工科线性代数的教学实践与探索

李强+陈志彬

摘要：对工科高校线性代数教学现状进行了分析，指出了线性代数教学中存在的主要问题，并提出了提高线性代数教学质量的有效途径。

关键词：工科;线性代数;教学

中图分类号：G642.3     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2015）20-0132-02

线性代数是一门具有很强的逻辑性、高度的抽象性和广泛的应用性的数学公共课。它与高等数学和概率论与数理统计一起构成了工科院校的数学公共课。它不但广泛应用于概率统计、空间解析几何、微分方程和计算方法等数学分支，而且在自然科学与社会科学的各个领域发挥着重要的作用。由于线性代数教学内容多、知识点联系紧密、技巧性强、计算和证明灵活等特点，因此学生普遍感到难以掌握。

一、工科线性代数课程教学中普遍存在的问题

第一，理论证明多，应用实例少而陈旧。理论越来越抽象，理论与实际应用结合少。线性代数成了一门学生感到抽象、冗繁而乏味的课程，许多学生感受不到这门课程的重要性和应用价值。对于工科学生而言，他们更需要的是能应用线性代数理论，指导完成实际的计算，而不是十分烦琐的理论推导和证明过程。即使有的少量例题也是反映的二战结束以前的例子，对于二战结束以后，特别是近二十年的实例几乎没有。很多学生学完课程后，只会推导一些课本上的公式或进行理论计算，对于有真实数据的实例就不会处理了。

第二，重视代数推导，忽视几何意义。形象或直观和抽象本来是一切科学的两面，只是近年来过分强调了抽象思维能力的训练而忽视了几何意义的解释。特别对于低阶的线性代数问题，缺少图形帮助，就无法展示几何意义，这对于理论和概念理解是非常不利的。

第三，重视手工计算，忽视计算机运算。计算能力是工科大学生必须具有的一种基本能力。数学教育家张奠宙先生曾经说过：“如果我们只强调用纸笔的基础训练，忽视计算器和计算机的使用，也许会和清末时代主张用‘武术功夫抵挡‘洋枪洋炮那样，最终必然失败，这一点我们不可掉以轻心。”

事实上，目前的线性代数教学已不能满足工科后续课程的要求，按所教的方法在后续课中是无法用来解高阶、复数的矩阵题目;后续课程无法用所学线性代数解题;线性代数教学普遍不用计算机解题，不联系应用，不符合课程现代化的要求。

第四，教学内容多，授课课时少。线性代数课程的内容一般包括线性方程组、矩阵、行列式、向量空间与线性空间、相似矩阵和二次型。在每一个章节都有大量的定义和定理需要讲解，同时还涉及冗繁的公式计算。部分教学内容不能得到详细的讲解，教学效果受到较大的影响。

二、提高工科线性代数课程教学的有效途径

第一，建立新的课程体系。线性代数课程不仅仅是让学生对本门课程中的基本概念、基本理论、基本方法技巧的学习和掌握以及应用能力培养的一门课程，而且更重要的是，从思维方法、从大学生的素质教育的高度、从终生教育的角度，线性代数是一门培育人才的学科，它不仅对学生的各门后继课有渗透作用，而且对学生终生教育都有深远的意义。

必须对线性代数现有课程体系整体结构进行优化整合，建立一种反映时代要求的课程体系，使其更加适合不同专业学生的学习，注重培养学生应用线性代数知识解决专业问题或实际问题的能力。

要建立以“线性方程组为核心和矩阵为主要工具，突出几何意义，强调应用”的体系结构，揭示各知识点之间的有机联系，遵循学生的学习规律，培养学生运用数学知识的能力。

线性代数是围绕求解线性方程组而发展起来的一门学科，主要内容都是围绕其展开。向量、矩阵、行列式、特征值、向量空间和线性空间都以线性方程组为背景引入。

以矩阵为主要工具来处理线性代数中的各种问题。例如，线性方程组可以用一个逆矩阵来求解;线性空间中的线性变换可以用一个矩阵来表示;内积可用其度量矩阵来表示;正交变换可用正交矩阵表示;对称变换可用对称矩阵表示;等等。大部分线性代数的问题都可以利用矩阵这个工具来解决。

解析几何是线性代数的几何背景。拉格朗日就曾经说过：如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展，就会相互加强，并能快速地向着完善化的方向前进。在线性代数教学中，应当突出代数理论的几何意义。例如，线性方程组有解作为一个代数问题，在三维几何上可解释为几个平面有交点，在高维几何中可解释为几个超平面有交点。

第二，理论与应用有机结合。工科线性代数教学首先应当满足工科专业面向应用的要求。1990年，美国成立的国家线性代数课程研究组对美国线性代数课程教学的五点要求的第一点就是“首先要满足非数学专业面向应用的需要”。

线性代数教学过程中加强概念与理论的背景介绍与应用的介绍，将大量的实际案例融入线性代数教学中，可以激发学生的学习兴趣，培养学生应用数学的能力，同时可以引发学生的思考，引导学生主动提出问题，寻找解决问题的办法。

例如，在学习线性方程组的时候，可以引入交通流量、电路分析和化学方程式配平问题;在学习克莱姆法则时，可以引入信息编码实例;在学习正交性时，可以引入搜索含有关键字文档的信息检索实例。在学习特征值时，可以将特征值看成是与线性变换相关联的自然频率，同时可以引入梁的弯曲和航天飞机的定位问题。

第三，紧密结合数学软件MATLAB。MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，该语言完全适用于线性代数。在美国，线性代数教学离不开计算机是美国工科教育界的共识。MATLAB也是美国大学工科学生必须掌握的工具。在西安电子科技大学陈怀琛教授及其团队进行的线性代数教改试验中，学习MATLAB的学生理论考试成绩高于不学习MATLLAB的学生，并且实践结题能力也要强得多。因此，线性代数教学紧密结合数学软件MATLAB是完全有必要和可能的。

线性代数每一章讲授内容都应当包含基于MATLAB软件的计算练习，这些练习可以作为课后作业，也可以作为上机实验的一部分。这些练习可以帮助学生进一步理解线性代数的基本内容，掌握线性代数的实质，灵活运用线性代数的基本方法。

在利用MATLAB进行计算时，不可以迷信其计算结果。比如，从理论上讲，行列式的值非零的充要条件是对应的矩阵是非奇异的。在有的情形下，矩阵是奇异的，由于计算机采用的是有限位精度运算，可能会有误差的存在，那么计算出的行列式的值不是零。此外，也有可能计算机算出行列式的值等于零，但矩阵是奇异的。

在线性代数教学中，还应当利用MATLAB实现可视化教学。MATLAB是一种适用于科学工程计算的高级语言，它不仅在数据计算方面功能强大，在数据可视化方面的功能也不可小视。利用MATLAB的绘图功能把难以理解的抽象知识转化成直观、丰富的图形，将会使难度大大降低，收到事半功倍的效果。著名统计学家John Tukey就曾经指出：图形的呈现方式会让人们得到许多出乎意料的结果。事实上，人类对图形的理解能力确实很强，往往能够从中发现一些通过常规计算难以发掘的信息。

例如，在讲授特征值问题时，可以利用MATLAB中的eigshow工具，它可以把一个平面映射到自身的线性算子的作用可视化。该工具可以同时显示一个单位向量x和x在A下的像Ax。在讲授利用正交变换实现二次型转换为标准型时，也可以利用MATLAB的绘图语句，这样学生可以在视觉上看到，正交变换的实质就是将二次型图像进行旋转，同时保持图形形状不变。

第四，建立一支既有坚实数学基础，又有必要的工科知识的师资队伍。国外的一些经验值得我们借鉴，美国大学的一些线性代数教学工作就是由工程系担任的。即使是由数学系教授承担的线性代数教学工作，由于数学教授从事与工程相关的科研项目较多，他们的工科知识也比中国的同行们强得多。鉴于目前国内的工科线性代数教学实践，可以考虑由数学专业类师资和工科类专业师资共同担任工科线性代数教学任务的模式。

三、结语

工科线性代数的教学实践与探索是一个长期而艰巨的过程，在这个过程中，要不断提高师资队伍素质，利用各种工具和方式，把抽象的线性代数理论和具体工程实践联系起来，使得线性代数的学习由枯燥乏味变得趣味盎然，使学生能够成为具备一定理论基础和较强实践能力的人才。

参考文献：

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