一个最佳值为对数的Hilbert型积分不等式
2016-01-12巫伟亮
一个最佳值为对数的Hilbert型积分不等式
巫伟亮
( 嘉应学院 数学学院, 广东 梅州 514015 )
摘要：运用参量化思想、估算权函数方法及实分析技巧，建立了一个新的核为(λ>0,δ∈{1,-1})的Hilbert型积分不等式及其等价形式，并证明了它们的常数因子为最佳值，同时得到了该不等式的一些应用.
关键词：Hilbert型积分不等式; 权函数； 等价式； 最佳值
收稿日期：2015-02-26
基金项目：广东省自然科学基金博士启动项目(S2013040015141);嘉应学院科研重点项目(2012KJZ02)
文章编号：1004-4353(2015)02-0129-03
中图分类号：O178
A Hilbert-type integral inequality with the best value as logarithm
WU Weiliang
(SchoolofMathematics,JiayingUniversity,Meizhou514015,China)
Key words： Hilbert-type integral inequality; weight coefficient; equivalent form; the best value
(1)
其中常数因子π都是最佳值.近年来，杨必成等对含齐次及非齐次核进行了研究，并对不等式(1)进行了推广和改进[3-6].2012年，巫伟亮[7]得到了一个含多参数的Hilbet型积分不等式：
(2)
的Hilbert积分不等式及其等价形式，并证明了它们的常数因子是最佳值.
1引理及其证明
(4)
(5)
根据引理1的计算结果，应用交换积分变换的Fubini定理[9],有
故式(4)成立.证毕.
2主要结果及其证明
(6)
(7)
(8)
(9)
将式(9)两边p次方，可得式(7)，且它与式(6)等价，证毕.
证明任意给定ε>0, Eδ∶={x>0;xδ≤1},设
(10)
由Fatou引理[9]、式(10)及极限的保号性，得
注1在式(6)中，取δ=-1, p=q=2, λ=1，得式(2)，可见式(6)是式(2)的最佳推广.
注2在式(6)、(7)中，取δ=1, p=q=2, λ=1，可得到一个新的具有最佳常数因子的非齐次核Hilbert型积分不等式及其等价形式：
(11)
(12)
参考文献：
[1]Hardy G H, Littlewood J E, Polya G. Inequalities[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1952：255-292.
[2]Mintrinovice D S, Pecaric J E, Fink A M. Inequalities Involving Functions and Their Integrals and Derivatives[M]. Boston: Kluwer Academic Publishers, 1991：187-215.
[3]杨必成.参量化的Hilbet型不等式研究综述[J].数学进展，2009,38(3)：257-268.
[4]杨必成.一个零齐次核的Hilbert型积分不等式[J].山东大学学报：理学版，2010,45(2)：103-106.
[5]刘琼.一个多参数的Hilbert型积分不等式[J].吉林大学学报：理学版，2009，47(5)：903-908.
[6]巫伟亮.一个最佳常数为Beta函数的Hilbert型积分不等式[J].延边大学学报：自然科学版，2014，40(2)：100-103.
[7]巫伟亮.一个含多参数的Hilbert型积分不等式[J].广西师范学院学报：自然科学版，2012，29(2)：34-36.
[8]匡继昌.常用不等式[M].济南:山东科技出版社，2004:3-29.
[9]匡继昌.实分析引论[M].长沙:湖南教育出版社，1996:118-122.
