例说不定积分计算解题

邢春峰　袁安锋　綦春霞

摘要：对几组不定积题目分进行分析、归纳，给出求某些不定积分计算的一些技巧。

关键词：不定积分；积分方法；技巧

中图分类号：G642.3 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）13-0283-02

不定积分是高等数学的重要内容，是学习定积分和多元函数积分学的基础。不定积分的计算具有一定的灵活性，要学好这部分内容，必须熟悉基本积分公式、基本运算性质、基本积分方法、一定的解题策略，并能对被积函数进行适当的代数或三角的恒等变形，或对被积表达式进行凑微分、变量置换等的变形。当然，有些积分题目的方法也不是一成不变的，关键还是要注意分析题目的形式，平时大胆试用各种解题方法。下面通过几组类似积分的比较来看一看积分计算中的解题方法的灵活性和技巧性.

例1 求不定积分（1） tanxdx；（2） tan2xdx；（3） tan3xdx；（4） tan4xdx。

解 （1） tanxdx= dx=- d（cosx）=-ln|cosx|+C；（用凑微分法）

（2） tan2xdx= （sec2x-1）dx=tanx-x+C；（三角恒等变形后积分）

（3） tan3xdx= tanx（sec2x-1）dx= tanxd（tanx）- tanxdx= tan2x+ln|cosx|+C；（三角恒等变形后积分）

（4） tan4xdx= tan2x（sec2x-1）dx= tan2xd（tanx）- tan2xdx= tan3x-tanx+x+C。（三角恒等变形后积分）

例2 求不定积分（1） secxdx；（2） sec2xdx；

（3） sec3xdx；（4） sec4xdx。

解 （1） secxdx= dx=

d（secx+tanx） ln|secx+tanx|+C；（用凑微分法）

（2） sec2xdx=tanx+C；（应用积分公式）

（3） sec3xdx= secxd（tanx）=secxtanx- tanxd（secx）=secxtanx- secxtan2xdx=secxtanx- sec3xdx+ secxdx=secxtanx+ln|secx+tanx|- sec3xdx，

所以 sec3xdx= secxtan+ ln|secx+tanx|+C；（用分部积分法）

（4） sec4xdx= sec2xd（tanx）= （1+tan2x）d（tanx）=tanx+ tan3x+C。（用凑微分法）

例3 求不定积分（1） lnxdx；（2） xlnxdx；（3） dx；（4） dx。

解 （1） lnxdx=xlnx- xd（lnx）=xlnx-x+C；（用分部积分法）

（2） xlnxdx= lnxd（x2）= x2lnx- x2d（lnx）= x2lnx- xdx= x2lnx- x2+C；（用分部积分法）

（3） dx= lnxd（lnx）= ln2x+C；（用凑微分法）

（4） dx= d（lnx）=ln|lnx|+C。（用凑微分法）

例4 求不定积分（1） （1+2x）10dx；（2） x（1+2x）10dx；（3） x（1+x2）10dx。

解 （1） （1+2x）10dx= （1+2x）10d（1+2x）= （1+2x）11+C；（用凑微分法）

（2） x（1+2x）10dx1+2x=t （t-1）t10 dt= （t11-t10）dt= t12- t11+C= （1+2x）12- （1+2x）t11+C；（用第二类换元积分法）

（3） x（1+x2）10dx= （1+x2）10d（1+x2）= （1+x2）11+C。（用凑微分法）

例5 求不定积分（1） dx；（2） dx；（3） dx；（4） dx。

解 （1） dx x=2tant= 2sec2tdt= sectdt=ln|sect+tant|+C=ln| +x|+C；（用第二类换元积分法）

（2） dx= d（x2+4）+ +C；（用凑微分法）

（3） dx x=2sect 2secttantdt= sectdt=ln|sect+tant|+C=ln| +x|+C；（用第二类换元积分法）

（4） dx= d（x2-4）= +C。（用凑微分法）

大家也可以尝试着做下面几组求不定积分的题目：

1.（1） sinxdx；（2） sin2xdx；（3） sin3xdx；（4） sin4xdx。

2.（1） cosxdx；（2） cos2xdx；（3） cos3xdx；（4） cos4xdx。

3.（1） cotxdx；（2） cot2xdx；（3） cot3xdx；（4） cot4xdx。

4.（1） cscxdx；（2） csc2xdx；（3） csc3xdx；（4） csc4xdx。

5.（1） exdx；（2） xexdx；（3） x2exdx；（4） xe dx。

6.（1） dx；（2） dx；（3） dx；（4） dx。

7.（1） dx；（2） dx；（3） dx；（4） dx。

8.（1） dx；（2） dx；（3） dx；（4） x dx。

通过上面每道例题中几个不同形式积分的比较可以看出，被积函数稍微变化一点，积分方法可能就完全不一样，因此，在学习不定积分计算时，一定要注意比较，这样才能很顺利地掌握各种积分方法。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学：上册[M].6版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]冯伟杰，魏光美，李美生，吴纪桃.高等数学习题课教材[M].北京：清华大学出版社，2012.

[3]王景克.高等数学解题方法与技巧[M].北京：中国林业出版社，2001.endprint