关于高中数学几何解题技巧之“数”“形”结合策略

2016-01-12张艺璇

亚太教育 2015年34期

文/张艺璇

摘要：高中阶段是培养学生创新思维的黄金时期，特别是对学生数学创新思维的形成有重要影响。解析几何是高考数学必考内容，在所有题型中所占比值相对较高。而在一般情况下，解析几何的难度比函数低，且几何的解析通常有一定的技巧性，只要熟悉并掌握了速解技巧，将题目的“数”与“形”实现有机结合，即把题目所给条件一一对应进行解题，便能最大限度减少解析几何解题时间，同时也不会漏掉题目条件，继而有效提高答题效率，最终实现数学成绩的显著提升。换言之，能否正确的运用“数”“形”结合来进行答题解析，是影响当前高中解析几何成绩的关键因素之一。

关键词：数学技巧；几何图形；高中数学；数形结合

作者简介：张艺璇，长沙市明德中学K323班(学生)。

中图分类号:G634.6文献标志码：A

前言

数学创新思维培养就是以强烈的创新意识进行熏陶感染，鼓励将个人储备的知识信息进行重新组合，从而形成一些具有较高价值的新发现、新设想。数学创新思维培养在创造性思维的形成过程中起到十分关键的作用，其不仅有助于扎实、牢固地掌握数学基础知识，同时也可以借助数学知识这一载体，有效掌握正确的数学思想方法，体会数学知识的应用价值，进而树立正确的数学观与数学创新意识。因此，本文以高中数学几何解题技巧之数形结合为研究对象，围绕速解高中解析几何方法中的数形结合进行了分析，并对数形结合在解析几何几种题型中的运用进行了举例说明。

一、“数”“形”结合解题法的理论概述

(一)方法释义

首先，关于解析几何的释义，其泛指几何学上一个小分支，主要用代数方法研究集合对象之间的关系和性质，因此也称作“坐标几何”。其包括平面解析几何和立体解析几何两部分，其中，平面解析几何是二维空间上的解析几何；立体解析几何是三维空间上的解析几何，而立体解析几何则比平面解析几何更加复杂、抽象。

其次，关于数形结合的释义，即是把题目所给条件中的“数”与“形”一一对应，用简单的、直观的几何图形以及条件之间的位置关系把复杂的、抽象的数学语言以及条件之间的数量关系结合起来，通过形象思维与抽象思维之间的结合，以形助数，或以数解形，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，以起到优化解题途径的目的。

(二)解题思路

在遇到解析几何时，能清楚条件与问题之间的数量关系与位置关系，将“数”与“形”一一对应，便能够快速找到解题突破点。事实上，当熟练掌握到数形结合方法，能够举一反三时，遇到的所有题目都将是同一题目了。因此，掌握数形结合思，就必须厘清下列关系：第一点，复数、三角函数等以几何条件和几何元素为背景建立的概念；第二点，题目所给的等式或代数方程式的结构中所含明显的几何意义；第三点，函数与图象的对应关系；第四点曲线与方程的对应关系；第五点，实数与数轴上的点的对应关系。

二、“数”“形”结合法在几何解题中的实例解析

(一)解析几何中圆类问题

实践证明，数形结合对速解圆类问题的帮助很大，因为在一般解题过程中，解析几何圆类问题主要围绕求圆与圆之间的位置关系、圆与直线的位置关系、圆的标准方程等几方面展开。比如在判断圆与直线的位置关系时，通过建立直角坐标系，便可以直观地观察到直线在圆外，但是答题需要写出确切的答题步骤才能得分。这时就需要有“数”“形”结合解题思想的辅导——以数解形：通过计算圆心到直线的距离，距离比圆的半径大即表明直线在圆外。这是最基本的用“数”“形”结合方式解答圆类问题。为更为详尽的说明，下文将针对对“数”“形”结合法速解解析几何圆类问题作出例题说明：

例题1：已知曲线y=1+√(4-x2)与直线y=k(x-2)+4交于两个不同的点，求实数k的取值范围。

解析：将曲线y=1+√(4-x2)变形，得x2+(y-1)2=4(1≤y≤3)，可知曲线是以点A(0,1)为圆心，2为半径的圆，但是值域y要大于1，因此是上半圆；

直线y=k(x-2)+4过定点B(2,4)；当直线绕点B按顺时针旋转至直线与圆相切，当直线与圆的一个交点在弧线MT之间都满足题目要求，符合题意；

而交点M在直线y=1上，因此可算出M点的坐标，即M(-2，1)；