single time constraint exists between activities, and it could be represented by CPM network. But for time-cost tradeoff problem when multiple time constraints exist between activities, which mainly contain maximal and minimal time constraints and are named as generalized precedence relations(GPRs), it only could be represented by GPRs network which is more complicated than CPM network. Firstly, huge differences between the time-cost tradeoff problem with GPRs and the classic problem are analyzed: under GPRs, (1)compressing durations of some critical activities could compress total duration, but compressing durations of some other ones could prolong the total duration; (2)compressing or prolonging duration of activity may damage feasibility of project etc. Secondly, property of GPRs network is studied, and path length theorem of the network is deduced. Thirdly, according to the theorem, simple algorithm to simplify large scale time-cost tradeoff problem with GPRs is designed for decreasing difficulty and computation greatly of solving the problem. And finally, the algorithm is illustrated by example.

Key words:project scheduling; time-cost tradeoff problem; equivalent simplification; path length theorem; generalized precedence relations(GPRs)

0引言

时间-费用权衡问题是项目调度的核心问题。根据项目中各工序选取工期的区间是否连续，经典的时间-费用权衡问题可划分为连续型和离散型两类，其中，离散型时间-费用权衡问题是NP-hard[1]，目前没有多项式算法可以求解；对于连续型非线性时间-费用权衡问题，通常先用分段线性函数近似逼近非线性函数，然后再求解[2～4]，分段越精细，逼近效果越好，但是计算量及难度也越大。因此，求解经典时间-费用权衡问题的最大难点是其高复杂度和大计算量，尤其随着现代科技的飞速发展，大型工程项目越来越多，所包含的工序均数以万计，所涉及的问题规模往往都大得惊人。

在经典的时间-费用权衡问题[5,6]中，工序之间只存在单一时间约束，任意工序只能在其紧前工序全部结束后才能开始，可用CPM网络表示。但在实际中，工序之间的时间约束类型很多，任意工序之间、以及工序与项目之间都可能存在时间约束(参见节1)，例如，工序A开始后至少3天，工序B才能开始，这是工序A和B之间的一类最小时间约束；再如，工序A开始后最多5天，工序B必须开始，这是工序A和B之间的一类最大时间约束。所有时间约束统称为广义优先关系(Generalized Precedence Relations，简称GPRs)。GPRs的多样性使其无法用CPM网络表示，当前通用的表示方法称为GPRs网络[7,8]。该网络虽然能够准确表示所有的时间约束，但是与CPM网络相比要复杂得多，例如图1就是一个只包含3个工序的GPRs网络，其中既有负权弧，也有回路，并且不能有正回路，否则表明对应的项目不可行。

图1　GPRs网络

带有GPRs的时间-费用权衡问题只能用GPRs网络表示，它与CPM网络表示的经典问题有巨大的不同：(1)在GPRs网络中，缩短某些关键工序的工期能使总工期缩短，但缩短另一些关键工序的工期反而能使总工期延长，并且延长某些关键工序的工期也能使总工期缩短，这是与CPM网络最根本的差异；(2)GPRs网络中存在回路，回路上工序工期的变化可能会产生正回路，从而导致网络即项目不可行，因此带有GPRs的时间-费用权衡问题还存在着可行性问题，而CPM网络没有回路，不存在可行性问题。所以，带有GPRs的时间-费用权衡问题，其难度远远大于经典的时间-费用权衡问题。国内外学者对该问题的研究还相对较少。Elmaghraby和Kamburowski[7,8]利用GPRs网络，将带有GPRs的时间-费用权衡问题转化为特殊的最小费用流问题；另外他们还发现GPRs网络中存在奇异关键工序，该类工序的工期缩短，总工期反而延长，反之亦然，颠覆了关键工序的传统观念和求解问题的传统思路，进一步揭示了带有GPRs的时间-费用权衡问题的高难度。Neumann和ZhanI[9]研究了在资源限制条件下，含最小与最大时间延期约束的项目工期最小化问题，给出了启发式方法求解。Sakellaropoulos和Chassiakos[10,11]研究了带有GPRs的时间-费用权衡问题，提出用线性/整数规划方法求最佳时间-费用曲线，以及最低成本进度。国内学者主要针对带有GPRs中最小时间约束的时间-费用权衡问题，利用搭接网络对其进行研究。吴唤群、唐莉等人[12]研究了搭接施工网络的工期优化问题，提出相应的优化算法。杨冰[13]给出了统一计算经典网络、搭接网络和流水作业网络的时间参数的方法。

可见，当前对带有GPRs的时间-费用权衡问题的研究主要集中在求解算法上。鉴于该问题的难度，当问题规模很大，或者问题是离散型或非线性连续型时，运用任何算法求解都将十分困难，因此只通过研究算法试图实现对该问题的有效求解终究是有限的，有必要改变思路，探索新的解决方法。

本文采用对问题进行等效化简的思路，找出并去掉求解过程中无需考虑的对象，既不影响问题的最优解，又缩小了问题的规模，从而降低了求解难度，无论使用任何算法求解都能大幅减小计算量。

对于经典的时间-费用权衡问题，文献[14～17]提出了相应的等效化简方法，其主要思路是，从路长的角度考虑，若要缩短总工期，只需要缩短CPM网络中的较长路线即可，因此只需保留较长路线，而较短路线可以去掉，例如，若要将总工期从100天缩短到95天，则只需将路长大于95的所有路线缩短到95即可，而其余路线均无需考虑。这里暗藏着一个前提，随着工序工期的缩短，路线也随之缩短，因此最初短于95的路线，必然始终短于95。

但是对于带有GPRs的时间-费用权衡问题，由于GPRs网络中存在奇异工序，其工期缩短，经过该工序的路线反而延长，因此若单从路长的角度考虑，缩短某些工序的工期可能会使较短路线变长，使得较短路线在问题的求解过程中也需要考虑，即相当于网络中的所有路线可能都需要考虑，无法等效化简。所以，文献[14～17]的化简思路和方法并不完全适用于带有GPRs的时间-费用权衡问题。

本文通过分析带有GPRs的时间-费用权衡问题的特点，重点研究了GPRs网络中的奇异工序，得出了等效化简该问题的原理，并以此为依据设计出简单的等效化简方法。

1GPRs网络分析

1.1GPRs网络描述

GPRs包含工序之间的“最小”和“最大”两类时间约束，具体类型如表1所示。

表1　GPRs的类型

当前通用的表示GPRs的GPRs网络，其主要特点为：

(1)在工序的表示上，每个工序k都用两个方向相反的弧(i,j)和(j,i)表示，其中，正向弧(i,j)表示工序k的走向，弧权数wij为该工序的工期dk，即wij=dk；而反向弧(j,i)与工序k的走向相反，并且弧权数wji为该工序工期的相反数-dk，即wji=-dk；另外，实工序之间不允许有公共的节点。

(2)在时间约束的表示上，用一个弧表示一个时间约束，其中，正向弧表示工序之间的最小时间约束，其方向与约束关系同向，弧权数为约束值；而反相弧表示工序之间的最大时间约束，其方向与约束关系反向，并且弧权数为约束值的相反数。

表2工序之间的GPRs

工序对时间约束类型时间约束起点,工序1BS0≤s1起点,工序2BS0≤s2工序1,2FSSFf1+4≤s2s1+8≤f2工序1,3SSFFs1+1≤s3f3≤f1+3工序2,3FFf2≤f3+7工序5,终点FEf2+1≤T工序7,终点FEf3≤T

鉴于上述特点，GPRs网络与表示单一时间约束的CPM网络有很大差别，例如图1，图中3个工序之间的时间约束如表2所示，其中si表示工序i的开始时间，fi表示工序i的结束时间。

1.2奇异工序

在CPM网络中，任意工序的工期如果延长或者缩短，那么经过该工序的所有路线长度必然都会同步延长或者缩短。但是在GPRs网络中，会存在这样一些工序，它们的工期延长或者缩短后，经过它们的路线长度却不会随之同步变化，甚至还会逆向变化，这些工序就称为奇异工序。

奇异工序不仅包括逆工序(例如文献[7,8]发现的奇异关键工序)，我们还发现了中性工序。

1.2.1中性工序

GPRs网络中，如果某工序的工期不论缩短还是延长，经过该工序的某些路线的路长都不变化，则该奇异工序就称为这些路线的中性工序。

例如，图1中的工序1就是中性工序，因为该网络中存在着同时经过该工序的正向弧(2,3)和反向弧(3,2)各一次的路线μ=(1)→(2)→(3)→(2)→(6)→(7)→(8)。如果将工序1的工期从2缩短到1，则弧(2,3)的权数由2变为1，即减小1，而弧(3,2)的权数由-2变为-1，即增大1，其它弧的权数不变，因此路线μ上所有弧权数之和不变，即路长不变，工序1是该路线μ的中性工序。

特别当μ是关键路线μ▽时，工序k就是中性关键工序，其工期无论缩短还是延长，总工期都不变。

1.2.2逆工序

GPRs网络中，如果某工序的工期缩短后，经过该工序的某些路线反而会延长；相反，如果该工序的工期延长后，这些路线反而会缩短，则该奇异工序就称为这些路线的逆工序。

例如，图1中的工序1也是逆工序，因为该网络中存在着经过该工序的反向弧(3,2)而不经过其正向弧(2,3)的路线μ=(1)→(6)→(7)→(3)→(2)→(5)→(8)，如果将工序1的工期从2缩短到1，则弧(3,2)的权数就由-2变为-1，即增大1，并且该路线上其它弧的权数没有变，因此该路线μ的路长也增大1，说明工序1的工期缩短后，路线μ反而延长，工序1是该路线μ的逆工序。

特别当μ是关键路线μ▽时，工序k就是逆关键工序，其工期缩短，总工期必然延长。

2等效化简带有GPRs的时间-费用权衡问题的原理

时间-费用权衡问题是指如何用最低的费用实现项目的预定总工期。由于通常工序的工期越长，费用越低，因此，求解该问题的常用方法是，用最低的费用将总工期从最长值缩短到预定值。

对于带有GPRs的时间-费用权衡问题，设初始GPRs网络中，各工序都选用各自的最长工期，且项目可行，总工期为T，若要求将总工期缩短ΔT，为了使问题变得简单易解，我们可以先对问题进行等效化简，即等效化简GPRs网络，去掉对求解过程没有影响的路线、工序和时间约束。

由于GPRs网络中包含奇异工序，因此等效化简该网络时，不能参照文献[14～17]只从路长的角度考虑。针对该问题，我们给出了化简原理，并将其总结为以下命题1～4。

由于GPRs网络中的工序和时间约束都由弧表示，为了便于描述，我们在后面只用“弧”的概念。

命题1等效化简带有GPRs的时间-费用权衡问题时，不能只考虑GPRs网络中的路长，还必须结合“每步压缩中，工序工期的变化对于总工期的缩短都必须是有效的”这一前提。

证明求解任何时间-费用权衡问题时，基本原则之一就是要求每步压缩必须是有效压缩，不能使缩短了的总工期再延长，并且压缩费用最低。求解带有GPRs的时间-费用权衡问题也同样遵循该原则。

由于GPRs网络中存在奇异工序，使得在压缩工序工期时，网络中的路线可能缩短，可能延长，也可能不变，无法确定路长始终不大于T-ΔT的路线，因而在求解时间-费用权衡问题的过程中，所有路线都可能因为变得长于T-ΔT而需要考虑。所以，只从路长的角度考虑无法进行化简。

但是求解带有GPRs的时间-费用权衡问题的本质是“用最低的费用缩短总工期”，因此必然要求工序工期的每步调整对于总工期的缩短都是有效的。我们对该问题进行等效化简，并不单是去掉网络中的较短路线，其根本目的是简化问题的求解过程，而并不改变其本质，因此必须在“每步压缩中，工序工期的变化对于总工期的缩短都必须是有效的”这一前提下进行。

结合上述前提来考虑GPRs网络中的路长，就会得到全新的结论，因为该前提是针对网络整体，而“逆工序”和“中性工序”只是针对单条路线。在保证该前提下，只要经过某弧的所有路线不长于T-ΔT，那么即使受奇异工序的影响，这些路线在压缩总工期过程中也不会长于T-ΔT，具体参见命题2和3。

命题2在压缩总工期的过程中，GPRs网络中只有表示工序的弧的权数可以改变，而表示时间约束的弧的权数不可以改变，更不会产生奇异现象。

证明由于工序之间的最大和最小时间约束都是硬性条件，不可以改变，所以GPRs网络中表示这些时间约束的弧及权数也不可以改变，因此，它们的权数虽然可能为正，也可能为负，但是对所在路线的长度变化没有影响，更不会导致奇异现象的产生，在等效化简时，无需将它们进行特殊考虑。

命题3在初始GPRs网络中，如果经过(i,j)弧的所有路线均不长于T-ΔT，那么无论奇异工序存在与否，在“用最低的费用将总工期从T缩短到T-ΔT”的过程中，这些路线始终都不会长于T-ΔT。

证明GPRs网络中，实工序k用权数为wuv=dk的正向弧(u,v)和权数为wvu=-dk的反向弧(v,u)表示。设初始网络中经过弧(i,j)的所有路线均不长于T-ΔT，下面针对具体情况进行分析。

根据工序的类型，经过弧(i,j)的路线最多有3类：不包含奇异工序的路线，包含中性工序的路线，以及包含逆工序的路线。下面我们分别进行分析。

(1)如果经过弧(i,j)的某路线上没有奇异工序，则缩短任意工序都只会使该路线变得更短。

(2)如果经过弧(i,j)的某路线上有中性工序k，即该路线经过弧(u,v)和(v,u)各一次，缩短该工序的工期不会使该路线长度发生变化，而缩短其它工序只会使其变短，因此该路线必然不会长于T-ΔT。

(4)如果经过弧(i,j)的非最长路线μij上有逆工序k，即μij经过工序k的反向弧(v,u)，弧权数wvu=-dk，而不经过其正向弧(u,v)，弧权数wuv=dk，我们也从以下几方面考虑：

1)若(v,u)=(i,j)，则与(2)-1)情况相同。

2)若(v,u)≠(i,j)，且弧(v,u)所表示的工序k是非关键工序，或者同时也是中性关键工序或逆关键工序，要实现“用最低的费用缩短总工期”，工序k的工期不能缩短，因此μij始终不会长于T-ΔT。

图2　示例图

3)若(v,u)≠(i,j)，且弧(v,u)所表示的工序k虽是逆工序，但同时也是非奇异的关键工序，如图2，粗线表示关键路线，点划线表示经过弧(v,u)的路线μij=…→(i)→(j)→…→(v)→(u)→…→(n)。

结合(1)～(4)可知，如果经过弧(i,j)的所有路线都不长于T-ΔT，那么在“用最低的费用将总工期从T缩短到T-ΔT”的过程中，这些路线在任何时候也都不会长于T-ΔT。

命题4如果初始GPRs网络中经过弧(i,j)的最长路线不长于T-ΔT，则该弧可以去掉。

证明如果初始GPRs网络中经过弧(i,j)的最长路线不长于T-ΔT，则经过该弧的所有路线均不长于T-ΔT。根据命题3，在“用最低的费用将总工期从T缩短到T-ΔT”的过程中，这些路线始终不会长于T-ΔT，因此在求解时间-费用权衡问题时，可以通过去掉弧(i,j)，来去掉这些无需考虑的路线。

在上述命题的基础上，我们就可以只从路长的角度来考虑GPRs网络中各弧的取舍，进而对该网络以及原问题进行等效化简。

但是路长问题同样难度很大，并且是世界性难题。尤其对于GPRs网络，其结构复杂，回路众多，还有大量的负权弧，若要寻找经过任意弧的所有路线，运用现有的任何方法都是极其复杂的，因此如何简便有效地寻找路线成为等效化简的一大难点，如果不能解决，无疑会使等效化简的效果大打折扣，甚至没有意义，因为“通过等效化简降低原问题求解难度”的根本目的无法实现，甚至适得其反。

为了克服上述难点，我们研究了GPRs网络的结构特性，揭示了节点时间参数与路长的关系，总结为路长定理(参见节3.2)，根据该定理，能够只利用时间参数判断经过任意弧的最长路线，进而得知所有路线的状况，无需复杂的路长计算，从而能用很简单的方法等效化简带有GPRs的时间-费用权衡问题。

3GPRs网络的节点时间参数和路长定理

3.1节点时间参数

(1)

(2)

由于GPRs网络中既有负权弧，也有回路，所以需借助Ford算法计算相应的路长。

3.2路长定理

(3)

(4)

所以该路线的路长为

(5)

根据式(1)，起点(1)到节点(i)的最长路线的路长为

(6)

再根据式(2)，节点(j)到终点(n)的最长路线的路长为

(7)

将式(6)和(7)代入式(5)

所以式(3)成立。

同理可证，式(4)成立。

4等效化简带有GPRs的时间-费用权衡问题的方法

4.1化简方法描述

假设在GPRs网络中，各实工序的初始工期都是各自的最长工期，且网络可行。若要求将总工期缩短ΔT，可按如下步骤等效化简该问题：

步骤3去掉剩余节点中没有与表示“时间约束”的弧相连的节点，并去掉与它们相邻的弧。

4.2方法的正确性证明

根据节2的命题1和2，每步压缩时，工序工期的变动对于总工期的缩短必须是有效的。再根据节2的命题3和4，若经过某弧的最长路线不长于T-ΔT，则在总工期以最低的费用从T缩短到T-ΔT的过程中，经过该弧的所有路线都不会长于T-ΔT，因而该弧可以去掉不予考虑。

由于L(μ▽)=T，所以

所以节4.1算法的步骤1和2正确。

在已去掉的弧中，包括表示时间约束的弧，可能出现这样的节点(j)，在与该节点相连的弧中，只有表示工序的弧(i,j)和(j,i)，而没有表示时间约束的弧，并且由于网络起点(1)和终点(n)始终存在，该节点(j)不会成为网络起点或终点，例如图3所示。很明显，在图3中，缩短工序k的工期不会影响任何路长，因此无需考虑工序k。去掉工序k就是去掉节点(j)及其相邻弧。所以节4.1算法的步骤3正确。

图3　示例图

通过上述分析可知，通过节4.1的算法，去掉的弧都是在求解带有GPRs的时间-费用权衡问题时不需要考虑的冗余弧，不影响问题的最优解，因此该算法能够实现对原问题的等效化简。

4.3方法的复杂性分析

设GPRs网络中共有n个节点，m个弧，m>n。

所以节4.1算法的复杂度为O(m)。

5应用举例

图4表示工序之间带有GPRs的工程项目网络图，如果要求将该项目当前的总工期以最低的费用缩短2天，试对该问题进行等效化简。

图4　GPRs网络

步骤3去掉剩余节点中没有与表示“时间约束”的弧相连的节点(5),(12)，以及与其相邻的弧。

化简后的网络如图5所示，很显然，该网络比图4所示的原网络要简单的多，利用该网络求解相应的时间-费用权衡问题无疑会便利许多。

图5　等效化简后的GPRs网络

6结论

对于工序间带有GPRs的时间-费用权衡问题，首先，工序之间以及工序与项目之间的时间约束无法用CPM网络表示，而只能用更为复杂的GPRs网络表示；其次，GPRs网络中包含奇异工序，特别是逆关键工序，缩短该工序的工期反而会使总工期延长，不能再用传统的思路和方法考虑并求解；再者，GPRs网络中存在大量回路，调整工期时必须检验并确保不产生正回路。因此，该问题与经典的时间-费用权衡问题相比，其难度要大得多，目前还没有足够简便有效的方法可以求解。

针对该问题，本文研究如何进行等效化简，找到并去掉求解过程中无需考虑的对象，包括工序和时间约束，从而大幅减小问题规模，降低求解难度。需要强调的是，由于奇异工序颠覆了人们对工序特别是关键工序的传统认识，因此对待该类工序不能再用已有的思路和方法，否则必然导致错误的结果。

本文首先分析了带有GPRs的时间-费用权衡问题的特点，将GPRs网络中的奇异工序作为重点考虑对象，给出了等效化简该问题的原理；其次，分析了GPRs网络中的时间参数，揭示了它们与相应路线长度之间的关系，总结出路长定理；再次，根据等效化简原理和路长定理，设计出等效化简带有GPRs的时间-费用权衡问题的简单方法，并分析了方法的正确性和复杂性，其复杂度为O(m)，m表示网络中弧的数量；最后，通过应用举例，显示了该化简方法的便捷性和有效性。在未来的研究中，我们将在等效化简的基础上，进一步研究如何更有效地求解带有GPRs的时间-费用权衡问题。

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