高中数学概念教学的现状分析及对策研究

2015-11-30陈燕锋杭州市萧山三中

散文百家 2015年7期

陈燕锋杭州市萧山三中

高中数学概念教学的现状分析及对策研究

陈燕锋
杭州市萧山三中

一、高中数学概念教学的现状分析

当前，不重视概念教学是一个比较普遍的现象，“一个定义，三个注意项”式的概念教学比比皆是，让学生觉得学习数学概念枯燥乏味，影响了对数学概念的理解。先看我校高一备课组举行的“同课异构”教研活动中两位教师执教的关于“函数的奇偶性”一课的案例片断。

【教师甲】

师：前面我们研究了函数的单调性，同学们已经知道函数的单调性是函数的一个重要性质，它在解决函数的问题中有着十分广泛的应用。今天这节课，我们要学习函数的另一个重要性质——奇偶性。（板书课题：函数的奇偶性）

师：什么是函数的奇偶性呢？请大家打开课本第33和35页，看教材中是怎么阐述的。（大约2分钟后）

师：哪位同学说说看。

生1：设函数y=f（x）的定义域为A，如果对于任意的x∊A，都有f（-x）=f（x），那么称函数y=f（x）是偶函数，如果对于任意的x∊A，都有f（-x）=-f（x），那么称函数y=f（x）是奇函数。（学生口述，教师板书）

师：很好！如果函数y=f（x）是奇函数或偶函数，它的定义域A应该具有怎样的特点？

生2：关于原点对称。

师：说说你的理由。

生2：因为如果x∊A，则只有-x∊A，才能计算f（-x）。

师：真不错！如果函数y=f（x）是奇函数或偶函数，它的图象又具有怎样的特点呢？

生3：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。

师：非常好！看来同学们已经作了很好的预习。如果函数y=f（x）是奇函数或偶函数，我们就说函数y=f（x）具有奇偶性。函数的奇偶性是函数的又一重要性质，它在解决函数问题时有着十分广泛的应用。请大家看下面的问题。（投影显示问题1、问题2、问题3和问题4）

（师生共同探讨上述问题的解题思路和解题过程，深化对函数奇偶性的认识和理解。）

【教师乙】

师：请同学们回顾上节课学习的函数单调性的定义、单调区间及判断函数单调性的方法。

（学生回答略）

师：很好！下面我们研究函数的第二个性质——奇偶性。

师：请同学们先看一个我们熟悉的函数f（x）=x2，计算f（1）与f（-1），f（2）与f（-2），f（3）与f（-3），能得出怎样的结论？

生：对于y=x2，当自变量取一对相反数时，y取同一值.f（x）= y=x2记，有，一般地，有f（-x）=-f （x）。

由此启发学生得出奇（偶）函数的定义.强调：①定义本身蕴含着函数的定义域必须是关于原点的对称区间；②“定义域内任一个”是指对定义域内的每一个x；③判断函数奇偶性最基本的方法是先看定义域，再用定义检查f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f （x））。

（以下是例题巩固、数学应用的环节）

从上面两个案例不难看出当前概念教学的现状：

现状一：一个定义三项注意

教师甲从上课开始到给出定义，总共花了不到10分钟的时间，接着进行运用函数奇偶性的概念进行解题的训练。对函数奇偶性这一概念建立的过程没有很好地展开，为什么要研究函数的奇偶性？函数的奇偶性的定义为什么要这样给出？…课堂中，教师不舍得在概念、定义的发生发展过程上花时间，认为这样“太虚”，不如让学生多做几个题目实在。因而概念教学常常用“一个定义三项注意”的方式，告诉学生定义的内容，强调几个注意事项，然后就讲例题、做练习。实践表明，这样的教学结果只能是机械模仿，不可能有理想的解题质量和效率。

现状二：无视学生认知需求

教师乙让学生通过对两个特殊函数的研究，抽象出函数奇偶性的概念，符合特殊到一般的认知规律。但是，为什么要研究函数的奇偶性？为什么要计算f（1），f（-1），…？为什么要用这样的方式给出函数奇偶性的定义？显然，教师在进行教学设计和过程实施时，只是为了教而教，无视学生的认知需求，其结果是忽视了构成概念的基础条件，留给学生更多的只是些文字和公式，所传授的概念距离学生的理解和经验太远，影响数学概念的掌握。

二、高中数学概念教学的对策研究

在概念的教学中如何引导学生自主建构，提高概念外化与内质抽象的思维质辨力度呢？为此，笔者尝试在概念形成的不同阶段，选择运用不同的教学策略，供大家参考。

对策1：创设情境，感知概念

概念的感知是形成概念的前提，学生对数学概念的感性认识是通过教师的直观教学方法获得的。概念的引入是概念教学的关键，概念是抽象的、概括的，每一个概念的产生都有丰富的知识背景，形成准确概念的首要条件是要让学生获得十分丰富和合乎实际的感性材料，在概念教学中，可以根据概念和学生的认知特点，创设数学概念形成的问题情景，体会到数学概念引进的必要性和必然性，让学生有自己发现的感觉，帮助学生完成从感性认识到理性认识的过渡。

【案例1】“n次独立重复实验”的概念教学片断问题情境设计：

用动画创设情境，丙丙和丁丁在公园里种了8棵树，假设每棵树的成活率都为0.75，请思考以下两个问题：（1）他们种的第一棵树的成活和第二棵树的成活相互之间有没有与影响？8棵树各自的成活与否相互之间有没有影响？（2）所种的每一棵树，可能出现哪些不同的结果？

进一步创设情境，对比分析，感知概念。

在下列试验中，与丙丙和丁丁种树试验具有共同特征的有（）

①某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次。

②姚明罚球的命中率是0.9，他连罚3次。

③一枚硬币连续扔5次。（5枚硬币一起扔出）

④袋中5个白球，3个红球，有放回取球，每次取一个，连续3次。

⑤袋中5个白球，3个红球，无放回取球，每次取一个，连续3次。

点评：通过以上情境设置，学生思考，教师引导感知，形成概念。师生共同归纳得出现象的共同点：在同样条件下重复的进行的一种试验；各次试验之间相互独立，相互之间没有影响；每一次试验只有两种结果，即某事发生或不发生，并且任意一次试验中发生的概率都是一样的，揭示概念。

【感悟】教学时不要生硬地抛出概念，让学生死记硬背，应从实际出发，创设情景，提出问题，通过与概念有明显联系、直观性强的例子，使学生在对具体问题的体验中感知概念，形成感性认识。比如；我们在讲圆柱、圆锥、球的概念时，由于圆柱、圆锥、球属于三维图形，用平面直观图难免会造成视觉上的失真，我们可以借助教具、利用几何画板动画展示帮助学生理解，让学生在活动中思考、感悟和体验数学知识的萌芽以及发生、发展的全过程，从而丰富学生的认知结构。

对策2：自主探索，生成概念

概念的生成过程教学就是让学生参与和经历概念生成的整个思维过程。因此，在教学中，恰当的进行教学设计，充分展示数学知识的形成过程，让学生弄清概念的来龙去脉，认识它的必要性和合理性，让学生在体验中自主探究，生成概念，概念在其生成的过程中逐渐明朗化，可以更好的帮助学生深化对概念的理解，培养学生运用概念的意识和能力。

【案例2】“抛物线及其标准方程”概念教学片段

第一步：在学生已有认知基础上设计问题，使学生体验新概念的一个具体背景。

师：前面我们已经学习了椭圆和双曲线的有关知识，请同学们试解决下面问题：

（学生思考并动笔，教师巡视，个别指导。）

生1：我利用平方化简，但还没有做出来。

师：该同学平方化简，肯定可以得到答案，只是还需要一些时间，相信他一定能成功。

生2：上面式子表示两点距离之和，根据椭圆定义可知，点轨迹是椭圆。

（学生纷纷表示生2的解法是正确的）

（学生认为是双曲线）

师：是双曲线吗？

生3：应该是双曲线的上半支。（由于第1题的解决对第2题有着提示和启发作用，所以第2题几乎所有学生都不再化简了，自然地联想到利用定义的解法中来，于是教师顺势抛出第3题。）

生4：从条件的含义看，似乎不是椭圆，也不像双曲线。

师：到底轨迹是什么，生1解问题1的方法会给我们很好的启示。

（学生再次化简，片刻后，一直得到的轨迹是抛物线，因为它的方程是初中已经学过。）

第二步：剖析问题3条件的几何意义，并推出是否具有一般性的结论。

师：若把条件中的“2”改成其他数字（非零），结果如何？

生5：轨迹仍然是抛物线，只是方程中的数字不同而已。

师：那么条件所表示的几何意义又是什么呢？

第三步：类比推广，从具体实例中抽象出抛物线的概念。

师：从问题3的分析中我们可以看出，满足这些条件的轨迹都是抛物线。于是我们抛弃这些具体的位置和数据外壳，得出抛物线的定义。请哪位同学根据上面的等式，说出抛物线的定义。

生7：到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。

师：不太准确，应该是在“平面内”，接下来我们再用动画来演示一下这个定义下的轨迹

……

点评：本案例从学生已有知识出发，由易到难设计了3个问题，让学生在问题解决的过程中自主探究，对比发现，逆向生成抛物线的定义，再结合多媒体动画演示，同学们经历了一次“发现”，“创造”的过程，给学生留下较深刻的印象，对此概念的理解也将更准确更深刻。

【感悟】在教学中需要教师通过问题努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，问题可以把学生带入“愤”与“悱”的境地，帮助学生自主探究，理解数学概念的生成过程。

对策3：步步为营，理解概念

学生对数学概念的理性认识是否初步形成，首先反映在对该概念的定义是否理解。学生认识事物的过程，总是从具体到抽象，从个别到一般，这也是人类认识事物的规律，因此，我们要遵照这一规律，通过问题串的设计，引导学生辨析，解剖概念，从而理解概念的内涵和外延。

【案例3】函数周期的理解

函数的周期性和最小正周期是学生难以理解的概念，在学生了解其概念后，为了帮助学生准确把握函数的函数周期性和最小正周期的外延，我设计了以下问题链，让学生讨论：

（1）函数y=a（a为常数）是周期函数吗？y=a（a≠±2）呢？y=呢？

（2）函数y=sinx，x∊[-2π，+∞）是周期函数吗？最小正周期是多少？

函数y=sinx，（x∊R且x≠kπ）呢？

（4）作出函数y=sinx，x∊[-2π，3π）与y=sinx（x∊R）的图像。

点评：通过上述问题的研究，可以帮助学生弄清以下问题：（1）周期函数定义域的结构特征；（2）最小正周期的存在状况；（3）周期函数函数值的分布规律；（4）周期函数的图像特征.在此基础上，学生才能真正弄清周期函数、最小正周期的概念，

【感悟】在概念形成后，如何让学生深入理解概念，在教学中，可以结合具体的事例诠释概念的内涵与外延。这里既可以设计“形似而神非”的个案来校正；也可以巧设“问题链”。在对“问题链”的辨析中，通过归纳、抽象、概括、提炼，循序渐进，步步紧逼，使学生的认识结构从“了解”上升到“理清并掌握”的层面，让学生经历着好奇、惊喜、迷惑、困顿，最后茅塞顿开，使学生体验一个‘自我否定’的过程，从而唤醒学生的悟性和灵感，以达到对数学概念真正的理解。

对策4：螺旋上升，内化概念

教师在平时教学中，要在挖掘新概念的内涵与外延的基础上，让学生理解并巩固概念。有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因，很难一步到位，需要分成若干个层次，逐步加深提高。

【案例4】“曲线与方程”教学片断

在得出“曲线与方程”的关系后，如何进一步理解“曲线的方程”与“方程的曲线”这些概念的本质，进一步体验“数”与“形”的转化与结合的思想方法。为此，教学中使用下面的例子，设计问题启发学生思考，从正、反两方面认识一般

例1下列哪条曲线是方程x= ■1-y2的曲线？请说明理由。

例2下列哪个方程是下图中曲线C（两条相交直线：第一、三象限的直角平分线，第二、四象限的直角平分线）的方程？请说明理由。

A.x-y=0

B.x+y=0

C. x3-x2-xy2+y2=0

D.x2-y2=0

【感悟】一个概念的形成往往是螺旋式上升的，逐步深化的，一般要经过具体到抽象，局部到整体，感性到理性的过程。教学中设计一些反例，让学生通过正、反例的对比辨析、鉴别真伪，从不同角度来认识定义文字所隐含的内容，从而达到“有比较才能鉴别，有鉴别才能深化认识”的学习效果。

对策5：返璞归真，升华概念

任何一门艺术的最高境界就是“返朴归真”，张奠宙先生曾经说过：“数学教学的有效性关键在于对数学本质的把握、揭示和体验”。这种“对数学本质的把握、揭示和体验”只有在应用中才能得到验证，在应用的同时使得概念学习得到“升华”，从而让学生的思维变得更开阔，更活跃，更富有活力。

【案例5】“古典概型”习题课教学片断

问题：某信鸽训练场向甲、乙两林区放飞4只鸽子，则甲林区刚好有一只鸽子的概率是多少？

生1：甲乙两林区的鸽子数如右图，甲林区刚好有一只鸽子是五种情形中的一种，故所求概率为1/5。

（显然，该生错在对“等可能事件”的理解上，而且存在这种错误理解的可能不止少部分学生，鉴于此，我并没有立即评价，而是让学生继续考虑还有什么思路？略停一分钟）

生2：每只鸽子有两种放飞途径，共有24=16种放飞方式，而甲林区有一只鸽子的方式只有4种。

故，所求概率为1/4！。（这时候学生发现两个结论不一致！）

针对以上两个结论，组织学生展开讨论：

师：上述两种思路，你能确定哪一种是错误的？

生齐答：第一种！

师：为什么错？

生：（无语）

师：那我们分别按方法2的思路研究其它四种情形发生的概率：

师生共同讨论产生下表：

甲林区鸽子数乙林区鸽子数0 4 1 3 2 2 3 1 4 0

情形甲林区鸽子数乙林区鸽子数发生的概率1 0 4 1/16 2 1 4/16 3 2 2 6/16 4合计1 4/16 5 4 0 1/16 3 1 3

这时学生恍然大悟：情形1 ～5不是等可能事件，当然概率不是1/5！

【感悟】以上过程让学生更深层地领会到等可能事件发生的意义，在应用中学生对“等可能事件”的认识升华。数学概念的教学如果仅仅停留在记忆的层面上肯定不够，还必须上升到抽象层面去理解应用，在应用中将抽象的定义转换为具体的形态，让学生领会数学概念才是数学解题的“灵魂”，引导学生感受和领悟隐含于概念形成中的思想方法，在概念的运用和推广中渗透数学思想方法，这才是概念生成的核心。