奏鸣曲式在倒易点阵教学设计中的借用

◆谭 俊 郑晓辉 赵军军

奏鸣曲式在倒易点阵教学设计中的借用

◆谭 俊 郑晓辉 赵军军

针对“材料分析技术”课程中“倒易点阵”的教学难点进行了课次的教学设计，以奏鸣曲“序曲—呈示—展开—再现—尾声”的结构程式，将倒易点阵的定义、性质、图解及应用的连成主线，呈现出音乐般的节奏，引导学员的进入主题。运用“变易”的思维方法，让学员从问题的提出、复杂问题向简单问题的“变换”体验变换的本质及应用角度，提高学员的“变易”的思维能力。

奏鸣曲式；倒易点阵；课次设计；教学方法

教学是一门科学，也是一门艺术。教学艺术是能达到最佳教育、教学效果的各种知识、条件、手段与方法的综合。教学艺术也可向音乐艺术学习借鉴。

奏鸣曲是音乐的一种形式，古典奏鸣曲式一般都包含呈示部、展开部和再现部等3个部分。在呈示部中由不同性质的对比主题进行呈示，分为主部和副部两部分。展开部在一般情况下是这些对比主题进一步的配合发展或更加剧烈的矛盾冲突。再现部是总结部分，再现的各主题趋向统一，相互接近。古典主义到了后期，奏鸣曲式的结构又加入引子和尾声。

“材料分析技术”是材料科学与工程专业的专业课程之一。其中，有不少与材料结构分析相关的教学难点，而晶体材料衍射分析中的“倒易点阵”可谓是一难中难。本文中我们尝试借用奏鸣曲式对倒易点阵课次的教学进行设计，希望能有所创新。

一、设计思想

1.教学内容

根据现代人才培养的教学改革要求，本课次保留了倒易点阵的核心内容，以问题为牵引，以倒易点阵及其应用为主线，删减了一些烦琐的公式推导，突出能力和方法培养。

2.教学方法

借用奏鸣曲“序曲、呈示、展开、再现和尾声”的程式，将倒易点阵的定义、倒易矢量的性质、倒易点阵与晶体X射线衍射关系逐步道来；并在思维方法上将观念的变换、变换的应用和变换的本质等贯穿课程始终。

3.教学目标

通过本课次的学习，学员将理解晶体X射线衍射的斑点与晶体之间的关系，并为学员在未来瞬息万变的信息化战争中，以变易之思维方法，以变求新，以变求解，以变求本，以变求用提供方法借鉴。

二、教学过程设计

在实际教学过程中，整个教学过程应浑然一体，各个内容之间如行云流水般自然衔接，不能有任何突兀的感觉。要达到这样的效果，必须在对教学内容熟练把握，融会贯通的基础之上，再进行课前精心设计教学。该课次的教学设计借鉴戏剧的结构形式，即“序曲—呈示—展开—再现—尾声”的程式，让各部分衔接自然，环环相扣，娓娓道来，紧紧吸引住学员，以取得引人入胜的教学效果。

1.序曲——变幻的世界

教学内容的引入是课堂教学的第一步，可谓是序曲。精彩的课堂引入不仅可以吸引学员的注意力，而且可以为后面的授课内容做好铺垫。倒易点阵的数学基础是倒易变换，教学设计的序曲为变幻的世界，从各种变换引入倒易变换。

（1)事物联系法则的应用。世界是物质的，万物是相互联系。课次设计了从周易到倒易的引入，从周易将世间万物的变化归结于阴阳之变化；信息技术中实现信息高速传输、存储和处理的0和1的变化；数学中直角坐标、柱坐标、球坐标的坐标变换，引入到课程的倒易变换。

（2)问题的设计。在引入倒易变换后，连续设问：什么是倒易变换？为什么要进行倒易变换？倒易变换有什么用？来提高学生的注意力，启发学员的思考。随后，在比较可见光的反射与晶体衍射的区别，对比夜空星图与X射线衍射图之后，提炼出一个数学命题：已知X衍射斑点像，证明斑点像是晶体原子面的像 （信息)。这一问题的设计改变了传统教学过程中依教材按部就班讲解相关内容方式，为问题式教学提供了基础。

（3)解题的思路。面对提出的问题，看起来难以证明，引导学员找出一个解题的思路，即将这个命题的求解分解为以下两个步骤 （见图1)。

步骤一：将晶体原子面通过一个变换，变成点；而这个变换就是我们要学习的“倒易变换”。

步骤二：证明晶体原子面变换的点是晶体衍射的成像点。

图1 斑点像是晶体原子面像证明的步骤

再从上节所学X射线衍射的特点与基本条件说明为什么要研究倒易变换，为后续主题的展开作好铺垫。

2.呈示——倒易点阵与正点阵

序曲之后，进入倒易点阵的呈示。这部分的关键是要让学员建立倒易点阵 （空间)的概念。以倒易点阵与正点阵的关系着手，即如何让正点阵变到倒易点阵。

（1)倒易点阵与正点阵的对比。首先明确给出倒易点阵的定义 （a*=b×c/V)，引导学员从定义对比倒易点阵与正点阵的关系，理解任何一个正点阵都存在一个倒易点阵，倒易点阵与正点阵又互为倒易点阵。

（2)倒易基矢与正基矢的对比。引导学员从定义推导出倒易基矢的两个性质。一是倒易基矢a*的方向：a*⊥b，a*⊥c；二是倒易基矢的大小：|a*|=1/|a|cosα，并从|a*|与|a|的关系进一步说明“倒”的意义。

针对倒易空间抽象，倒易空间与正点阵空间关系难以琢磨的特点，运用三维动画演示，帮助学员建立倒易空间的概念。

3.展开——倒易空间的“点”与正空间的“面”

在给学员从正点阵至倒易点阵呈示之后，进入了倒易矢量的定义及性质的展开，在这一过程中着重让学员体会如何从倒易基矢拓展至倒易点阵。

（1)倒易基矢与倒易矢量。从倒易点阵，给出倒易矢量（ghkl)的定义，即：ghkl=h a*+k b*+l c*。由倒易矢量 （ghkl)的含义——由原点O*指向任意坐标为hkl的阵点的矢量ghkl，给出倒易矢量的性质。

（2)倒易矢量及向其性质。一是倒易矢量ghkl垂直于正点阵中相应的 （hkl)晶面，或平行于它的法向Nhkl。二是倒易矢量的长度等于正点阵中相应晶面间距的倒数，即ghkl=1/ dhkl。对于性质的证明，留给学员作为课后作业。

（3)原子“面”与倒易“点”。展开部分的关键是要从倒易矢量的性质导出以下重要结论：倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面，从而建立起正点阵“面”与倒易点阵“点”的内在联系，从而完成前文所述步骤一：“晶体原子面”变换为“信息点”（倒易点)证明。

4.再现——晶体倒易点阵与Ewald球的相遇

在这之前都是铺垫，是为该部分的主题再现 （解决的问题)服务的，即Ewald图解及其在晶体衍射分析中的应用。在此环节，同样，从定义入手，将倒易点阵与正点阵两个对立的空间，通过晶体的衍射实现了统一。

（1)Ewald球。首先给出Ewald的定义：以球心O到倒易原点O*的长度 （1/λ)为半径的球。

（2)Ewald图解。当晶体倒易点阵与Ewald球相遇，会有一些倒易点与Ewald球的球面相交，证明倒易点阵中与Ewald球面相交的点满足晶体X射线衍射的基本条件 （布拉格方程)。

（3)倒易点与正点阵晶面的衍射成像。通过以上证明，说明晶体X射线衍射成像，实际上是那些与Ewald球相交的倒易点，面倒易点代表了一组晶面。这样学员就明白了为什么斑点像就是晶体的原子面像，即完成了前文所述步骤二的证明。

最终，完成了课次最初提出的X射线衍射斑点即为晶体中产生衍射晶面像问题的证明。

5.尾声——万变不离其宗

最后是课程的尾声——小结。小结是课堂授课中必不可少的一部分，是利用很短的时间对所讲授内容作一个简短的系统性、概括性、延伸性的总结。小结要精炼，通过小结使学员能抓住这节课堂教学的重点和难点。因而，小结是整节课教学的升华。常用的小结方法有归纳总结式、分析比较式、图表小结式、启迪思维式、交流评价式等。本次堂课的小结一方面对课堂教学内容进行了归纳总结，另一方面从更高层次和能力培养的要求，对思维方法启迪进行了的提炼和延伸。

（1)学习内容归纳。通过倒易变换，建立了晶体的倒易空间，找到了倒易点与正点阵中晶面的对应关系以及产生衍射晶面之间的条件，从而揭示了晶体衍射的斑点与晶体衍射的关系与本质。

（2)思想方法提炼。本课次中应用的主要思维方法是“变易”，为此提炼出“以变求新，以变求解，以变求本，以变求用”的几个具体方法，即以“变”发现事物新的表现形式，以“变”求得问题的解决方法，以“变”来揭示事物的本质，以“变”来运用事物发展规律，但万变不离其宗，即事物的本质。为学员在未来瞬息万变的信息化战争中提供方法借鉴。

本课次设计针对“倒易点阵”的教学难点，尝试了奏鸣曲式结构在教学设计的借用，并在教学过程的问题牵引，教学手段的多媒体运用，教学总结的方法提炼等方面进行了探索。实践表明，学员能够紧跟教员的教学思路，更好地掌握了本课次的学习内容；同时，激发了学习的兴趣与求知欲，培养了思维能力，学习了解决问题的方法，还可为今后的学习和工作提供一定的借鉴。

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[8]课堂小结的几种常见形式[EB/OL]http：//wenku.baidu.com/view/ 8d72353310661ed9ad51f367.html.2014-10-06.

（编辑：郝 婵）

谭俊，男，装甲兵工程学院装备再制造工程系教授，博士。研究方向：材料科学与工程；郑晓辉，女，装甲兵工程学院装备再制造工程系讲师，硕士。研究方向：材料学；赵军军，男，装甲兵工程学院装备再制造工程系，博士。研究方向：材料学。

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