核心概念呈珠玑，无尽珍奇供赏析——以2014年中考试题为例

□浙江省杭州市文海实验学校 汪小莲

□浙江省杭州市江干区教师进修学校 易良斌

核心概念呈珠玑，无尽珍奇供赏析
——以2014年中考试题为例

□浙江省杭州市文海实验学校 汪小莲

□浙江省杭州市江干区教师进修学校 易良斌

2014年各地的中考数学试题各具特色，精彩纷呈。很多试题都把十个核心数学概念作为中考数学命题的新载体。特别是在“借助几何直观，体现探究本质”、“关注推理能力，强调数学理解”、“关注模型思想，突出数学思维”、“关注创新意识，提升数学价值”等方面的尝试，为导向数学教学，增强学生数学素养指明了方向，应引起数学教师的广泛重视。

一、关注几何直观，体现探究本质

数学课程标准强调：“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。”因此，中考数学命题突出了考察“学生运用形象的几何图形描述和解决复杂的数学问题的能力”。

问题由反比例函数图象与特殊平行四边形组合，借助直角三角形等基本图形性质和相关数量关系，凭借图形的直观性特点，依托双曲线的对称性和｜k｜的几何意义，利用基本图形进行数学的基本运算、推理、思考和想象，将抽象的数学关系与直观的图形语言有机地结合，使抽象思维同形象思维结合起来，充分展现数学问题的本质。

图形直观地告诉我们，k1＞0，k2＜0，显然命题②错误；而当∠AOC=90°时，只是四边形OABC的形状确定，图形的大小及邻边的数量关系没有确定，所以命题③错误；对于命题④，学生通过把菱形的对称性与坐标轴的对称性有效连接，很容易得到命题④正确。

因此，在数学中培养学生的几何直观观念，一方面是重视直观教学，强调学生动手实践能力的培养；另一方面是重视思想方法，培养学生数形结合的思想，逐步在解决数学问题的过程中渗透数形结合思想，感悟数与形、形与数之间的转化，发展学生的空间观念和几何直观能力。

二、关注推理能力，强调数学理解

推理是数学的基本思维方式，推理一般包括合情推理和演绎推理。在数学教学中，每一个概念的形成与发展，每一个命题的发现与建构，每一个结论的理解与证明都要依靠一定的推理能力作支撑。在强调理解的基础上，经过学生自己的观察、分析、猜想、判断、论证，不断发展学生的合情推理和演绎推理能力。

《数学课程标准》在学段目标中提出：“体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理和演绎推理的能力。”因此，教学中教师应把推理能力的培养有机地融合在数学教学的过程中，必须给学生提供交流的空间，组织和引导学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动的过程，并把推理能力的培养有机地融合在这样的“过程”之中。只有使学生肯动脑筋，会动脑筋，学会如何想数学，如何用数学，才能使学生的数学推理能力得到真正的培养与提高。

三、关注模型思想，突出数学思维

模型思想是指“从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识”。

【例2】（2014陕西）问题探究：

（1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4。如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长。

（2）如图②，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD＝6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF＝90°，求此时BQ的长。

问题解决：（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB。现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳。已知∠A＝∠E＝∠D＝90°，AB＝270m，AE＝400m，ED＝285m，CD＝340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB＝60°？若存在，请求出符合条件的DM的长；若不存在，请说明理由。

数学建模作为数学的一种基本方法，渗透在初中数学教材的各种知识板块当中，于是我们的教学一是要让学生经历从具体到抽象的思维过程。近年来比较多地出现了一些数字、算式、公式、图形或用一定的符号表达某种问题的数学结构的情境应用题，它的素材或情境大量来源于生活实践或体验，或几何素材等，借助“问题情境——建立模型——求解验证”的过程，感悟数学思想、积累活动经验；运用等量或不等量的关系构建方程、不等式、函数关系或特定的几何图形等数学模型，进而解决实际问题。二是要注重学生的动手实践、自主探究和合作交流。数学建模过程是思维训练的过程，也是观察、抽象、归纳、作图、数学符号表达等多种能力训练和加强的过程。三是要引导学生反思建模的过程是什么、数学模型有哪些、注意的问题是什么，从而提高学生解决问题的能力。

四、关注创新意识，提升数学价值

《数学课程标准》提出：“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终”。《数学课程标准》在17处提到创新意识、创新性思维和创新能力，数学创新意识培养作为《标准》的基本要求成为2014年各地中考试题的亮点与特色。

【例3】（2014杭州）在直角坐标系中，设x轴为直线l，函数的图象分别是直线l1、l2，圆P（以点P为圆心，1为半径）与直线l、l1、l2中的两条相切。例如(是符合条件的一个圆心坐标。

（1）写出其余满足条件的圆P的圆心坐标；

（2）在图中画出所有圆心，并用线段依次连接各圆心，求所得几何图形的周长。

这类试题的形式有：（1）对已有的数学知识和方法进行推广和拓展；（2）对某些定理和公式进行深化和延伸；（3）对未知的数学领域通过探索得到新的结果。关键是要尽可能地使内容贴近学生的“最近发展区”，在有意识的操作、活动中获得基本活动经验和推理技能、方法、思维方式和分析与解决问题的能力。一般包含：问题的提出、数学模型的建立、问题的解决、数学知识的应用、酝酿与形成研究问题的方法。

2015年各地中考数学命题将会在保持特色的基础上进一步融入新课程改革的有效经验，从数学学科的特点出发，坚持能力立意，继续重视基础知识与基本技能、基本思想方法的考查；重视学生运用所学知识、技能、思想方法解决问题的能力与意识的考查；关注学生发现问题、提出问题、解决问题的能力和创新精神的培养；突出“数学思维”，强调“数学理解”，注重考查解决问题的思想和方法。在此基础上，更加重视对几何直观、推理能力、模型思想和创新意识这些核心概念的考查。把握这些核心概念对教师的教学和学生的学习来说极为重要。

因此，中考复习的教学应注重基础知识、基本技能、数学思想方法和基本活动经验，关注核心概念、内容的发生发展过程，注重数学通性通法，认真研究中考试卷，明确《数学课程标准（2011年版）》导向，密切关注中考命题趋势与理念。这些对当前的数学复习和数学学习具有重要的指导意义。

[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012．

[2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012．

[3]李铁安.义务教育课程标准（2011年版）案例式解读.初中数学[M].北京：教育科学出版社，2012．

汪小莲，杭州市文海实验学校数学教师；易良斌，中学数学特级教师，中学高级教师，杭州市江干区教师进修学校副校长)