把握数学本质 促进有效建模

许敏芳

《数学课程标准（2011版）》将模型思想作为十大核心概念之一，同时强调：“从学生已有的经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象为数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。”[1]在小学阶段渗透建模思想已显得越来越重要。如何在数学教学中渗透模型思想，帮助学生有效建构数学模型？下面结合具体的教学实例谈谈笔者自己的看法。

一、 在现实生活中寻找知识本源

数学源于生活。因此，要帮助学生有效建模，就要从学生的生活经验出发，联系生活实际，为学生创设生动有趣的情境，把生活经验数学化、数学问题生活化，让学生深刻地体会到生活离不开数学。

以《认识方程》的教学为例。教材例题呈现了5幅天平不同的平衡情况。并且在例题1中提出了：你会用等式表示等式两边物体的质量关系吗？方程首先是等式，等式是理解方程的基础，是新知识的“生长点”。等式在变化的过程中始终要保持相等才能发现其性质。而从学生的认知经验来看，他们对等式的理解并不到位，此时提出这个问题显得有些突然。导致例题2中几个式子的得出也是“依葫芦画瓢”。虽然接下来通过几个式子的比较和分类，学生也能得出方程的概念，但这样的理解是牵强的。因为方程作为刻画现实世界已知数量和未知数量相等关系的数学模型，是小学生在数学知识、思想方法与思维方式上的一次飞跃。作为一个关键节点的知识，仅靠分类是远远不能构建起方程模型的。

出示一架天平，并且在天平两边同时放上20克的砝码。要求学生用自己喜欢的方式表示出天平的平衡情况。学生想到的表示方法有以下几种：

师：这几种方法都不错，他们之间有没有联系呢？

生：其实第三种方法中的等号就和前面的横线、箭头一样，都表示天平两边是平衡的。

师：哪种比较简洁呢？

生：第三种。

师：（左边放20克和30克的砝码各一个，右边放一个50克的砝码）现在你还能表示吗？

生：20+30=50

师：这里的“=”号让你想到了什么？

生：我觉得它可以用箭头表示，也可以用横线表示。总之，它是反映天平两边平衡状态的。

师：你能根据60=20+40想象一下天平的状态吗？砝码是怎么摆的？30+X=80呢？

生：我还觉得60=20+40中的60就相当于天平左边的质量，20+40就相当于天平右边的质量。现在这架天平是平衡的，所以可以用等号连接起来。30+X=80中天平左边有一个砝码不知道重量，所以用X表示，但是这个天平还是平衡的。

师：像这样能表示天平两边平衡的式子，我们把它叫做等式。

学生在以往的学习中，都是将等号作为一种表达运算结果的程序性符号。因此他们就很难理解20+30=50这样的等式中，等号所表达的“平衡”的意义。对于等号意义的理解就成了学生认知上的“拐点”。而天平作为一个知识的“原型”，能够很好地让学生感受到这种“平衡”的关系。相比教材上的情境图，真正的天平观察起来更清楚，而且极大地激发了学生的兴趣。教师在这里借助直观形象的物体，抓住知识的本源，引导学生在知识和原型之间切换，有效地帮助学生理解了等式的含义，为建构方程模型奠定了基础。

二、 在数形结合中厘清数量关系

数量关系作为数学模型的一种，在解决问题过程中有着非常重要的作用。实践表明，只有积累必要的数量结构，才能使学生在获取信息后形成解题思路，学会解决问题，并把零散的知识汇编成系统的网络，从而顺利地选择合理的解决问题的方法，有效提高学生解决问题的能力。

以《解决百分数实际问题》教学为例。传统教学中，教师一般通过例题的简单讲解，很快总结出：“单位‘1’的量×对应分率=对应量”“对应量÷对应分率=单位‘1’的量”等数量关系。这样就容易导致学生死扣解题类型而不去思考其中的数学意义，思维空间就被大大缩小了。虽然发展了学生的解题技能，但没有发展学生的数学理解和思考能力。这样的教学没有对实际问题的数学抽象，更谈不上对数学模型的意义建构，当然也就不可能去解释和应用新情境下的实际问题。

出示第一组题，要求学生根据题意画出线段图。

1.一种商品原价250元，现价是原价的80%。现价多少元？

2.一种商品原价250元，现在降价20%。现在比原来便宜多少元？

3.一种商品原价250元，现在降价20%。现价多少元？

（出示学生所画的线段图）

师：通过这几幅线段图你发现了哪些数量关系呢？

生 ：原价×80%=现价， 原价×20%=现价比原价降低的部分，原价×（1-20%）=现价。

师：这三道题有什么联系和区别呢？

生：这三道题的单位“1”都是一样的。而且线段图的画法也一样：都是把原价平均分成5份，现价相当于这样的4份，降价的部分相当于这样的1份。

出示第二组题：

1.一种商品售价200元，只相当于原价的80%。原价多少元？

2.一种商品售价200元，比原价降低了20%。原价多少元？

3.一种商品售价200元，比原价降低了20%，降低了多少元？

（学生自主画图）

师：那么这组题和前面一组有什么联系和区别呢？

生3：通过线段图我们可以看出，这两组题的单位“1”和数量关系是完全一样的。不过前一组题的单位“1”是已知的，所以直接用乘法计算。后一组题单位“1”是未知的，所以要用方程。

生4：后一组题在画线段图时要注意条件和问题变了，还要注意题中数量和分率之间的对应。

数与形的结合可以把复杂的数量关系表示出来，使复杂的问题简单化，抽象的问题形象化。通过两个题组的比较，教师引导学生从线段图上分析、概括数量之间的本质关系，把原型问题抽象成纯数学结构，从而概括出百分数实际问题数量关系的模型。经过这样的“梳理”与“整合”，学生把思考情境中的实际问题与数学意义相联系，并经历一个思考与再创造的过程，在这一过程中获得实质性的模型建构，实现了数量关系结构化的迁移，同时有效提高了解决问题的能力。

三、 在多元表征中丰富概念意象

郑毓信教授在《小学数学概念和思维教学》中提出了“概念意象”的观点，同时指出：“要帮助学生学会在概念意象的不同成分或同一概念的不同心理表征之间灵活地实现转换，能对概念的严格定义与其原有的经验和知识做出必要的整合”[2]。在概念教学中，要结合生活实际，引导学生经历观察、实验、操作、归纳等活动，在概念的形成过程中不断帮助学生建立丰富的概念意象，建构概念模型。

以《认识公顷》教学为例。跟以往学过的平方米、平方分米等小面积单位相比，学生无法在生活中直接找到公顷的概念原型。因为缺乏直观的表象支撑，所以比较抽象。那么，如何帮助学生理解概念？

（课前教师先带领学生走出教室，走上操场，开展以下活动。一是在100米的直跑道上走一走，感受一下100米有多长。二是在长100米、宽50的长方形活动场上跑一圈，感受这个活动场有多大。三是28个同学手拉手围成一个边长约10米的正方形，观察这个正方形的大小。）

师：边长是100米的正方形面积就是1公顷。你能根据课前的活动谈谈自己的感受吗？

师：回顾一下我们学过的面积单位。

师：观察这张图，你有什么想说的？

生1：我发现，边长扩大10倍，面积就要扩大100倍；边长扩大100倍，面积就扩大10 000倍。

生2：我们以前学过的面积单位，相邻两个单位进率都是100，但平方米到公顷进率是10 000。

生3：我觉得如果在平方米和公顷之间添上一个单位，那么每相邻两个单位的进率就一样了。

师：你的猜想很有道理。确实，在平方米和公顷之间还有一个面积单位。还记得我们课前28个同学手拉手围成的正方形吗？这个正方形的边长大约是10米，面积是100平方米。在国际上把这样的正方形面积叫做1公亩。虽然在我们国家这个单位不常用，但我们不妨了解一下。

教师在构建概念模型的过程中，从数学知识结构和儿童的数学认知结构出发，首先在课前引导学生参与具体的数学实践活动，初步建立概念的直观表象。接着对各面积单位之间的关系比较对照，使学生对概念的认识经历了从生活到数学，从线到面的过程，对概念的认识更加丰满。同时通过对“公亩”这个“中介”的简单介绍，把面积单位连成一个“知识串”，将新概念纳入学生原有的知识体系中，实现了概念的“同化”。

数学建模的过程，其实质就是数学知识“重构”的过程，是“数学化”的过程，而不是抽象的“形而上”和空洞的“形式化”。这就需要我们追溯知识的源头，关注数学知识本身，站在整体、系统和结构的高度把握和处理教材，引导学生充分经历知识的形成过程，亲历数学建模的过程，从而培养学生的模型思想和建模能力。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[3] 郑毓信.小学数学概念与思维教学[M]. 南京：江苏凤凰教育出版社，2014.

【责任编辑：陈国庆】