民用飞机巡航性能计算研究

温瑞英，魏志强，王红勇，韩博

(中国民航大学 空中交通管理学院，天津300300)

0 引言

在一次完整的飞行中，巡航时间占到整个航行时间的75%以上，合理选择飞机的飞行速度和飞行高度层可以有效降低航空公司的运营成本［1-2］。运营成本通常可以分为固定成本、燃油成本以及与飞行时间有关的成本［3］。航空公司可以采用经济巡航方式降低运营成本，但需要在飞行前知道准确的成本指数，现阶段大部分航空公司对时间成本统计不准确，使得成本指数的大小难以确定，因此很多航空公司习惯使用远程巡航 (Long Range Cruise，LRC)方式或选取一个近似由远程巡航方式确定的成本指数进行巡航。目前在燃油价格较高的情况下，采取远程巡航方式是一种比较理想的飞行方式。巡航高度的选择也是影响航空公司运营成本的重要因素之一，飞机飞行时应尽可能围绕其最佳高度进行，如果偏离最佳高度，燃油消耗将会增加，例如B757飞机在偏离最佳高度2 000 ft飞行时，航程燃油消耗将增加1%～2%;如果偏离最佳高度4 000 ft，航程燃油消耗将增加3% ～5%［4］。

波音、空客飞机公司提供的性能软件可以计算LRC速度和最佳高度，但其计算方法保密。本文以B737-800为参考机型，以飞机的原始数据如极曲线、需用推力曲线、燃油流量曲线(或燃油消耗率曲线)等为基础［5］，通过计算飞机的燃油里程，从而求得最大航程(Maximum Range Cruise，MRC)速度、LRC速度、最佳飞行高度以及给定初始巡航质量和巡航高度情况下的航程和航时。利用波音公司的INFLT软件计算数据对本文的计算结果进行了验证。民航飞机的FMC(Flight Management Computer)主要以燃油消耗最小或最小成本为性能指标进行巡航优化［6-7］，所以本文所采用的方法可为我国研制大型客机提供理论支撑，也可作为大型飞机在制作飞行燃油计划或巡航性能评估时参考的理论依据。

1 计算方法及理论依据

1.1 LRC速度的近似计算方法

假设飞机巡航时处于匀速且无机动的稳定直线平飞状态，在此条件下飞机的升力等于重力，总阻力等于平飞所需推力。飞机的总阻力分为零升阻力和诱导阻力，其中诱导阻力系数近似为升力系数平方的函数，所以飞机平飞所需推力可表示为:

式中:CD0为零升阻力系数;CL为升力系数;CDi为升致阻力因子，与飞机的气动特性有关;W为飞机巡航时的重量。飞机巡航时燃油里程可以表示为单位飞行时间内飞过的距离与所消耗的燃油量之比:

式中:TSFC为燃油消耗率，在某飞行高度上可认为是与发动机有关的常数;WF为燃油流量，即单位时间内所消耗的燃油量;Ma为飞行马赫数;θ为巡航高度上大气温度与标准情况海平面大气温度之比，θ=T/T0;c0为标准大气情况下海平面的声速。理论上，当航程一定时，最省燃油的巡航速度对应于MRC速度，令d SR/d CL=0，则有:

由于巡航时，飞机的升力与重力相等，满足:

式中:γ为空气绝热系数，取1.4;p0为海平面标准大气情况时的压强;δ为飞行高度上大气压强与标准大气海平面大气压强之比。结合式(2)～式(4)，可求得MRC速度和最大燃油里程如式(5)和式(6)所示。

飞机以MRC速度飞行可以获得最大航程，但是MRC速度太小并且接近反常操纵区，在实际飞行中，航空公司通常取99%的最大燃油里程所对应的速度，即LRC速度进行巡航。利用文献［8］所采用的待定系数法，可求得MRC速度与LRC速度之间的关系为:

1.2 LRC速度的准确计算方法及计算步骤

在实际飞行时，飞机阻力系数和升力系数之间并非简单的平方关系，燃油消耗率也是变化的。航空公司可以根据飞机制造厂商提供的原始性能数据计算准确的LRC速度，以提高航空公司的运行效益，具体计算步骤如下:

(1)根据飞机飞行高度Hp和飞机质量m，利用式(4)计算不同Ma时的升力系数CL;

(2)利用极曲线，由计算出的CL和Ma计算阻力系数CD，并进行雷诺数修正;

(3)假设飞机等速平飞，由阻力系数计算换算推力;

(4)利用燃油流量曲线，由换算推力和Ma得到燃油流量;

(5)通过燃油流量计算燃油里程，将若干飞行Ma及其对应的燃油里程绘制成一条曲线，即为燃油里程曲线;

(6)燃油里程最大点所对应的速度为MaMRC，取99%的最大燃油里程所对应的速度为MaLRC;

(7)依次改变飞机质量m及飞行高度Hp，重复步骤(1)～步骤(6)，可得不同高度、不同质量时的MaMRC和 MaLRC。

1.3 最佳巡航高度的计算

对于给定的巡航质量，最佳高度为燃油里程最大的高度。所以在上述计算燃油里程曲线的基础上，选定不同的飞机质量，重复1.2节步骤(1)～步骤(6)，可以计算出不同飞行质量所对应的最佳高度。

1.4 航程和航时的计算

燃油里程表示飞机消耗单位燃油所能飞行的距离，如式(8)所示，负号代表消耗的燃油即飞机质量的减小量。定义航程因子为mSR，假设其为常数，则航程的表达式如式(9)所示。

式中:m1为巡航开始时飞机的质量;m2为巡航结束时飞机的质量。在计算得出燃油里程曲线之后，就可以由式(9)计算出给定巡航状态下的航程R。本文采用差分法进行计算，具体步骤如下:(1)给定巡航高度Hp，从初始巡航点即飞机质量为m1开始，取一微段航程，即微段结束时飞机的质量为m2，计算该微段航程内飞机的平均巡航质量;(2)利用燃油里程曲线，计算平均燃油里程SRavg和马赫数Ma1;(3)利用SRavgΔm计算该微段的航程ΔR1;(4)利用计算该微段的航时Δt1;(5)以 m2为下一个微段巡航开始的质量，重复步骤(2)～步骤(4)，得到一系列的ΔRi和Δti，将所有微航段的航程、航时累加就可得到整个巡航段的航程、航时。

2 计算结果及分析

2.1 误差分析

以B737-800型飞机为例，利用自编程序计算巡航高度9 500 m，巡航质量从50 000 kg变化到75 000 kg，飞行马赫数为 0.74时的燃油里程(SRINT)，并与波音公司INFLT软件计算结果(SRSEF)进行比较，具体如表1所示。可以看出，自编程序与波音性能软件的计算数据相对误差最大不超过2%，说明了本文算法及程序的正确性。

表1 自编程序与波音INFLT软件计算的燃油里程对比Table1 Comparison of fuel mileages calculated by the program and INFLT software

2.2 巡航性能计算

2.2.1 MRC速度和LRC速度的计算

图1给出了飞行高度9 500 m，不同巡航质量情况下的燃油里程曲线。可以看出，对于一个固定的巡航质量，随着马赫数的增大，燃油里程先增大后减小，燃油里程最大点即曲线最高点所对应的马赫数为该巡航质量情况下的MRC速度;99%的最大燃油里程所对应的马赫数为LRC速度。表2给出了飞行高度9 500 m，不同巡航质量时的MaMRC和MaLRC。

图1 不同巡航质量时的燃油里程曲线Fig.1 Fuel mileage curves of different cruising mass

表2 不同巡航质量所对应的Ma MRC和Ma LRCTable 2 Ma MRC and Ma LRC of different cruising mass

2.2.2 最佳高度的计算

图2给出了飞机巡航质量60 000 kg，飞行高度从8 100 m变化到11 300 m时的燃油里程曲线。可以看出，在不同的飞行高度，随着马赫数的增加，燃油里程曲线先增加后减小。结合表2，当巡航质量为60 000 kg，飞机以LRC方式巡航时(马赫数为0.727)，11 300 m处的燃油里程最大，所以在该飞行状态下，最佳巡航高度为11 300 m。

图2 不同巡航高度时的燃油里程曲线Fig.2 Fuel mileage curves at different cruising flight level

2.2.3 航程和航时的计算

假设飞机以LRC方式巡航，巡航开始质量为60 000 kg，可用于巡航的燃油量为5 000 kg，根据航程和航时的计算方法，取计算步长为10 kg，不同巡航高度的航程与航时如表3所示。

表3 LRC巡航时的航程与航时Table 3 Cruising range and endurance of LRC

可以看出，飞机在最佳高度巡航时，燃油里程最大，航程越远，航时越小，飞机偏离最佳高度飞行时，对于固定的航程，燃油消耗将会增加。

3 影响巡航性能的因素分析

3.1 巡航质量的影响

由图1可知，巡航质量越小，飞机的燃油里程越大，说明巡航质量小时消耗相同的燃油所能飞行的距离越远;飞机的最佳巡航高度随飞机巡航质量的减小而增大。图3给出了不同巡航高度时，LRC速度随巡航质量的变化曲线。可以看出，除了巡航高度11 300 m外，MaLRC随飞机巡航质量的减小而减小。飞机在巡航过程中，随着飞行燃油的消耗，飞机质量逐渐减小，为满足升力与重力相平衡，飞机需要不断减小飞行速度。

图3 Ma LRC随巡航质量、巡航高度的变化曲线Fig.3 Ma LRC curves of different cruising altitude and mass

3.2 巡航高度的影响

图2 中，巡航高度越高，燃油里程越大，航程越长，其主要原因是随着高度的增加，大气密度减小，阻力减小。由图3可知，除高度11 300 m外，随着飞行高度的增加，MaLRC增大，其主要原因是随着飞行高度的增加，大气密度减小，为满足升力与重力相平衡，飞机需不断增大飞行速度。

3.3 大气温度的影响

燃油流量是θx的函数，x是与发动机型号有关的常数。非标准大气情况下的燃油流量可表示为式(10)，式中下标ns代表非标准大气，std代表标准大气。根据燃油流量、速度与燃油里程的关系，非标准情况下的燃油里程如式(11)所示。

本文取x的值为0.6，假设飞机巡航质量为60 000 kg，巡航高度为9 500 m，图4给出了不同外界温度情况下的燃油里程曲线，可以看出随着外界温度的增加，燃油里程减小。LRC速度与温度基本无关。

图4 燃油里程随外界温度的变化曲线Fig.4 Fuel mileage curves at different ambient temperature

3.4 风的影响

为了研究风对巡航性能的影响，使用由地速和燃油流量确定的地面燃油里程，如下式:

式中:SRg为地面燃油里程;Vg为地速;VW为风速。巡航时规定顺风为正，顶风为负，图5给出了地面燃油里程随风速的变化规律。可以看出，顺风增大了地面燃油里程，顺风风速越大，地面燃油里程越大，航程越远;顶风则使得地面燃油里程减小，顶风风速越大，地面燃油里程越小，航程越短。表4给出了巡航高度9 500 m处，LRC速度随风速的变化规律。可以看出，随着顶风风速的增加或顺风风速的减小，LRC速度增大，说明巡航时如果遇上顺风，应适当减小飞行马赫数;如果遇上顶风，则应适当增加飞行马赫数。

图5 地面燃油里程随大气风速的变化曲线Fig.5 Variation of ground fuel mileage with wind speed

表4 风速对LRC速度的影响Table 4 Influence of wind on the LRC speed

4 结束语

本文研究了民航飞机的MRC速度、LRC速度、最佳飞行高度、航程与航时的计算方法并给出了详细的计算步骤，利用波音性能软件计算数据对该计算方法及所编制的计算程序进行了检验。对影响巡航性能的因素如飞机巡航质量、巡航高度、外界温度、风等进行了相关计算及分析，所得出的结论可有效降低航空公司的运营成本，增大飞机的航程。同时本文所采用的计算方法可为民航飞机飞行管理系统中的性能计算提供理论支撑。

［1］ 李旭，魏志强.基于最小成本的巡航马赫数计算分析［J］.中国民航大学学报，2007，25(4):20-22.

［2］ 杨杰，薛建平，王发威，等.大型运输机巡航航迹优化方案建模与分析［J］.飞行力学，2012，30(4):314-317.

［3］ 吴金栋，魏志强，聂润兔.基于远程巡航方式的成本指数计算分析［J］.中国民航大学学报，2007，25(3):17-20.

［4］ 陈治怀，谷润平，刘俊杰.飞机性能工程［M］.北京:兵器工业出版社，2006:157-159.

［5］ Boeing Company.Aircraft flight manual(B737-800/CFM56-7B27)［R］.USA Seattle:Boeing Company，1998.

［6］ Sam L.The evolution of flight management systems［C］//13th Digital Avionics Systems Conference.Phoenix AZ:Honeywell Air Transport Syst.，1994:157-169.

［7］ Moor D A.The role of flight management system in terminal airspace［R］.USA:SAE International，1980.

［8］ 魏志强，李旭.民用飞机远程巡航性能计算分析［C］//中国航空学会2007年学术年会.深圳:中国航空学会，2007:54-57.