减速器直齿圆柱齿轮有限元模态分析❋

2015-12-31王彦军

机械工程与自动化 2015年4期

王彦军，魏炜

（宁德职业技术学院机电工程系，福建福安 355000）

0 引言

据统计，在减速器故障中，齿轮失效占整个机械传动失效的60%以上，其中齿面损坏是齿轮失效的主要原因之一［1］。减速器在工作过程中，传动齿轮受到外部周期性载荷作用，在额定转速内有可能发生强烈的共振，动应力急剧增加，致使齿轮过早出现扭转疲劳和弯曲疲劳，最终引起轮齿折断。在齿轮结构设计和计算中，静力学计算不能完全满足设计要求，因此要对其做必要的模态分析，确定结构的振动特性，获得其固有频率、振型等参数。通过模态分析找出结构设计中的薄弱环节，避免齿轮在外部载荷作用下产生共振。本文应用有限元软件ANSYS Workbench对减速器标准直齿圆柱齿轮进行模态分析。

1 齿轮模态分析理论基础

模态分析可以确定一个结构的固有频率和振型，而固有频率和振型是承受动态载荷结构设计中的重要参数。根据模态分析理论［2］，可得系统的运动微分方程为：

其中：M、C和K分别为系统的质量、阻尼和刚度矩阵；、和X分别为齿轮振动加速度、速度和位移向量；f（t）为齿轮所受外界激励列阵。在求齿轮自由振动的模态参数时，阻尼对它们影响不大，因此，可以作为无阻尼振动问题来处理［3］，则具有n个自由度的无阻尼振动系统的振动微分方程为：

假设没有外力作用，即f（t）＝0，则得：

设特解X＝φejωt（φ为自由响应的幅值列阵，ω为固有频率），代入式（3）得：

式（4）有非零解的充要条件是：

将式（5）展开，可得到关于ω2的n次代数方程，该方程为结构系统的特征方程，设该方程无重根，通过数值计算方法解此方程可得n个无异正根，即为特征值，而ω1，ω2，…，ωn即为振动频率。将各阶振动频率ωi（i＝1，2，…，n）分别代入式（4），得到关于φi的齐次线性方程组，解此方程组得n个线性无关的非零矢量φi的比例解，经归一化后对应的矢量为：

φi即为对应振动频率ωi下的模态，即为固有振型（也称主振型）。

2 直齿圆柱齿轮有限元模型的建立

根据减速器齿轮工作要求，确定齿轮的相关参数如下：齿顶圆直径为Φ261mm、齿根圆直径为Φ245 mm、齿数为87、齿厚为60mm，中间辐板厚度为22mm，齿轮材料为45钢。

2.1 齿轮实体模型的建立

ANSYS Workbench软件可以实现与外部CAD软件的无缝对接，可以直接从外部CAD软件读取文件，而且具有双向关联性，即同时打开其他外部CAD类建模工具和ANSYS Workbench中的Design Modeler模块，当外部CAD中的模型发生变化时，Design Modeler中的模型只要刷新便可同步更新，同样当Design Modeler中的模型发生变化时也只要通过刷新，则CAD中的模型也可同步更新［4］。因此，在建模过程中，为了保证计算结果的准确性，降低误差，可以直接在外部CAD软件中建模，通过无缝对接导入ANSYS Workbench软件中进行有限元分析。本文应用Pro/E软件进行直齿圆柱齿轮建模，导入ANSYS Workbench后进行有限元模态分析，以充分发挥两个软件的长处，更好满足设计要求。

根据减速器齿轮参数及设计要求，在Pro/E软件中对齿轮进行全参数化建模，其具体过程为：①设置齿轮基本参数和关系式；②绘制基本圆（即根据齿轮关系式绘制基圆、齿根圆、齿顶圆和分度圆）；③创建渐开线；④拉伸形成实体（包括齿根圆实体和齿轮的一个齿形实体）；⑤阵列轮齿；⑥绘制其他特征（包括齿轮的中间孔、键槽和小孔等）。完成后的齿轮三维参数化模型如图1所示。将建好的参数化模型保存后，通过Pro/E与ANSYS Workbench无缝接口将模型导入，然后定义材料属性、划分网格、定义边界条件并进行求解。

2.2 齿轮模态分析前处理

在ANSYS Workbench中对齿轮进行模态分析，需要在模型导入软件后，进行必要的前处理，主要包括定义材料属性、划分网格、定义边界条件等。

2.2.1 设置材料属性

进行模态分析需要根据齿轮工作要求设置材料属性，包括弹性模量、泊松比和材料密度等参数。该齿轮为二级齿轮减速器的传动零件，根据设计要求，齿轮材料选用45钢，其弹性模量E＝2.06×1011Pa，泊松比μ＝0.3，材料密度ρ＝7 800kg/m3。

2.2.2 网格划分

在模型创建后和分析计算前，有一项重要的工作就是对模型进行网格划分，网格划分的好坏直接关系到求解的准确度及求解的速度。在ANSYS Workbench中对于齿轮实体主要采用自由网格划分，在划分过程中设置单元的最大边长为3mm，细化网格，最后划分的节点数为295 913，单元数为189 394。图2为划分网格后的齿轮有限元模型。

图1 齿轮三维参数化实体模型

图2 齿轮有限元模型

2.2.3 定义边界条件

对齿轮进行模态分析的目的是计算齿轮处于自由状态时各阶固有频率和对应的振型，所以不施加外载荷，只需对内孔圆柱面进行自由度约束，ANSYS Workbench中，通过Fixed Support并选取齿轮内孔圆柱面即可完成约束条件的施加。

3 直齿圆柱齿轮模态分析

对于模态分析，阶数越低影响越大，10阶以后的高阶模态对齿轮的动态性能影响很小，通常提取前5阶～10模态即可满足齿轮精度设计要求［5］，本文提取齿轮的前6阶固有频率和振型。在ANSYS Workbench软件中，将模态分析选项“Max Modes to Find”设置为6阶，“Deformation”选择Total选项，然后单击工具栏中的Solve按钮开始求解，最终得到齿轮前6阶固有频率（见表1）和前6阶模态振型图（如图3所示）。

表1 直齿圆柱齿轮前6阶固有频率

通过分析齿轮各阶模态振型图可知：1阶和2阶模态振型基本相同，分别为绕X轴与绕Y轴的弯曲变形，为一阶弯曲振型；3阶和4阶模态在轴向产生扭转变形，为扭振型，同时径向产生对称弯曲变形；5阶模态主要表现为齿轮沿轴向收缩呈“伞”状，为伞型振动；6阶模态在轴向基本无振动，端面上为比较规则的圆周方向的多边形振型，为圆周振。