线性变换在二次曲线分类中的应用探析

朱四如 刘彩霞

摘要：针对二次曲线分类问题，提出线性变换的方法，使得能够快速、便捷的对二元二次方程所对应的二次曲线类型进行分类，对相关研究具有一定的指导意义。

关键词：二次曲线；线性变换；二元二次方程

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）36-0281-02

所谓二次曲线[1]，即在平面上，由二元二次方程ax+2axy+ay+2ax+2ay+a=0（1）所表示的曲线，其中二次项系数a，a，a不全为零。二次曲线在实际生活和工程应用中大量存在，如宇宙运动的基本形式、探照灯反光镜的原理和高大的立塔（如冷却塔）的设计等。二次曲线由于其重要的应用价值，一直是几何学和工程应用研究的重要课题。

由于任何二次曲线都是由某一个二元二次方程所决定的，然而二次曲线种类繁多，一般分为九种[2]，仅从二元二方程的形式想要快速判断出二次曲线的类型几乎是不太可能的，若对其图像进行研究，也比较麻烦，如何快速准确地判断一个二元二次方程所对应的二次曲线类型，这是一个值得探究的问题。本文将以线性变换为基础，研究线性变换在二次曲线分类中的应用。

1 二次曲线的类型

一般情况下，通过选取合适的坐标系，可以将二次曲线分为九类。

（1）+=1（椭圆）；（2）+=-1（虚椭圆）；

（3）-=1（双曲线）；（4）+=0（点或相交于实点的共轭虚直线）；

（5）-=0（两相交直线）；（6）y=2px（抛物线）；

（7）y=a（两平行直线）；（8）y=-a（两平行共轭虚直线）；

（9）y=0（两重合直线）.

2 线性变换知识

线性变换[3]是线性代数核心内容之一，它描述了向量空间的一种运算规律，表现出了空间元素之间最基本的线性关系。研究线性代数实际上主要就是研究方程组，而研究方程组很自然的就要研究方程，这当然就包含了对二元二次方程的研究。

2.1线性变换的矩阵表示

定义：设ε，ε，…，ε是数域K上线性空间U的一组基，η，η，…，η是数域K上线性空间V的一组基，设f：U→V为线性映射，若U上的基向量ε，ε，…，ε的像可由V上的基η，η，…，η线性表出，表示为

（f（ε），f（ε），…，f（ε））=（η，η，…，η）

a

a …

a

a

a …

a

?

a

a …

a令A=

a

a …

a

a

a …

a

?

a

a …

a，

则矩阵A称为f的变换矩阵[2]。

可以看出，通过寻找适合的变换矩阵，能够将一组基变换成另外一组等价的基，然后将其代入原二元二次方程来化简，再与二次曲线的九种类型进行匹配，判断给定的二元二次方程对应的二次曲线类型，从而对二次曲线进行有效分类。

2.2二次型

由线性代数知识[1-3]，任意一种二次型，都可以通过非退化线性变换的方式化成标准型，即化成只含有平方的项，而恰好所有的二次曲线中，除了抛物线外，其余的均只含有平方项与常数项，因此，可以通过将二元二次方程中与上述二次型类似的方程分出来，用二次型化为标准型的方法来处理分类问题。

因为研究的是线性变换在二次曲线分类中的应用，所以，本文只研究基于两个变量的二次型，即方程

f

x，

x=ax+axx+axx+ax （2）

记二次型（2）的系数矩阵为B=

a

a

a

a，显然，可以利用初等变换的方法，将上述系数矩阵B化为对角阵。化简过程如下所示：对B进行初等变换，取C= 1 0

- 1，使得a以下的项均为零，再取C= 1

-

0 1，令C=CC，计算CB=Λ，便可将系数矩阵B化简为对角阵。

3 线性变换在二次曲线分类中应用

3.1用线性变换的方法对二次曲线进行分类

将平面内的坐标系平移，若

x，

y为新系原点，设一个点在旧坐标系里的坐标为（x，y）、新坐标系里该点的坐标为（x′，y′），则有移轴公式为x=x′

+x

y=y′

+y或x′

=x-x

y′

=y-y

如果将坐标系旋转α角，则有转轴公式为

x=x′cosα-y′sinα

y=x′sinα+y′cosα 或 x′=xcosα+ysinα

y′=-xsinα+ycosα

利用上述的移轴、转轴的方法，可以将一般的二元二次方程所对应的二次曲线进行分类。

例如：判断二元二次方程5x+5y-6xy-4=0所對应的二次曲线类型。

解：利用移轴公式，令x=x+x，y=x-x，则原二元二次方程可化简为+x=，容易得知，该二元二次方程所对应的二次曲线是椭圆。

例如：判断二元二次方程xcosα+4xsinα+ysinα+4ycosα-6xysinαcosα=4所对应的二次曲线的类型。

解：利用转轴公式，令x=xcosα-xsinα，y=xsinα+xcosα，则原二元二次方程可化简为x+=1，所以该二元二次曲线所对应的二次曲线是椭圆。

通过上述的三个例题，可以清楚的知道如何运用传统方式和线性变换的方式对二次曲线进行分类。

3.2用二次型的方法对特殊二次曲线进行分类

对于特殊形式的二元二次方程ax+2axy+ay=c（a，a，a，c为常数且a，a，a不同时为零），可以利用线性变换中二次型的方法，将二元二次方程的系数矩阵化为对角矩阵，即将该类型的二元二次方程化简成几个未知量的平方和的形式，通过讨论常数的符号，从而判断其所对应的二次曲线类型。

例如：将二次型f

x，

x=5x+5x-6xx对角化并判断其曲线类型。

解：显然，该二次型的系数矩阵可以表示为A= 5 -3

-3 5，对矩阵A进行初等变换，令C= 1 0

3/5 1，则

CA=5 -3

0 16/5，再令C=1 15/16

0 1，则CCA=5 0

0 16/5，即矩阵A经过两次初等变换可化为对角阵。

再令C=CC，则C=25/16 15/16

3/5 1，可取

x

=

y

+

y

x

=

y

+y，代入原方程，则有f

x，

x=5y+y

若令5x+5x-6xx=c，则该方程可以化为f

x，

x=5y+y=c，显然：当c>0时，该二元二次方程所对应的二次曲线为椭圆。当c<0时，该二元二次方程所对应的二次曲線为虚椭圆。当c=0时，该二元二次方程所对应的二次曲线为点或相交于实点的共轭虚直线。

3.3线性变换分类方法的说明

线性变换的方法进行二次曲线分类的时候，只要找到合适的变换，那么一切都将变得很简单。不过在找合适的线性变换时，有一定的多峰难度，需要善于观察，并拥有一定的知识积累。对于某些特殊形式的二元二次方程，借助线性代数中化二次型为标准型的方法，求出相应的初等变换，而这也是线性变换。相应的，传统分类方法在对二次曲线进行分类的时候，需要考虑的情况比较多，计算也要相对复杂，容易因记不清判别的条件或者弄混判别的条件而导致出错。

4 结语

本文研究了线性变换在二次曲线分类中的应用并举例验证，说明了该方法的可行性。对不同的二元二次方程，究竟应该采用什么样的方法能够又快又准确的进行化简，从而比较有效地判断二次曲线类型，作为线性变换方法是一个值得研究的方向，如果能够做到合理应用，将会使得在对二次曲线进行分类时更具有条理性，不至于因盲目的去尝试化简而导致做过多的不必要工作。

参考文献：

[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数（第三版）[M].高等教育出版社，2003.

[2]于寅.高等工程数学[M].武汉：华中科技大学出版社，2012.

[3]同济大学数学系.工程数学线性代数[M].第五版.北京：高等教育出社，2007.