两个元的集合的自同构

白阿拉坦高娃

（赤峰学院 数学与统计学院，内蒙古 赤峰 024000）

1 基本概念

文中所提到的集合G是非空的有限集合.

定义1 元素的个数是有限整数的集合叫做有限集合.

定义2 集合G×G到G的映射叫做集合G的一个代数运算.

定义3 集合G到G的一一映射叫做G的一个一一变换.

定义4 一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换.

定义5 集合G的一一变换覬是一个对于叫做乘法的代数运算来说的G的自同构，假如对于坌a,b∈G来说，有

定义5有限集合G对于它的乘法来说作成群，假如

I.G对于乘法来说是闭的.

II.乘法适合结合律：坌a,b,c来说，有

命题3 恒等变换（1）对于G的任何代数运算莓来说都是G的自同构.

III'.乘法适合消去律：

若 ax=ax'，那么 x=x'

若ya=y'a，那么y=y'

2 两个元的集合的自同构

设集合G={a,b}

命题 1 集合G有两个置换：（1），（12）即

(1):a→a,b→b（称作恒等变换）

(12):a→b,b→a

下面看一下G的代数运算：

G×G={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}的每一个元选定对象有2种可能,a或b，所以G的代数运算共42=16个.

命题2 集合G有42=16个代数运算,具体如下：

证 对于坌x,y∈G来(1):x→x,y→y，

那么 x莓y→x莓y

即命题成立.

下面讨论置换覬2=(12)对于哪个代数运算来说是自同构：

对于莓1来说不是自同构，因为 覬2(x莓1y)=覬2(a)=b，但 覬2(x)莓1覬2(y)=a

对于莓2来说不是自同构，因为 覬2(a莓2b)=覬2(a)=b，但 覬2(a)莓2覬2(b)=b莓2a=a

对于莓3来说不是自同构，因为 覬2(a莓3a)=覬2(a)=b，但 覬2(a)莓3覬2(a)=b莓3b=a

对于莓4来说不是自同构，因为 覬2(a莓4a)=覬2(a)=b，但 覬2(a)莓4覬2(a)=b莓4b=a

对于莓5来说不是自同构，因为 覬2(a莓5b)=覬2(a)=b，但 覬2(a)莓5覬2(b)=b莓5a=a

对于莓6来说是自同构，因为

对于莓7来说不是自同构，因为 覬2(b莓7a)=覬2(a)=b，但 覬2(b)莓7覬2(a)=a莓7b=a

对于莓8来说是自同构，因为

对于莓9来说是自同构，因为

对于莓10来说不是自同构，因为 覬2(a莓10a)=覬2(a)=b，但 覬2(a)莓10覬2(a)=b莓10b=a

对于莓11来说是自同构，因为

对于莓12来说不是自同构，因为 覬2(a莓12b)=覬2(b)=a，但 覬2(a)莓12覬2(b)=b莓10a=b

对于莓13来说不是自同构，因为 覬2(a莓13a)=覬2(b)=a，但 覬2(a)莓13覬2(a)=b莓13b=b

对于莓14来说不是自同构，因为 覬2(a莓14a)=覬2(b)=a，但 覬2(a)莓14覬2(a)=b莓14b=b

对于莓15来说不是自同构，因为 覬2(a莓10b)=覬2(b)=a，但 覬2(a)莓15覬2(b)=b莓15a=b

对于莓16来说不是自同构，因为 覬2(b莓16b)=覬2(b)=a，但 覬2(b)莓16覬2(b)=a莓16a=b

所以有以下结论：

命题 4 G的一一变换 覬2=(12)对于代数运算莓6，莓8，莓9，莓11来说都是自同构.

下面讨论G对于哪些代数运算做成群：

由消去律的定义可知代数运算莓1，莓2，莓3，莓4，莓5，莓12，莓13，莓14，莓15，莓16，不适合消去律，所以对于它们来说，G不是群；对于代数运算莓6，莓8，莓9，莓11来说 G没有单位元，所以 G不是群.

代数运算莓7适合结合律，因为

代数运算莓10，适合结合律，因为

总结以上得此结论：

命题5 对于代数运算莓7，莓10来说，G都能做成群.

证明 I.G对于莓7和莓10来说都是闭的；II.莓7和莓10都适合结合律；

IV.对莓7和莓10来说G的单位元分别是b和a；V.对于莓7和莓10来说都有：a-1=a，b-1=b

若把两个元的集合、群、群的同构等彻底研究透了以后，利用这些群或集合可以讨论其他的集合与群的性质.比较方法就是两个集合（或群）之间建立一个同构映射（或同态满射），由已知群的性质可以推出同构（或同态）群的性质，所以它是一个很好的工具.

〔1〕张禾瑞.近世代数基础（修订本)[M].北京：高等教育出版社，1978.

〔2〕杨子胥.近世代数（2版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

〔3〕胡冠章.应用近世代数[M].北京：清华大学出版社，1999.