智能小车的路径跟踪控制算法研究

杨 权，蔡 勇

（西南科技大学 制造科学与工程学院，四川 绵阳 621010）

0 引言

在路径跟踪中，有时需要跟踪一条与时间无关的几何路径（不带时间参数的二维几何路径），比如地上的电缆、有色亮带等等，这些都属于信标路径，需要人为事先进行实物的铺设。针对这种基于路标信息的路径跟踪［1］，可以把该几何路径划分成若干个路标节点，而各路标节点就构成了此路径的全部情况，即小车从初始位姿出发，跟踪的不是一条几何路径，而是一个一个路标节点，直至最后到达终点，完成路径跟踪的目的。

本文以3轮式智能小车为例，建立极坐标方式的位姿误差模型，利用李雅普诺夫（Lyapunov）直接法设计跟踪控制律，通过MATLAB平台仿真，验证此方法的有效性。

1 路径跟踪问题描述

首先建立笛卡尔直角坐标系XOY，为方便描述智能小车的位姿，建立极坐标系，如图1所示。图1（a）中是简化的3轮式智能小车，ρ表示小车当前位姿与目标位姿之间的距离，α表示小车初始位姿方向与ρ之间的角度，其中以初始点到目标点的方向为极轴方向，定义逆时针方向转动为α正值。图1（b）中，φ表示小车初始位姿方向角与目标点方向角的角度差，极轴方向为小车在目标点时的朝向，定义逆时针方向转动φ为正值，即φ∈［－π，π］。

在直角坐标系下给定任意一个目标位姿qr＝［xryrθr］T，其中，xr，yr，θr均是常数。设小车的当前位姿为q＝［xyθ］T，在全局坐标系XOY下描述全局位姿误差qe，可得：

对式（2）中第一个方程求导：

对式（2）中第二个方程求导：

其中：v为小车的线速度；ω为小车的角速度。

对式（2）中第三个方程求导：

因此，由式（2）所求得的位姿误差微分方程为：

图1 用极坐标表示的智能小车位姿误差分析示意图

2 路径跟踪控制器设计

根据本文所述设计的姿态跟踪控制系统的方框图如图2所示。

图2 姿态跟踪控制系统方框图

利用李雅普诺夫直接法设计跟踪控制律，取极坐标变量ρ和α为设计对象，构造李雅普诺夫函数：

从式（4）中明显看出，V≥0，当且仅当［ρα］T＝0时，V＝0。对式（4）求导来确定系统的控制律：

根据式（5）取系统的控制律：

其中：k1，k2均为大于零的常数。下面根据取得的系统控制律来判断系统的稳定性，把控制律（6）代入构造的李雅普诺夫函数得：

由于k1，k2是大于0的常数，所以可得≤0，因此V（t）满足全局一致渐近稳定的条件。由此可以得到V为连续可微正定函数且有界，为负半定且一致连续的函数，根据Barbalat引理［4］可以得到，当t→＋∞，时，间接可以得到ρ→0且α→0，满足设计要求。

3 MATLAB的仿真与分析

为了验证此方法的有效性和收敛性，在MATLAB 7.0软件平台上利用所设计的跟踪控制律，编写仿真程序进行仿真实验。

本节仿真所考虑的路径跟踪是一个一个的节点，所以在进行仿真时，针对一个目标点，从最开始的位置出发进行跟踪仿真实验，从得出的跟踪效果图来分析此控制律的有效性，从极坐标变量的变化曲线来分析坐标变量是否收敛。

为了跟踪给定的目标点，小车有可能产生过大的速度，其带来的过大加速度会破坏小车的非完整约束，容易造成小车横向的移动或者纵向的滑动。为了避免上述问题，必须对小车的速度进行一个速度限制策略，取vmax＝1.5m/s，ωmax＝15rad/s。经过多次实验之后，取控制器参数k1＝0.2，k2＝1.2，下面针对控制律式（6）进行目标点的跟踪仿真实验。

图3 目标点跟踪效果图

图4 速度变化曲线

从图3中可以看出：小车有效地跟踪到了目标点。从图4中可以看出：小车的线速度和角速度最大值都在限制范围之内；小车的角速度在3s内便快速地收敛到零。从图5中可以看出：坐标变量ρ和α最终都会收敛于0；而φ并没有收敛于0，而是收敛于一个常数。分析其原因在于，φ表示小车目标位姿的方向角与小车当前位姿的方向角的差值，当小车跟踪目标点时，由ρ和α决定跟踪状态，φ并不能决定小车是否镇定于目标点，它只代表跟踪到目标点时一个数学意义上的差值，当进入到下一个跟踪状态时，会重新赋予一个ρ和α的数值，所以构造函数时以坐标变量ρ和α为设计对象是正确的。由此可以看出，在控制律式（6）作用下，小车能够很好地实现目标点的跟踪，证明了此控制律是有效的。

图5 极坐标下坐标变量变化曲线

［1］樊鑫峰.基于无线传感器网络的机器人路径跟踪的研究［D］.合肥：安徽大学，2011：17-18.

［2］Kanayama Y，Kimura Y，Miyazaki F，et al.A stable tracking control method for an autonomous mobile robot［C］//Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation.Cincinnati：IEEE，1990：384-389.

［3］Brockett R W.Asymptotic stability and feedback stabilization in differential geometric control theory［M］.Boston：Birkhauser，1983：181-191.

［4］闵颖颖，刘允刚.Barbalat引理及其在系统稳定性分析中的应用［J］.山东大学学报，2007，37（1）：51-55.