相对阶状态反馈补偿控制器研究及设计

任一峰，李 娜，王晋军

（中北大学 计算机与控制学院，山西 太原030051）

0 引 言

对一类具有模型不确定、时变、非线性特性的受控对象，在复杂外扰动条件下实施有效的控制，是控制理论和控制工程都十分重视的问题.非线性控制理论成果研究及应用化设计，对于提高工业控制器性能水平具有十分重要的意义.中科院韩京清教授研究的自抗扰控制器（Active Disturbance Rejection Control，ADRC），正是这种典型的面向实际应用的控制技术［1］.ADRC利用跟踪微分器跟踪输入、输出信号及其微分，并将各种不确定的对象特性和外部扰动作为扩张状态进行观测估计，最后通过非线性组合形成控制律.大量的实际应用表明，自抗扰控制器具有稳定域宽，鲁棒性好，控制精度高等优良性能，得到业界广泛的认同［2-3］.

但在实际应用中，自抗扰控制器也遇到一些技术上的问题，特别是它需要整定大量控制器参数.一个常规二阶ADRC，总共需要确定14个参数的数值，对于高阶的ADRC还需要整定更多的参数.如何简化整定过程，一度成为ADRC控制研究的一个热点.参数整定的复杂性，实际上限制了这种先进控制器在工业控制领域的推广和应用.

在实际应用中会发现，大多数控制对象结构虽然具有高阶细节性模型的不确定性，但受控对象的近似数学模型可以得到，且对象的部分状态量可以量测.模型信息和状态量的丰富使控制方法更加透明和开放，从而找到理论上更完善、设计方法更便捷的自抗扰控制结构.相对阶状态反馈补偿控制正是这方面研究的一个成果［4-5］.

1 相对阶状态反馈补偿控制

相对阶的概念最初出现在线性系统的解耦理论，但后来在非线性控制系统的精确线性化方法中受到了人们更多的重视.相对阶是系统特征量之一，这种特征体现在状态反馈下相对阶具有不变性，而对象的阶次则没有这个性质［6-7］.

具有相对阶的单变量的仿射非线性系统表达如下

式中：n为状态向量的维度；f（x），g（x），h（x）在f，g∈Cp（Rn，Rn），h∈Cp（Rn），p（为正整数）区间均为连续可导函数.

若系统相对阶r已知，且输出变量y（t）到r-1阶可导，则据微分几何理论［8-9］，可构造r个变换和n-r个辅助变换将系统化为标准型

式中：z=（z1，…，zr）T，w=（w1，…，wn-r）T，a（z，w），b（z，w）和c（z，w）由f（x），g（x），h（x）及φi（x），i=1，…，n获得.

系统的预期动力学方程为

式中：h0，h1，…，hr-1为预期方程参数.根据系统动态、稳态控制指标，可以确定hi（i=1，…，r-1）的数值.

基于受控对象式（2）和预期动力学方程式（3）参数，可构造状态反馈补偿控制如下

式中：k0，k1，…，kr-2为任意常数，kr-1=sgn（b（z，w））μ，μ为一待选的正数，系统的稳定性取决于μ的选取.其控制结构如图1所示.

图1 相对阶状态反馈补偿控制结构图 Fig.1 Rrelative degree state feedback compensation control structure

李雅普诺夫第二法稳定判据可以证明，若存在常数μ＊＞0，当满足μ＞μ＊时，控制器与对象构成的闭环系统渐进稳定.

2 基于倒立摆系统的状态反馈补偿控制器设计

单级倒立摆系统数学模型及仿真模型如下［10-11］

根据实物选取［12］

在单级倒立摆系统中位移和角度方程相对阶均为二阶，所以分别设计两个二阶控制器.由（4）设计二阶状态反馈补偿控制器为

根据式（6）分别构造位移控制器（TC）和角度控制器（TC1），并构成系统的控制仿真模型如图2所示.

图2 倒立摆控制系统的仿真模型 Fig.2 Simulation model of inverting pendulum control system

根据预期输出指标要求，首先确定位移控制器的h指标：h0=140.1，h1=129.98；角度控制器的h指标：h10=29.1，h11=11.12.

实际上，每个二阶控制器真正需要整定的参数只有两个k值.在分析参数对系统性能的影响的基础上，利用Signal Constraint模块对参数进行优化，得到：k0=0，k1=1.47，k10=0，k11=9.998.

以下通过仿真实验，将相对阶状态补偿控制器与几种常用的高性能控制器的动态性能、抗干扰以及鲁棒性能进行比较［13-15］.

3 仿真结果

3.1 动态性能

为方便进行比较，以下各控制器参数经过Signal Constraint模块动态优化，确定为最佳参数组.在加入位移单位脉冲激励以后，各受控系统的摆杆角度响应如图3所示.

图3 摆杆动态响应图 Fig.3 Dynamic response of pendulum angle

结果表明：超调量从LQR与PI复合控制的12%，模糊控制的9%，降低到相对阶状态反馈补偿控制的2.3%，调节时间从4 s降低为2.5 s.相对阶状态反馈补偿控制的整体动态性能是这几种控制器中最优的.

3.2 抗干扰性

当系统受到扰动作用时，对输出端的直接影响，也反映了控制器的性能差异.现在受控对象加入相同的随机干扰信号，比较复合控制、模糊控制和相对阶状态补偿控制三种情形，仿真结果如图4所示.

仿真结果表明，模糊控制摆动的最大扰动输出为0.1，LQR与PI复合控制的最大扰动输出为0.05，而相对阶状态补偿控制的最大扰动输出为0.005，抗扰指标相差一个数量级以上.

图4 扰动系统的控制仿真曲线 Fig.4 Simulation curve of disturbance control system

3.3 鲁棒性

为验证控制器的鲁棒性能，增加摆杆质量为原来质量的1.5倍，并不改变控制器的参数值.仿真结果如图5所示.

结果表明：在受控对象质量参数发生大幅变化时，在不改变控制参数的情形下，摆杆控制的调节时间和超调量基本不变，控制系统具有很好的鲁棒性能.

图5 对象结构参数发生改变时摆杆控制结果比较 Fig.5 Pendulum control results for the changed object structure parameter

4 结 语

本文在相对阶状态反馈控制理论分析的基础上，以倒立摆系统为控制对象，设计了相对阶状态反馈补偿器，仿真实验表明：基于相对阶的状态反馈补偿控制器相对复合控制器和模糊控制器，其超调量降低为2.3%，调节时间降低为2.5 s，动态性能明显优于两种参照控制器.抗干扰性能与参照控制器相比，也提高了一个数量级.同时，它还具有十分突出的鲁棒性能，在受控对象结构参数变化达到150%时，控制器效果基本不变.鲁棒性能已接近于其它文献中自抗扰控制器的鲁棒性能仿真结果［5］，但相对阶状态反馈补偿控制器和常规自抗扰控制器比较，由于调整参数少，整定规律简单易行等特点，在工程中具有更高的实用价值.

［1］韩京清.自抗扰控制技术［J］.前沿科学，2007，1（1）：24-31.Han Jingqing.Auto disturbances rejection control technique［J］.Frontier Science，2007，1（1）：24-31.（in Chinese）

［2］高志强.自抗扰控制思想探究［J］.控制理论与应用，2013，30（12）：1498-1510.Gao Zhiqiang.On the foundation of active disturbance rejection control［J］.Control Theory ffApplications，2013，30（12）：1498-1510.（in Chinese）

［3］张超，朱纪洪，高亚奎.自抗扰控制器的阶次与参数的选取［J］.控制理论与应用，2014，31（11）：1480-1485.Zhang Chao，Zhu Jihong，Gao Yakui.Order and parameter selections for active disturbance rejection con-troller［J］.Control Theory ffApplications，2014，31（11）：1480-1485.（in Chinese）

［4］Ren Y，Zhou J.Comparative study on two types of nonlinear controller which based on extended state observer［C］.Information Technology and Artificial Intelligence Conference（ITAIC），6th IEEE Joint International.IEEE，2011，1：496-499.

［5］武利强，韩京清.直线型倒立摆的自抗扰控制设计方案［J］.控制理论与应用，2004，21（5）：665-669.Wu Liqiang，HanJingqing.Active disturbance rejection controller scheme for the linear inverted pendulum［J］.Control Theory ffApplications，2004，21（5）：665-669.（in Chinese）

［6］解学军，高丽君.相对阶n=3系统的鲁棒直接型模型参考自适应控制［J］.控制理论与应用，2005，22（5）：699-702.Xie Xuejun，Gao Lijun.Robust direct model reference adaptive control for the plants with relative degree n=3［J］.Control Theory ffApplications，2005，22（5）：699-702.（in Chinese）

［7］Menini L，TornambèA.High-gain observers for nonlinear systems with trajectories close to unobservability［J］.European Journal of Control，2014，20（3）：118-131.

［8］葛友，李春文，孙政顺.逆系统方法在电力系统综合控制中的应用［J］.中国电机工程学报，2001，21（4）：1-4.Ge You，Li Chunwen，Sun Zhengshun.Application of inverse system method for power system integrated control［J］.Proceedings of the CSEE，2001，21（4）：1-4.（in Chinese）

［9］张园，孙明玮，陈增强.基于扩张状态观测器的广义预测控制［J］.系统科学与数学，2014，34（11）：1366-1378.Zhang Yuan，Sun Mingwei，Chen Zengqiang.Generalized predictive control algorithm based on extended state observer［J］.Sys.Sci.ffMath.Scis，2014，34（11）：1366-1378.（in Chinese）

［10］栾迪.二级倒立摆最优控制实验［J］.佳木斯大学学报（自然科学版），2014，32（3）：415-417.Luan Di.The optimal control experiments of double inverted pendulum［J］.Journal of jiamusi University（Natural Science Edition），2014，32（3）：415-417.（in Chinese）

［11］何俊强，任开春，武明亮.基于PSO的二级倒立摆LQR最优控制器设计［J］.工业控制计算机，2010，23（6）：56-58.He Junqiang，Ren Kaichun，Wu Mingliang.PSO based LQR optimal controller design for double inverted penduium［J］.Industrial control computer，2010，23（6）：56-58.（in Chinese）

［12］刘翔，王中杰.基于嵌入式控制器的直线倒立摆最优控制研究［J］.中国科技信息，2014（6）：134-137.Liu Xiang，Wang Zhongjie.Research on an optimal embedded control system of linear inverted pendulum［J］.China Science Technology Information，2014（6）：134-137.（in Chinese）

［13］Tufan Kumbasar.A simple design method for interval type-2 fuzzy pid controllers Soft Computing［J］.Springer，2014，18（7）：1293-1304.

［14］王海英，李红文，贾金林，等.基于遗传算法的环形二级倒立摆LQR控制［J］.中北大学学报（自然科学版），2010，31（2）：133-135.Wang Haiying，Li Hongwen，Jia Jinlin，et al.LQR control of circular-rail double inverted pendulum based on genetic a lgorithm［J］.Journal of North University of China（Natual Science Edition），2010，31（2）：133-135.（in Chinese）

［15］郑海平，钟晨星，吴利平，等.基于增益调度型参数自调整的倒立摆模糊控制［J］.华中科技大学学报（自然科学版），2013，41（Z1）：5-8.Zheng Haiping，Zhong Chenxing，Wu Liping，et al.Fuzzy control based on parameter self-tuning with gain scheduling for an inverted pendulum［J］.Hua zhong Univ.of Sci.ffTech.（Natural Science Edition），2013，41（Z1）：5-8.（in Chinese）