反结构混沌系统及其电路设计

2020-02-18颜闽秀

沈阳大学学报(自然科学版) 2020年1期

颜闽秀, 徐辉

(沈阳化工大学 a. 信息工程学院,b. 工业环境-资源协同控制与优化技术辽宁省高校重点实验室, 辽宁沈阳 110142)

Lorenz系统[1]是于1963年首次被提出的混沌系统, Lorenz系统的提出, 翻开了混沌领域研究的篇章, 促进了混沌理论的发展和应用. 之后, 不同类型的混沌系统不断地被发现, 如Chen系统、 Lü系统、 Liu系统等[2-5], 而超混沌、分数阶、高维、多翼混沌也相继被提出[6-8]. 在1983年, 蔡少棠提出了双涡卷电路且首次搭建非线性电路将其实现, 使其双涡卷电路模型成为研究混沌电路的经典模型. 因模拟电路能够有效地检测连续混沌系统的混沌特性, 所以被广泛应用于混沌系统的验证. 国内学者[9-12]对混沌系统的电路设计进行了深入研究, 并且详细阐述了混沌电路原理. 为了更深入地探索混沌系统的工程应用, 丰富混沌系统数量, 寻找新的混沌系统十分必要.

本文提出了4个新型四维混沌系统,它们互为反结构.关于反结构混沌系统,刘崇新首次于文献[13]中提到Liu系统[4]的反结构系统,并对其动力学特性进行了深入分析.

1 反结构系统模型及其一般特性分析

1.1 反结构系统总模型

本文提出的4个互为反结构的混沌系统总模型为式(1), 且每个系统均只含有一个非线性项.

(1)

式中,系统固定的参数a=4,b=5,c=10,f1,f2为系统的反结构参数.式(1)的4个互为反结构的混沌系统为A、B、C、D.

A模型:f1=-1,f2=-1;

B模型:f1=1,f2=-1;

C模型:f1=1,f2=1;

D模型:f1=-1,f2=1.

给定初始值(1,1,1,1),绘制系统A、B、C、D的吸引子,如图1所示.可以看出系统B,C,D吸引子形状基本与系统A一致,但由于反结构参数的变化,使得吸引子的位置方向发生上下左右偏置.

1.2 系统的耗散性及其吸引子的存在性

从式(1)可以看出系统的耗散性与反结构参数f1,f2无关,所以互为反结构的4个系统A、B、C、D的耗散性一致.

(3)

式(3)表明当t趋向于无穷时,包含系统轨迹的每个体积元均以指数1+a+1+1 收缩到零,这说明了系统A、B、C、D吸引子的存在性.

图1 系统A、B、C、D的吸引子Fig.1 Attractors of system A, B, C and D

1.3系统的李雅普诺夫指数和维数

通过计算机分别求得系统A、B、C、D的李雅普诺夫指数λL1,λL2,λL3,λL4,根据式(4)求得系统A、B、C、D的李雅普诺夫维数DL.

(4)

式中:i=1,2,3,4;j为满足式(5)的最大整数.

(5)

数据如表1所示.

表1 系统A、B、C、D的李雅普诺夫指数和维数Table 1 Lyapunov index and dimension of systems A, B, C and D

由表1能够看出, 系统A～D的李雅普诺夫指数λL均趋近于0, 所以4个系统均只有一个正的李雅普诺夫指数, 又因它们的李雅普诺夫维数是分数, 故判断出系统A、 B、 C、 D均为混沌系统.

1.4 系统的平衡点及其稳定性

计算出A、B、C、D的平衡点,并对在平衡点处线性化得到的Jacobian矩阵求取特征值,判断平衡点的稳定性.将所求的平衡点、特征值及判断出的稳定性绘制成表2.

表2 系统A、B、C、D的平衡点及其稳定性Table 2 Equilibrium point and its stability of systems A, B, C and D

由表2可知,混沌系统A、B、C、D都有2个平衡点,且都是不稳定的鞍点.

1.5 系统的分岔图和李雅普诺夫指数谱

下面以混沌系统A为例,分析其分岔图和李雅普诺夫指数谱.

固定参数b、c,令a∈[4,6],系统关于a的分岔图和李雅普诺夫指数谱如图2、图3所示.

图2 系统A关于a的分岔图Fig.2 Bifurcation diagram of system A on a

当最大李雅普洛夫指数大于零时,系统处于混沌状态,会形成分岔图中的混沌区域.

从图2、图3中可以看出在区间[4.0,4.5]上时,系统最大的李雅普诺夫指数大于0,系统处于混沌状态.当a在区间(4.50,4.55]上时,最大的李雅普诺夫指数小于或等于0,系统处于周期状态,分岔图中出现部分空白区域.当a在区间(4.55,4.67]上时,最大的李雅普诺夫指数大于0,系统进入混沌状态,分岔图中出现由密集点构成的混沌区域.当a在区间(4.67,6.00]上时,最大的李雅普诺夫指数等于0,系统处于周期状态,分岔图中仅有部分点构成的曲线.

当固定参数a、c, 令b∈[0,5], 系统的分岔图如图4所示, 李雅普诺夫指数谱图如图5所示.

图4 系统A关于b的分岔图Fig.4 Bifurcation diagram of system A on b

由图4、图5可以看出, 在区间[0,2.9]时, 系统处于周期状态.在区间(2.9,3.7]上时, 系统由周期状态进入混沌状态, 分岔图在这区间上出现由密集点构成的区域. 在区间(3.7,3.8]上时, 最大的李雅普诺夫指数等于0, 系统处于周期状态, 导致分岔图中的分岔. 在区间(3.8,5.0]上时, 最大的李雅普诺夫指数大于0, 系统处于混沌状态.

当固定参数a、b,令c∈[0,10],也可以看出系统随参数变化时所具有的丰富混沌特性,这里不再赘述.