树干液流速率的ARIMA模型研究

谢恒星　张振华　蔡焕杰　王雨点

摘要：应用ARIMA模型拟合了晴天的液流速率，与传统的时间序列模型进行了精度比较，并随机选取另外两个时段的液流速率进行了模型普适性分析。结果表明，应用ARIMA（1，2，1）模型液流速率拟合值与观测值回归方程的决定系数达到0.994，二者相关性极显著；与传统的二次滑动平均和二次指数平滑模型相比，液流速率相对误差处于±10%和±5%范围内的分别为90.909%和65.152%，拟合精度明显提高；分别应用ARIMA（1，2，2）和ARIMA（1，1，2）模型拟合9、10月的液流速率，拟合值与观测值的相关性均达到极显著水平。ARIMA模型可以明显提高树干液流速率的拟合精度。

关键词：ARIMA模型；液流速率；拟合精度

中图分类号：S792.26 文献标识码：A 文章编号：0439-8114（2015）24-6383-03

DOI：10.14088/j.cnki.issn0439-8114.2015.24.075

Abstract： ARIMA model was applied to fit sap flow velocity in sunny day， fitting precision comparison to traditional time series model was conducted， and ARIMA models wide use was analyzed by choosing another two periods sap flow velocity data. Results showed that the determining coefficient of the regressive equation between fitted values and measured values of sap flow velocity in ARIMA（1，2，1） model was 0.994 with extreme significance. Compared with two-step moving average model and two-step ex-smooth model， the sap flow relative error between ±10% and ±5% were 90.909% and 65.152%， respectively. The relativity between fitted values and the measured values of sap flow velocity in Sep. and Oct. fitted by ARIMA（1，2，2） model and ARIMA（1，1，2） model were extreme significance， too. In conclusion， ARIMA model could improve trunk sap flow fitting precision significantly.

Key words：ARIMA model；sap flow velocity； fitting precision

树干液流是树木蒸腾的反应[1]。由于树木蒸腾作用受树种、环境、时间、空间等多种因素影响，因此树干液流也是多变的，应用传统时间序列模型预测树干液流存在一定的困难。ARIMA模型（差分自回归移动平均模型）是Box等[2]于20世纪70年代提出的一种基于随机变量理论的时间序列分析模型，与传统的时间序列分析（指数平滑法、滑动平均法、趋势预测法、趋势季节模型预测法、时间序列的分解等）相比，ARIMA法不需要对时间序列的发展模式作先验的假设，同时可以通过反复识别进行修改，因此适用范围更为广泛[3]。本研究应用ARIMA模型拟合液流速率并进行预测，与传统的时间序列模型进行比较，以期为精确拟合树干液流寻找合适的方法。

1 试验区概况

试验于2005年8～10月在鲁东大学校园内进行，地理位置 37°14′N， 121°27′E，海拔63 m；属暖温带大陆性季风气候，年均气温11.8 ℃，年均风速4～6 m/s，年均降雨量651.9 mm，年均相对湿度68%，年均日照时数2 698.4 h，无霜期210 d；土壤属棕壤土，土层厚度3 m左右，根系活动层土壤pH为6.2～6.7，有机质含量14.23 mg/kg，全N 1.09 mg/kg，速效P 11.42 mg/kg，土壤容重1.34 g/cm3左右，地下水位2～3 m。

2 材料与方法

选择长势良好、树干通直、冠幅适中、树皮光滑、无病虫害的一株龙爪槐作为被测样木，龙爪槐树龄为3年，胸径5.5 cm，树高2.7 m，树冠2.5 m×2.3 m。在所选样木的胸高（1.3 m）处安装美国DYNAMAX公司生产的DYNAGAGE包裹式茎流系统的SGB35包裹式探头，以避免近地处冷液流的影响[4]。

在光滑的茎段上用小刀将树干外的死树皮刮去，在刮树皮时要小心，不要损伤树干的韧皮部，再用细砂纸将其打磨光滑，涂上一层很薄的硅胶树脂（G4型），防止水分顺树干进入测定部分或水气的液化，保护探头不受损伤和阻止其与树干粘连[5]，然后用O形环将探头的上、下两头密封严实。为了防止太阳辐射对探头的影响，在安装好探头后再在探头外层包裹3层铝箔。探头通过SF2-135数据转换器与数据采集器连接，利用12 V铅蓄电池给数据采集器供电。由于是在充分供水的条件下测定龙爪槐树干液流，因此土壤水分不是树木茎流的制约条件而不予考虑。自动气象站和茎流计数据采样间隔均为15 s，每10 min计算平均值并记录下来。由于晴天的液流数据更具代表性[4，6]，因此分析所用数据均为晴天的液流数据。

3 ARIMA模型建模

ARIMA模型要求原始时间序列数据满足平稳性、正态性和零均值性的性质，其建模思想为[7，8]：

1）根据时间序列的散点图、自相关图和偏相关图以及ADF单位根检验，观察其方差、趋势及其季节性变化规律，识别该序列的平稳性。

2）数据进行平稳化处理。如果数据序列是非平稳的，则需对数据进行差分处理，对于随时间而呈周期性变化的数据序列，除可以用季节差分消除周期性的变化外，还可以用组合模型方式即先提取数据序列的线性（或指数）趋势，再提取数据序列的周期趋势来消除周期性变化。

3）根据时间序列模型的识别规律，建立相应的模型。a.若平稳时间序列的偏相关函数是截尾的，而自相关函数是拖尾的，则可断定此序列适合AR模型；b.若平稳时间序列的偏相关函数是拖尾的，而自相关函数是截尾的，则可断定此序列适合MA模型；c.若平稳时间序列的偏相关函数和自相关函数均是拖尾的，则此序列适合ARIMA模型。

4）进行参数估计。由于模型的结构不同，统计特性不同，估计的方法也不同。一般分为初估计和精估计，前者为精估计准备参数（如矩估计法、逆函数法）；后者在前者的基础之上通过某种方法（如最小二乘估计、最小平方和古迹、极大似然估计）迭代求出参数的精估计值。

5）进行假设检验，诊断模型的残差是否为白噪声，并检验模型的估计效果。

6）进行预测。ARIMA模型的预测方程[9]为：

？椎P（B）（1-B）dZt=？兹0+？兹q（B）at

式中，at是白噪声序列，B为后移算子，即BZt=Zt-1，？椎P为自回归算子，？椎P（B）=（1-？椎1B-…-？椎pBp），p为模型的自回归阶数；？兹q为移动平均算子，？兹q（B）=（1-？兹1B-…-？兹qBq），q为模型的移动平均阶数；？兹为参数，？兹0=μ（1-？椎1-？椎2-…-？椎p），μ为平均值。

4 结果与分析

液流速率是植物蒸腾强弱的表现，蒸腾速率的大小又受外界环境条件如辐射、温度、风速等因素的影响，外界条件的改变会引起蒸腾速率的瞬时改变，液流速率也会随之发生变化。2005年8月20日龙爪槐树干液流速率的日进程如图1所示。由图1可知，8：50～20：00液流速率较大且出现3个峰值，均值为3 053 g/h，10：20以后液流速率开始下降且出现小的波动，19：30降至190 g/h。由龙爪槐树干液流速率的日进程可以看出，液流速率时间序列不符合平稳性的建模要求，需要对原始时间序列数据进行转换。在DPS5.02数据处理系统软件的“时间序列”、“数据序列检验”菜单操作中，对原始时间序列数据进行1阶差分和平方根转换后，时间序列符合平稳性和正态性的要求，可以进行ARIMA建模。之后在“ARIMA模型”菜单中经过反复调试，最终确定该模型为ARIMA（1，2，1）。

利用ARIMA（1，2，1）模型拟合液流速率，液流速率观测值与拟合值的关系如图2所示。由图2可知，液流速率观测值与拟合值的回归方程的决定系数达到0.994，二者相关性极显著；回归图像中数据点均靠近回归直线，说明模型的拟合效果极好。

分别利用传统的二次滑动平均和二次指数平滑模型拟合液流速率得到液流速率的拟合值，拟合值与观测值的相对误差与ARIMA（1，2，1）模型的相对误差的比较如图3所示。

由图3可知，二次滑动平均和二次指数平滑模型的液流速率拟合值与观测值的相对误差波动范围分别为-41.68%～58.826%和-28.964%～53.073%，而ARIMA（1，2，1）模型的液流速率相对误差波动范围为-12.207%～9.223%；二次滑动平均、二次指数平滑和ARIMA（1，2，1）模型的液流速率相对误差中，处于±10%范围内的分别为43.077%、39.706%和90.909%；处于±5%范围内的分别为27.692%、20.588%和65.152%。从液流速率相对误差的对比中可以看出，ARIMA（1，2，1）模型的拟合精度最高，优于传统的时间序列分析模型。

为了验证ARIMA模型在树干液流速率拟合上的普适性，随机选取2005年9月23日和10月11日（均为晴天）的液流速率数据建立ARIMA模型，经过数据处理和自回归、滑动平均阶次调整，确定二者的模型类型分别为ARIMA（1，2，2）和ARIMA（1，1，2）模型，分别利用以上模型拟合液流速率，预测值（y）与观测值（x）建立回归方程，结果如表1所示。

5 结论

利用ARIMA（1，2，1）模型拟合龙爪槐树干液流速率，拟合值与观测值回归方程的决定系数达到0.994，二者相关性极显著；与传统的二次滑动平均和二次指数平滑模型相比，液流速率相对误差处于±10%和±5%范围内的分别为90.909%和65.152%，拟合精度明显要高；分别随机选取9、10月晴天的液流速率数据利用ARIMA模型进行拟合，两个时期液流速率拟合值与观测值回归方程的决定系数分别为0.976 5和0.633 3，相关性均达到极显著水平。结果表明，ARIMA模型可以明显提高液流速率的拟合精度，是一种较好的液流速率拟合方法。

参考文献：

[1] KRAMER P J. Water Relations of Plants[M]. San Diego： Academic Press， 1983.

[2] BOX G P E， JENKIS G M. Time Series Analysis： Forecasting and Control[M]. San Francisco： San Francisco Press，1978.

[3] 石美娟.ARIMA模型在上海市全社会固定资产投资预测中的应用[J].数理统计与管理，2005，24（1）：69-74.

[4] 曹文强，韩海荣，马钦彦，等.山西太岳山辽东栎夏季树干液流通量研究[J].林业科学，2004，40（2）：174-177.

[5] 严昌荣，ALEC D，韩兴国，等.北京山区落叶阔叶林中核桃楸在生长中期的树干液流研究[J].生态学报，1999，19（6）：793-797.

[6] 孟 平，张劲松，王鹤松，等.苹果树蒸腾规律及其与冠层微气象要素的关系[J].生态学报，2005，25（5）：1075-1081.

[7] 唐启义，冯明光.实用统计分析及其DPS数据处理系统[M].北京：科学出版社，2002.280-285.

[8] 王新华.ARIMA模型在武汉市全社会固定资产投资预测中的应用[J].统计与决策，2006（4）：84-85.

[9] 李佳萌， 曾 涛.ARIMA模型在天津港交通预测的应用[J].数理医药学杂志，2004，17（5）：337-338.