爱情动力学的微分方程建模

吕贵臣　宋江敏

摘要：本文利用数学建模思想考虑了大学生普遍关注的爱情问题，通过对大学生的爱情引入回应、遗忘、直觉以及家庭和学习压力的干预等因素，建立微分方程模型。通过例子，我们发现家庭和学习压力的干预虽然会对大学生的爱情产生较大影响，但是只要二人能够风雨同济，还是有可能做到学习、爱情两不误，最终走到一起。

关键词：微分方程；数学建模；稳定性

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）03-0171-02

一、引言

爱情，作为一种复杂的心理活动，在现实生活中，一直被人们所关注。我们无法洞悉爱情的本质是什么，但是我们可以从数学的角度，去分析它、解读它。1988年，Strogatz在文献[5]中首先给出了罗密欧和朱丽叶之间爱情的数学模型。在Strogatz的基础上，Spott[3]给出了更具一般性的微分方程模型，并进一步考察了三角恋的问题。Rinaldi[4]将一个完整的恋爱过程分为回应、遗忘和直觉三个因素，并给出了更具一般性的微分方程模型。在Rinaldi的基础上，Son和Park.[1]，Bielezyk等[2]进一步考虑了时间滞后的影响。顾仁财、许勇和狄根虎在文献[6]中，对三角恋的爱情模型引入了随机因素，并揭示了混沌现象。

本文我们将在Rinaldi[4]的基础上，对大学生的恋爱问题，做了进一步的研究，主要揭示家庭、学习等因素对大学生男女的感情影响。

二、模型建立

随着社会的进步和社会文明程度的提高，大学生在读书期间谈恋爱也变成十分普遍的现象，牵手徜徉在美丽的校园中，也逐步成为了校园文化的一道亮丽的风景。大学生该不该谈恋爱，会不会有结果，是否会影响学习等问题一直被人们所关注。假设大学生的爱情也会受到遗忘（oblivion）、回应（return）和直觉（instinct）三个因素的影响。记i=1，2分别表示恋爱过程的男女双方。x （t）表示t时刻i的爱（>0）与恨（<0），O （t）表示t时刻i的遗忘函数，R （t）表示t时刻i对j（i≠j）的回应函数，A 表示t时刻i的直觉函数。由[4]知，i的恋爱方程为：

=O （t）+R （t）+A （1）

其中，O （t）函数只与i对j（i≠j）的爱有关，我们假设爱情若不加补充，总是随着时间的长久而消耗，这就所谓的爱情守恒定律。为此，令O （t）=-αixi（t），这里α 为遗忘系数。R （t）表示t时刻i对j（i≠j）的爱情的一个回应，它是一个依赖于x （t）的函数，即R =

R （x （t））。粗略地讲，这一项可以解释为一个人“love to be loved”和“hates to be hated”（爱憎分明）。为了讨论起来的简单，文献Rinaldi[4]假设R （t）为一个无限增长线性函数，R （x ）=β x （t），（β >0）。但在实际中，R （t）不可能是一个无限增长的函数，设想一下，i对j（i≠j）的爱情的一个正效应（“love to be loved”），但是若j（i≠j）付出的爱情太多，i相应地会感受到窒息（被爱的透不过气）。相应地，若i对j（i≠j）的爱情的一个负效应（“hates to be hated”），这个恨也不可能无限增加。因此，R （t）应当满足当x （t）>0时，R （t）达到正最大值，当x （t）<0时，R （t）达到负最小值，基于此，我们令R （x ）=β ，若不考虑大学生的学习以及家庭等因素的影响，我们有

=-α x +β +A ，

=-α x +β +A .？摇 （2）

在大学生的学习阶段，不可避免地会受到一些来自诸如家庭、学习压力等因素的干预。此时势必会对大学生的爱情产生影响，记U （t）为t时刻i对j（i≠j）的爱情的干预函数。因为干预一般都是对的爱情的一个负效应，并且对i对j（i≠j）的感情都产生影响，因此，我们假设U （t）=-εixixj，ε >0.此时，我们有对应的干预函数的微分方程模型：

=-α x +β +A -ε x x ，

=-α x +β +A -ε x x .？摇？摇？摇 （3）

三、例子与结论

为了进一步说明大学生的感情的变化和家庭干预的影响，我们对模型（2）和（3）的解进行稳定性分析。

例：考虑模型

=-2x +2 +1-ε x x ，

=-x + +1-ε x x .？摇 （4）

若ε =ε =0，此时模型（4）为非干预爱情模型，根据文献[7]的多项式的实根分离算法，运行Mrealroot指令，可以得到，系统存在正平衡点（x ，x ）且其变化范围为（[7877/8192，3939/4096]，[12283/8192，12287/8192]）。并进一步，可判定模型（4）正平衡点处雅可比矩阵的特征根λ ，λ 满足λ +λ =-3<0，λ λ >0.由稳定性理论知，正平衡解稳定，即说明男女双方的爱情在一定初值范围内，可以持久下去，最终走在一起。

若ε =5，ε =200，此时模型（6）干预的爱情模型，由[7]可知，正平衡点（ ， ）的变化范围为（[1017/2048，8137/16384]，[7307/524288，

7309/524288]）。并进一步，可判定模型（4）正平衡点处雅可比矩阵的特征根λ ，λ 满足λ +λ <0，λ λ >0.由稳定性理论知，正平衡解稳定.由此可知，正平衡点是局部稳定的。与非干预模型比较可知，在相同的控制参数下，引入家庭和学习压力等因素的干预，将会对大学生男女的感情产生较大的负影响（正平衡点的值变小），但是如果二人同心协力，二人最终还是有希望可以走在一起。

参考文献：

[1]Woo-Sik Son，Young-Jai Park. Time Delay Effect on the Love Dynamical Model，Journal of the Korean Physical Society，59（2011），2197-2204.

[2]Natalia Bielczyk，Marek Bodnar，Urszula Forys. Delay can stabilize：Love affairs dynamics. Applied Mathematics and Computation，219（2012）3923–3937.

[3]Sprott J C. Dynamical models of love[J]. Nonlinear dynamics，psychology，and life sciences，2004，8（3）：303-314.

[4]Rinaldi S. Love dynamics：the case of linear couples[J]. Applied Mathematics and Computation，1998，95（2）：181-192.

[5]Strogatz S H. Love affairs and differential equations[J]. Mathematics Magazine，1988，61（1）：35.

[6]顾仁才，许勇，狄根虎.非线性三角恋模型及其在高斯白噪声激励下的基本动力学特征[J].动力学与控制学报，2010，8（2）：142-145.

[7]陆征一，何碧，罗勇.多项式系统的实根分离算法及其应用[M].北京：科学出版社，2004.