一类广告扩散模型的Hopf分岔分析

丁学利

（阜阳职业技术学院 基础教学部，安徽 阜阳 236031）

1 引言

对分岔问题的研究可以追溯到十八世纪,人们对天体力学、流体力学、弹性力学和非线性振动中的一些失稳现象的探讨，因此分岔问题有着深刻的应用背景.目前在物理学、化学、生物学、工程技术以及经济学和社会学中都有着广泛的应用[1,2].

Hopf分岔是一类很重要的分岔问题，它不仅有着重要的理论价值，而且在实际问题中有着广泛的应用.本文利用分岔理论详细讨论了一类广告扩散模型平衡点的稳定性和Hopf分岔，并且给出了发生Hopf分岔的参数条件，最后数值仿真验证了理论推导的正确性.这对研究广告扩散模型的实际应用，提供了理论依据.

2 广告扩散模型平衡点的稳定性

考虑如下的广告扩散模型[3,4]：

其中β，ε，k均为正常数，设置 α 为分岔参数.系统（1）有唯一的平衡点，在平衡点E0处的Jacobian矩阵为

其特征方程为

即 λ2-trA(α)λ+detA(α)=0，因此令 μ(α0)=0，得

且 ω2(α0)=detA(α0)=(β+ε)ε>0.

定理 1 （1）当 α>α0时，若(trA(α))2-4detA(α)>0(<0)，则特征方程的根为两个相异的负实根（一对具有负实部的共轭复根），从而系统（1）的平衡点是稳定的结点；

（2）当 0<α<α0时，若(trA(α))2-4retA(α)>0(<0)，则特征方程的根为两个相异的正实根（一对具有正实部的共轭复根），从而系统（1）的平衡点是不稳定的焦点，即有可能发生Hopf分岔.

3 广告扩散模型的Hop f分岔

定理 2 当0<α<α0时，系统（1）发生Hopf分岔.

证明 根据文献[3]，只需要验证两个条件，即μ'(α0)≠0（横截条件）和 l1(α0)≠0(非退化条件为第一李雅普诺夫系数）.

首先横截条件很容易证明：

下面计算第一李雅普诺夫系数.

在α=α0处，平衡点E0的坐标为

作坐标变换

这样就把平衡点E0变到坐标原点，系统（1）化成：

系统（2）可表示为下面的形式：

其中A=A(α0)，多线性函数B和C'是关于平面向量ξ=(ξ1,ξ2)T，η=(η1,η2)T，ζ=(ζ1,ζ2)T的函数，其值为

满足 Aq=iωq，ATq=-iωq，且〈p,q〉=1.

第一李雅普诺夫系数为

其中

所以满足非退化条件 l1(α0)≠0.因此，在 0<α<α0处发生Hopf分岔，产生稳定的极限环.由于l1(α0)<0，所以是超临界Hopf分岔.

4 数值仿真

下面我们将用Matcont软件来分析广告扩散模型的动力学行为，其参数使用为β=0.5，ε=k=9.5，α为分岔参数.

图1 广告扩散模型的平衡点分岔图

图1是广告扩散模型的平衡点分岔图，粗实线表示稳定的结点，细实线表示不稳定的焦点，H表示Hopf分岔点，此时α0=10是发生Hopf分岔的临界点.

图2 广告扩散模型的相图.（a）α=11>α0；（b）α=9.5<α0

图2是广告扩散模型的相图.当α=11>α0时，系统的平衡点是渐进稳定的（图 2（a））；当 α=9.5<α0时，系统产生稳定的极限环（图 2（b）），即发生了 Hopf分岔.

5 讨论与结论

本文对广告扩散模型平衡点的稳定性进行了研究，并且证明了系统发生Hopf分岔的参数条件.结果表明在一定条件下，系统发生Hopf分岔是超临界的.最后，数值仿真验证了理论推导的正确性.此外，系统还有一些性质需要进一步的分析，如极限环如何消失，是否发生同宿轨分岔，以及能否出现混沌等.

〔1〕刘秉正，彭建华.非线性动力学[M].北京：高等教育出版社，2004.

〔2〕张琪昌，王洪礼,等.分岔与混沌理论及应用[M].天津：天津大学出版社，2005.

〔3〕KUZNETSOV.Yuri A.Elements of applied bifurcation theory[M].New York:Springer,1997.

〔4〕FEICHTINGER.G.Chaotic behavior in an advertising diffusion model[J].Internation Journal of Bifurcation and Chaos:1995.