消力池池深的简捷计算法

李　华，滕　凯

(1.黑龙江省北部引嫩工程管理处， 黑龙江 大庆 163000；2.齐齐哈尔市水务局， 黑龙江 齐齐哈尔 161006)

消力池池深的简捷计算法

李华1，滕凯2

(1.黑龙江省北部引嫩工程管理处， 黑龙江 大庆 163000；2.齐齐哈尔市水务局， 黑龙江 齐齐哈尔 161006)

摘要：计算消力池深需联立求解高次方程，常规的数学方法不能直接获得。目前的试算法、迭代法及近似算法计算繁琐、精度不高，而智能算法又不便基层人员应用。通过对池深水力计算相关方程式的整理变换，获得了无量纲求解方程，采用优化拟合的方法，通过对无量纲求解方程的拟合替代，在工程实用范围内，获得了计算简捷、成果精度满足工程设计要求的简化计算公式，具有一定的实际推广意义。

关键词：消力池深；高次方程组；优化拟合；简捷计算

消力池具有结构形式简单、适宜范围广、上下游水流衔接条件好等优点，是水工建筑物底流消能的主要形式。由于该种消能工的水力计算涉及繁复的超越方程[1-3]，无法通过常规的数学方法完成求解，目前工程上均采用借助图表试算[1,4]或直接试算[2,5]完成相关计算，但由于其计算过程繁冗、工作量大，不便实际应用。为了寻求更为简单的计算方法，相关学者先后开展了多方面的研究工作，并获得了许多有益的研究成果。张志军等[6]通过建立池中收缩水深处弗劳德数与单位水体耗能、临界水深、护坦以上总水头及下游水深之间的经验关系式，提出了求解池深的简化计算方法，但由于文中仅进行了弗劳德数替代公式的精度分析，并未开展池深计算误差比较。而因弗劳德数与池深为非线性关系，弗劳德数误差对池深计算结果的影响极为显著，据笔者分析，当弗劳德数的误差为1%时，池深计算结果的误差可达15%以上，因此，该计算方法实际应用尚存在问题。滕凯[7-8]通过对求解池深计算公式的简化整理，采用优化拟合方法获得了直接求解收缩水深与下游渠道水深之比的简化计算公式，使池深计算得到有效简化，但由于文献[7]方法在工程适用参数范围内个别点的拟合相对误差在4%以上，求解精度尚不够理想；文献[8]虽然拟合相对误差较小(最大拟合相对误差小于2.8%)，但求解过程仍显繁复。张志昌等[9]在对池深传统计算公式进行整理的基础上，提出了求解池深的迭代计算公式，但由于该迭代式不够简化，且收敛速度较慢，实际应用必须借助计算机编程完成，实质上与试算法基本类似。刘仲桂[10]、叶培聪等[11]提出了利用计算机完成求解的智能算法，与文献[9]存在类似问题，不便实际应用。

为有效提高消力池池深计算的工作效率及精度，本文采用优化拟合的方法[12-14]，完成了对池深相关计算公式的拟合替代，提出了可直接完成池深求解的简化公式，计算简捷，应用方便。

1消力池池深计算公式

底流消能的挖深式消力池如图1所示，当在池中发生完整的淹没式水跃，并与下游渠道(或河道)水面形成自然衔接时，池深d的确定需联立求解下列方程：

图1闸(坝)后消力池

(1)

(2)

(3)

式中：T0为池顶面以上的上游总水头，m；q为单宽流量，q=Q/b(Q为闸(坝)通过流量，m3/s；b为闸(坝)过流净宽，m)，m3/(s·m)；h1、h2分别为收缩水深及跃后共轭水深，m；φ、φ′分别为收缩断面及消力池出口流速系数，一般φ=0.8～1.0，φ′=0.95；σ为水跃淹没系数，一般取σ=1.05；t为池后正常水深，m；g为重力加速度，一般g=9.81m/s2。

将式(1)减式(3)经整理可得

(4)

(5)

式中：x为中间变量；Fr为弗劳德数。

由式(5)可得：

(6)

将式(5)代入式(2)可得

(7)

将式(6)、式(7)代入式(4)整理得

(8)

则有：

(9)

将式(9)代入式(8)可得

(10)

式中：hk为临界水深，m；t0为下游渠道(或河道)护底以上的总水头，m；E为已知综合参数。

在式(10)中，因当T0及q已知时，t0、hk及E可求，式(10)即为含有1个未知数x的超越方程，通过采用试算或迭代(整理出迭代形式)法可完成求解。

2简化公式的建立及精度分析

2.1　公式的建立

因式(10)较为繁杂，无论采用试算法还是迭代法均需借助计算机编程完成，不便实际应用，为此，本文提出以下简化计算法。

设：y=x2-1

(11)

将式(11)代入式(10)得

(12)

式中：y为引入的中间变量。

考虑在实际工程中φ=0.8～1.0，2.0≤Fr≤20.0，假定f(y)可以替代式(12)，即f(y)=E，并且满足f(y)为最简化的可解函数，同时求解精度可达到设计要求。当φ分别为0.8、0.85、0.9、0.95及1.0时，选取不同的yi(i=1，2，3……n,n为计算选取点数)即可由式(12)求得与其相对应的Ei，进而完成E—y关系曲线绘制，见图2所示。

图2E—y关系曲线

由图2可见，E—y曲线类型具有较好的抛物线关系。为此，笔者采用优化拟合的方法，以标准剩余差最小为目标函数，经逐次逼近拟合[15-16]即可获得式(12)的最优替代式为

Ay2/3.25+By1/3.25+C=E

(13)

其中：A=0.1041φ-2+0.01461

B=-0.15076φ-2-0.33397

C=0.19419φ-2+0.26613

(14)

式中：A、B及C均为中间参数。

由式(13)即可求得y为

(15)

y求得后即可求出x，并由式(6)求得h1，进而由式(1)求得池深d值。

2.2　精度分析

(16)

图3式(15)计算y值的误差包络线

(17)

(18)

当z=0.543%时

(19)

当z=-0.335%时

(20)

3计算实例

采用文献[6]计算实例：已知某坝高为P=10m(相对于下游渠底)的溢流坝，坝顶部设有闸门控制，过水单宽流量为q=6m3/(s·m)，φ=0.90，下游渠道水深t=3.05m，试计算当H分别为13.0m、10.0m、7.0m和4.0m时的池深d，并进行相关求解结果的精度分析。

当H=13m时，可得：hk=1.542m，t0=3.268m，T0=23.00m，E=6.398m。根据式(14)可分别求得：A=0.1431，B=-0.5201，C=0.5058，则由式(15)可得

由式(12)利用计算机编程可求得池深d=1.806m，本文计算结果的相对误差为0.33%。

同样方法可得当H=10.00 m、7.00 m及4.00 m时的池深d及相对精度z，各相关计算结果列入表1。

表1　池深d的精度比较

由表1可见，就本例计算所涉及的参数范围而言，文献[6]计算结果的相对误差为-15.39%～4.51%，而本文计算结果的相对误差仅为-0.35%～0，利用本文方法所获得的计算结果能更好地反映工程实际，其计算精度可以更好地满足工程要求。

4结语

针对目前消力池深计算存在的过于繁复问题，通过对整理后的无量纲求解方程的拟合替代，获得了可直接完成消力池池深相关参数求解的显函数计算公式，并且公式的表达形式简单明了，工程设计人员仅借助计算器即可非常简捷地完成池深计算，求解过程大大简化。通过对实际工程可能涉及的参数范围的精度比较可见，本文公式求解精度完全满足设计要求，具有实用推广价值。

参考文献：

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DOI:10.3969/j.issn.1672-1144.2015.04.044

收稿日期：2015-04-21修稿日期：2015-05-23

作者简介：李华(1960—)，女，黑龙江哈尔滨人，高级工程师，主要从事水利工程建设管理及工程优化设计研究。E-mail: lhde@163.com E-mail：tengkai007@163.com

通讯作者：滕凯(1957—)，男，黑龙江齐齐哈尔人，高级工程师，主要从事水利防灾减灾及工程优化设计研究。

中图分类号：TV131

文献标识码：A

文章编号：1672—1144(2015)04—0220—04

A Simple Calculation Method for the Depth of Energy Dissipation Pools

LI Hua1, TENG Kai2

(1.NenjiangProjectManagementOfficeinNorthernHeilongjiangProvince,Daqing,Heilongjiang163000,China;2.QiqiharMunicipalWaterAffairsBureau,Qiqihar,Heilongjiang161006,China)

Abstract：In order to determine the depth of the energy dissipation pool, simultaneous equations of high order are often sought after, for the conventional mathematical methods can not produce a direct solution. At present, the trial calculation method, the iterative method and the approximate algorithm method are either too complicated or lack of accuracy, and the use of computer programming is not easy for the basic engineering and technical personnel. After finishing the transformation and adaption of the relative hydraulic equations, a dimensionless equation was obtained. And then the optimal fitting method was adopted to acquire the simplified formula of this equation. According to its application in engineering practice, this formula is easy to use and the accuracy of its results meets the engineering requirements of accuracy. So this formula is applicable in actual engineering practice.

Keywords:the depth of the energy dissipation pool; high order equations; optimal fitting; simple calculation