构造多项式解答竞赛题

2015-12-08卢学谦泰安市第一中学山东泰安271000卢健莱城区羊里中学山东莱芜271118

中学教研(数学) 2015年3期

●卢学谦(泰安市第一中学山东泰安271000)●卢健(莱城区羊里中学山东莱芜271118)

构造多项式解答竞赛题

●卢学谦(泰安市第一中学山东泰安271000)●卢健(莱城区羊里中学山东莱芜271118)

多项式理论是代数学的重要内容.恰当地根据题目的特点构造多项式，然后用一些简单的多项式理论解答竞赛题，往往能起到非常重要的作用.例如，2011年全国高中数学联赛二试中的第2题就构造了一个简单的多项式，其解答令人叫绝，叹为观止.本文通过一些实例进行探究，供读者参考.

1 在组合题中的应用

例1设a1，a2，…，a2011;b1，b2，…，b2011为互不相等的实数，将它们按如下方法填入一张2 011×2 011的方格表中，即在位于第i行与第j列的交叉处的方格中填入数ai+bj.已知表中任一行各数的乘积皆是2 011，证明:表中任一列各数的乘积也是2 011.

证明第i行的各数乘积为(ai+b1)(ai+b2)…(ai+b2011)=2 011(其中i=1，2，…，2 011)，从而a1，a2，…，a2011是多项式

的2 011个相异根，因此该多项式又可表示为

取x=-bk(其中k=1，2，…，2 011)，则由式(1)得

左边恰是表中第k列各数之积，k=1，2，…，2 011.

(1994年中国数学奥林匹克竞赛试题)

证明构造多项式函数f(x)=(1+x)2n+1.一方面，需证等式右边显然是f(x)的n次项系数.另一方面，

当n-k为偶数时，(1+x)(1+x2)n-k中xn-k的系数为;当n-k为奇数时，(1+x)(1+x2)n-k中xn-k的系数为，从而对k=0，1，…，n，在中xn的系数总是，故f(x)的n次项系数为.

例3证明:对任意正整数n，二项式系数Cmn(其中0≤m≤n)中，奇数的个数是2的幂.

证明将n用二进制表示为n=2α1+2α2+…+2αk(其中α1≥α2≥…≥αk)，从而

右边的多项式恰含2k个项，它们的系数为1(奇数).即(1+x)n的展开式中，恰有2k项系数，为奇数.

2 在数论题中的应用

证明注意到m=2·3·4·…2 010+1·3·4·…·2 010+…+1·2·3·4·…·2 009为集合M={1，2，…，2 010}中每次取2 009个元素的乘积之和，故可考虑以1，2，…，2 010为根的多项式

将其展开后，设

其中g(x)=(a1x2008+a2x2007+…+a2009)x.因为2 011为质数，所以当x∈M时，2 011|(x2010-1)(据费尔马小定理).又因为2 011|(2 010!+1)(据威尔逊定理)，且当x=1，2，…，2 010时，f(x)=0，所以当x=1，2，…，2 010时，皆有2 011|g(x)，因此g(x)的所有系数皆是p=2 011的倍数.令ai=pbi，i=1，2，…，2 009，有

(其中p=2 011).由式(3)知，f(2 011)=2 010!;在式(4)中取x=2 011有

由式(5)，得2 0112|a2009;由式(3)知a2009就是f(x)展开式中的一次项系数，即为m，因此可得2 0112|m (注意:本题中的2 011可改为任意奇质数p).

例5对于集合A={a1，a2，…，am}，记P(A)=a1a2…am.设A1，A2，…，An(其中)是集合{1， 2，…，2 010}的所有99元子集，求证:2 011|.

证明构造多项式f(n)=(n-1)(n-2)…(n-2 010)-n2010-2 010!(其中n∈N+).注意2 011为素数，由威尔逊定理知2 010!≡-1(mod 2 011)，又由费尔马定理知当2 011=n时，n2010≡1(mod 2 011)，因此对于每个n∈N+，

1)当2 011=n时，f(n)≡(n-1)(n-2)…(n-2 010)≡0(mod 2 011);

2)当2 011|n时，f(n)≡(n-1)(n-2)…(n-2 010)-2 010!≡2 010!-2 010!≡0(mod 2 011)，即f(n)≡0(mod 2 011)在mod 2 011意义下有2 011个解，而f(n)是一个2 009次多项式，对于每个n∈N+都有2 011|f(n)，故f(n)的各项系数都能被2 011整除.