三角函数、双曲函数及它们的反函数的教学探讨

张平平 徐阳栋

摘要：三角函数与反三角函数均属于基本初等函数，而双曲函数及它们的反函数在工程当中应用非常广泛，因此它们都是一些非常重要的函数。由于三角函数与双曲函数的起源及性质很相似，因此本文欲用类比的方式来阐述三角函数、双曲函数及它们的反函数的相关概念及性质。

关键词：三角函数;双曲函数;反函数

中图分类号：O13     文献标地志码：A     文章编号：1674-9324（2015）24-0185-02

本文从三角函数与双曲函数的起源、三角函数与其反函数的性质及它们之间的关系、双曲函数与其反函数的性质及它们的关系三部分进行考虑。

1 三角函数与双曲函数的起源

对于单位圆周x  +y  =1上的任意一点P（x，y）的坐标x，y分别可以表示成极角θ的余弦与正弦函数，即x=cosθ，y=sinθ。可知θ等于图1阴影部分面积的2倍，同时也等于极角θ所对应的弧长，并把它们的比值tanθ=  及其倒数cotθ=  分别称为正切函数和余切函数，因此三角函数也称为圆函数。

对于标准双曲函数的右支x  -y  =1，x>0上的任意一点Q（x，y）的坐标为x，y。令u等于图2阴影部分面积的2倍，经计算得出x=  ，y=  ，具体的计算过程可参照文献[1]。因此就把函数shu=  ，chx=  分别称为双曲正弦和双曲余弦，并把它们的比值thu=  及其倒数cthu=  分别称为双曲正切与双曲余切。

2 三角函数与其反函数的性质及它们之间的关系

对于正弦函数y=sinx，其定义域为（-∞，+∞），值域为[-1，1]的奇函数，并以2π为最小正周期的周期函数。函数在区间[2kπ-  ，2kπ+  ]上单调递增，在区间[2kπ+  ，2kπ+  ]上单调递减。

由于周期函数并不是单射，因此并没有反函数，但是对其某个单调区间而言，反函数是存在的。把正弦函数y=sinx在单调区间[-  ，  ]上的反函数称为反正弦主值函数，简称为反正弦函数，记为y=arcsinx。由原函数与其反函数的关系可知：反正弦函数y=arcsinx的定义域为[-1，1]，值域为[-  ，  ]，单调递增的有界函数。

对于余弦函数y=cosx，其定义域为（-∞，+∞），值域为[-1，1]的偶函数，并以2π为最小正周期的周期函数。函数在区间[（2k-1）π，2kπ]上单调递增，在区间[2kπ，（2k+1）π]上单调递减。

类似地，把余弦函数y=cosx在单调区间[0，π]上的反函数称为反余弦主值函数，简称反余弦函数，记为y=arccosx。由原函数与其反函数的关系可知：反余弦函数y=arccosx的定义域为[-1，1]，值域为[0，π]，单调递减的有界函数。

类似地可以讨论正切与其反函数，余切与其反函数的相关性质。

三角函数之间主要有以下一些关系：

tanx=  ;cotx=  ;

sin（x+y）=sinxcosy+cosxsiny;

sin（x-y）=sinxcosy-cosxsiny;

cos（x+y）=cosxcosy-sinxsiny;

cos（x-y）=cosxcosy+sinxsiny;

sin  x+cos  x=1.

3 雙曲函数与其反函数的性质及它们的关系

对于双曲正弦函数shx=  ，其定义域为（-∞，+∞），值域为（-∞，+∞）的奇函数，并在区间（-∞，+∞）上单调增加。当x的绝对值很大时，它的图形在第一象限内接近于曲线y=  e  ，在第三象限内接近于曲线y=-  e  。

由于双曲正弦函数是单调函数，因此存在反函数。经计算很容易得到其反函数的表达式，并记为arshx=ln（x+  ），称为反双曲正弦函数。由反函数与原函数的关系可知：反双曲正弦函数y=arshx的定义域和值域均为（-∞，+∞）的奇函数，且在（-∞，+∞）上单调递增。

对于双曲余弦函数y=chx=  ，其定义域为（-∞，+∞），值域为[1，+∞）的偶函数。在区间（-∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增，当x的绝对值很大时，它的图形在第一象限内接近于曲线y=  e  ，在第二象限内接近于曲线y=  e  。

由于双曲余弦函数是偶函数，而偶函数不是单射，因此并不存在反函数。但是对其某个单调区间而言，反函数是存在的。把双曲余弦函数chx=  在单调区间[0，+∞）上的反函数y=ln（x+  ）称为反双曲余弦的主值，简称反双曲余弦，记作y=archx。由原函数与反函数的关系可知：反双曲余弦函数y=archx的定义域为[1，+∞），值域为[0，+∞）的单调递增函数。

类似地可以讨论双曲正切与其反函数及双曲余切与其反函数的相关性质。

与三角函数类似，双曲函数之间也有以下一些关系：

thx=  ;cthx=  ;

sh（x+y）=shxchy+chxshy;

sh（x-y）=shxchy-chxshy;

ch（x+y）=chxchy+shxshy;

ch（x-y）=chxchy-shxshy;

ch  x-sh  x=1.

4 总结

从三角函数的由来知道，其自变量是极角，也可以看成是弧长，因此三角函数的反函数就是在其相应的三角函数前加“arc”来表示。而双曲函数的自变量就是图2阴影部分面积的2倍，是面积的函数，“area”表示面积，因此双曲函数的反函数就是在其对应的双曲函数前面加“ar”来表示，详细的内容可参考文献[2]。

由于三角函数与双曲函数有类似的由来，因此它们的一些性质和关系也会有点相似，而三角函数大家可能相对来说比较熟悉，因此可以用一些类比的方式来方便记忆，但一定要注意区别，并用PPT放映各函数的图像以帮助学生更好地理解与记忆这些函数的性质。

参考文献：

[1]史志云，高月秋.双曲函数的由来和几何意义[J].高等数学研究，1996，（3）：3-5.

[2]徐裕生.反双曲函数符号的含义[J].高等数学研究，1996，（3）：5.

[3]同济大学数学系.高等数学[M].第六版.北京：高等教育出版社，2006.