加速度定义的缺陷及在教学中导致的问题

加速度定义的缺陷及在教学中导致的问题

田均光

(任丘市第四中学河北 沧州062550)

摘 要：本文通过实例分析了加速度定义的缺陷，并给出了解决的方法.

关键词：加速度缺陷暂态过程压力

收稿日期：(2015-04-20)

加速度是力学中最基本也是最重要的概念，它的定义实际上是数学中极限概念的物理化.极限在数学中有两种形式：函数在该点有极限(左右导数均存在且相等)；函数在该点无极限.其中无极限又分为：左右导数均不存在；只存在左导数或右导数；左右导数均存在且不相等.加速度的定义选取的实际上只是函数在该点有极限这么一种情况.表面上看，这样的定义并没有问题，因为在实际的加速运动中，物体在每一点的加速度都存在且是唯一的.这样的理解在一般运动中是没有问题的，但在组合运动中(如物体先做匀速运动接着再做变速运动)问题便出现了.请看下面的例子.

一水平轨道和一半径为R的半圆轨道平滑连接，一质量为m的小球在该轨道上运动，不计摩擦.问题一：当小球由水平轨道进入半圆轨道经过连接点时，小球的加速度和对连接点的压力各是多少？问题二：当小球由半圆轨道返回进入水平轨道经过连接点时，小球的加速度和对连接点的压力各是多少？

这里的问题并不难，问题出在连接点的公共身份上，它既在水平轨道上，又在半圆轨道上.按水平轨道上的运动解答与按半圆轨道上的运动解答，两者的结果完全不同，导致答案无法确定.这是一个典型的左右导数均存在且不相等的问题，在加速度的定义中并没有给出解决此类问题的方法，直接由加速度的定义来解决该问题并不具有天然的正确性.这正是人们所没有注意到的加速度定义的缺陷.其实，数学中已有处理此类问题的例子，就是人为地确定取值，如级数中的狄里赫莱(Dirichlet)问题.只是在物理中，人们不承认加速度定义有缺陷，且实际问题总是连续有导数的，才导致该问题至今没有解决，比如文献[1]和[2]中对该问题的处理.下面，我们就给出解决这一问题的正确方法.

对轨道的压力为

F=mg

对轨道的压力为

在上面的分析中我们看到，解决问题的关键是把连接点确定为暂态过程变化的起点，有了这个认识，其余的问题就非常清楚了.而暂态过程，相当于一条曲率半径由R∞～R(0～R)或R～R∞(R～0)连续变化的轨道.

最后我们解释一点，速度和加速度两者的定义在形式上是完全相同的，在该例中，为什么速度的定义没有出现问题，而加速度定义却出现了问题呢？这是因为两轨道在连接点是有公共切线的，它反映在位移图像上的对映点亦有公共的切线，所以速度的定义不会出现问题.轨道不是速度的图像，若是在速度图像上，两曲线在连接点有公共切线，则加速度的定义也不会出现问题.我们想，速度的定义也有类似的缺陷.若两轨道不是平滑的连接，则位移的图像在连接点的对应处就可能没有公共的切线，这时用速度的定义去求速度，就会出现两个不同的值.比如在非弹性碰撞中，就可能出现位移的图像是一条折线，在连接点就没有公共的切线.

参 考 文 献

1杜志建.2015高考《考试大纲》调研卷物理.延吉：延边出版社，2015

2刘强.轻巧夺冠同步讲解(人教版) 《高中物理·必修2》.北京：北京出版集团，北京教育出版社，2013.33