线性代数中突出行最简形相关内容的教学设计

孙 广 人

(安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆 246133)

线性代数中突出行最简形相关内容的教学设计

孙 广 人

(安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆 246133)

从线性代数的教学经验出发，针对非数学专业线性代数教学的实际情况，初步探讨了线性代数教学中以Gauss消元法为根本，突出行最简形及其相关内容的教学设计。

Gauss消元法；行最简形；线性代数教学

大学非数学专业线性代数课程所用的教材，如同济大学编写的线性代数[1],孙国正、杜先能编写的新书[2]，内容都比较简洁、精炼，但是教师按教材讲授之后学生的实际理解情况仍不够理想，以致不少学生最后考试成绩不错，但是却不知道自己究竟学了什么。

造成这种现象的原因有多种。如果不考虑学生、教材的原因，只就实际教学过程来讲，多数教师较为侧重知识点的讲授，这是无可厚非的，但是要求通过一两个主要问题或者主要工具把大纲内容串联在一起的整体教学方法也需要重视。

孔子曰：吾道一以贯之。法国大数学家A.韦伊认为数学教师的任务就是告诉学生一本几百页的数学书中的指导原则不过一两条。目前国内非数学专业的线性代数教材，通常有一半以上的内容与求解线性方程组有关，如果要从中抽绎出指导性原则，那么所谓的“一贯之道”无疑是Gauss消元法。Gauss消元法不仅出现在求解方程组中，而且在求行列式、矩阵的秩以及向量组的最大无关组的计算中也反复出现，如能在教学设计中适当加以强调，则学生可以更快更透彻地掌握线性代数的基本内容。

从教学实践出发，参考国内外优秀教材[2-4]，尝试给出一种突出Gauss消元法后产生的“行最简形”(由本文正文部分的讨论可以发现“行阶梯形”或者“行最简形”的概念不只限于矩阵，也可以延伸到线性方程组甚至行列式中)相关内容的教学设计。

这样设计的动机之一，源于作者在几年线性代数的教学中发现：许多学生学完线性代数，在最后考试中只知道用对角线法则计算行列式的值。这说明不少人对于行列式的印象还停留在教材的最初几页，让作者深刻领悟到“先入为主”这条万古不变的铁律。因此，与其让学生多年后才恍然大悟：原来是这么回事啊！不如适当安排讲授顺序，让他们对线性代数的重要思想形成完整的认识。因此，在本文中提出一种强调行阶梯形的“本末倒置”的设计。

1 线性方程组

通常在讲授求解线性方程组时，首先强调怎样通过初等变换对线性方程组消元，把方程组变成“可以直接看出解”的形状，这种形状对应的增广矩阵为“行最简形”。本文设计的讲授模式是“本末倒置”的，即首先强调行最简形，然后再考虑如何把一般形式的方程组化为“行最简形的方程组”。

具体授课时，教师引导学生思考：什么情况下能够直接“读出”线性方程组的解？首先，从最简单的“方程组”出发：x1=b1,x2=b2,…,xn=bn，写出其对应增广矩阵。之后，强调这种方程组的变化：x1=b1,x2=b2,…,xn=bn,xn=bn′，其中bn≠bn′，并写出与之等价的方程组x1=b1,x2=b2,…,xn=bn,0=bn′-bn的增广矩阵，这样在学生头脑里初步建立了方程组解的存在性与增广矩阵形状的关系。最后，引入能直接读出解的方程组的标准形式：

当然此时对应的增广矩阵正是“行最简形”矩阵。特别地，要向学生说明：下面的工作就是要把一般形式的方程组(或对应的增广矩阵)通过Gauss消元法(或者对应的初等行变换)变成行最简形的过程。

这种设计的优点是目的性较强，在学生心目中树立了“行最简形”矩阵的高大上的形象，让学生立即明白此后一切求解线性方程组的终点就是这种形状的方程组。也可以通过强调行最简形与线性方程组解的对应关系让学生明白：由于方程组的解集是确定的，因此一个矩阵的行最简形也是唯一确定的。

2 行列式

在讲授完行列式的定义后，一般教材指出，通过定义可以直接计算的有对角形行列式、或者更一般的上(下)三角形行列式，设计讲述行列式的过程就从这个例子出发。

具体地说，在行列式的教学中，首先向学生强调它作为判别线性方程组存在唯一解的“判别式”的功能。最简单的，线性方程ax=b是否存在唯一解的“判别式之一”是a，由此引申出线性方程组a1x1=b1,a2x2=b2,…,anxn=bn存在唯一解的“判别式之一”是a1a2…an，同理，上三角形线性方程组

存在唯一解的“判别式之一”是a11a22…ann，然后给出“判别式之一”——行列式的定义，以及如何通过“Gauss消元法”把一般行列式转化为上三角形(其实就是“行阶梯形”)行列式。

这种讲述模式让学生明白行列式引入的动机，更重要地是让学生建立良好的求解行列式的习惯以及对行列式的理解。

3 线性相关与极大无关组

向量的概念对于线性代数无疑非常重要，但是对于很多学生来说也十分抽象。因此，线性相关性——特别是求解向量组的极大无关组，对于线性代数的教学是一大难点。在实际教学过程中，仍然尝试采取强调行阶梯形的方法进行设计。

最为典型的线性无关的向量组是“r维单位向量组”：

能够立即看出单位向量组的线性无关性，因此本身就是极大无关组。由此推广至“一眼看出”极大无关组的“列向量组”的一般形式是下列“行最简形”矩阵的列向量组：

进一步向学生解释能“一眼看出”的原因是它前r行r列对应着“r维单位向量组”。

这样使学生的注意力再次集中到“行最简形”上，然后通过解释“矩阵初等行变换不改变矩阵的列向量间的线性相关性”(如果从线性无关与对应齐次线性方程组存在唯一解的角度解释这一原理，则再次应用到行最简形)，让学生明白，求极大无关组与求线性方程组的解、行列式的值有着完全相似的过程。突出“行最简形”的地位在求解极大无关组的过程中有极其重要的意义。它既可以让学生迅速掌握求解的方法，又可以使学生看清求解过程的本质。

4 结 论

以上线性代数的教学中突出“行最简形”的设计，在实际教学中收到了不错的效果。一定程度上改变了分散的知识点带给学生的困扰。当然，目前这种设计还面临不少问题，比如，解方程组导入“行最简形的方程组”还有很突兀的地方，其中给学生带来的一个较大困惑是：为什么一切可以读出解的方程组都是这种形式？而行列式教学中“本末倒置”后尚不能十分自然地由“判别式”转换到“行列式”，从而经常导致学生产生对行列式定义理解的混淆。最后，求极大无关组的教学中，还不能给出“初等行变换不改变列向量的线性相关性”的更加直观、圆融的解释，因此许多学生只是掌握了求解方法，没有完全融会贯通。

总之，这种想法还有诸多需要完善之处，故仅以此文抛砖引玉，希望能引起同行的专家、老师们对这种教学设计的中肯评价与改进，来一起推动大学非数学专业的线性代数教学。

[1]同济大学数学系. 线性代数[M]. 6版. 北京: 高等教育出版社, 2014: 1-106.

[2] 孙国正, 杜先能. 线性代数(经济管理类)[M]. 合肥: 安徽大学出版社, 2011: 1-124.

[3] K. Hoffman, R. Kunze. Linear Algebra[M]. 影印版. 北京: 世界图书出版公司, 2008: 1-173.

[4] J. Hefferon. Linear Algebra[M]. Richmond: virginia commonwealth university mathematics, 2009: 1-366.

Instructional Design of Emphasizing the Row-Reduced Echelon in Linear Algebra

SUN Guang-ren

(School of Mathematics and Computation Science, Anqing Teachers College, Anqing 246133，China)

Learn from the author's experience in teaching non-math majors, an instructional design on linear algebra is proposed, which emphasizes the row-reduced echelon and the related content based on Gaussian elimination.

Gaussian elimination, row-reduced echelon, the teaching of linear algebra

2015-02-27

孙广人，男，河北唐山人，博士，安庆师范学院数学与计算科学学院副教授，研究方向为代数编码。

时间：2016-1-5 13:01 网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160105.1301.032.html

G47

A

1007-4260(2015)04-0126-02

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.04.032