例析求二次函数解析式的方法

郗红梅

【关键词】 数学教学;二次函数;解析式;求解

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C

【文章编号】 1004—0463（2015）19—0121—01

求二次函数的解析式是义务教育阶段初中数学教材“二次函数”中的一个难点，在教学中我们给学生总结了三种常用方法：

1.一般式：y=ax2+bx+c，其中a、b、c是待定系数，且a不等于0.2.交点式：y=a（x-x1）（x-x2），其中x1、x2 是二次函数的图象与x轴的交点横坐标.3.顶点式：y=a（x-h）2+k，其中（h，k）是抛物线的顶点坐标.可是学生在运用的时候还是存在问题，常常感到无从下手.下面，笔者结合实例，谈谈求二次函数解析式的几种常用方法.

题目：二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0，0）与（12，0），最高点的纵坐标是3，求这个二次函数的解析式.

分析：要求二次函数的解析式，关键是利用待定系数法求出y=ax2+bx+c中的系数a、b、c.

解法一：函数的图象通过（0，0）与（12，0），可将这两点代入y=ax2+bx+c中，得方程：c=0                    ①

144a+12b+c=0      ②

抛物线最高点的纵坐标是3，即顶点的纵坐标为3，由顶点坐标公式得： =3        ③

将①②③联立可解得：a=-，b=1，c=0.

所以二次函数的解析式为： y=-x2+x .

解法二：由于二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（0，0）与（12，0），因此（0，0）与（12，0）是抛物线与x轴的两个交点，这样可以用“交点式”来求解析式.可设抛物线的解析式为y=a（x-x1）（x-x2），将x1=0，x2=12代入得y=ax（x-12），考虑到（0，0）与（12，0）是关于对称轴对称的，因此抛物线的顶点坐标为（6，3），再将（6，3）代入y=ax（x-12）中，可得a=-，所以函数的解析式是y=-x2+x.

解法三：由方法二可知抛物线为y=ax（x-12），由抛物线最高点的纵坐标是3，即顶点的纵坐标为3，由顶点坐标公式得： =3，解得a=-.所以抛物线的解析式是y=-x2+x.

解法四：由方法二可知抛物线的顶点坐标为（6，3），因此抛物线过（0，0）、（12，0）、（6，3），可设y=ax2+bx+c，将以上三点代入方程组：c=0

144a+12b+c=0

36a+6b+c=3

解方程组求出a、b、c的值即可.

解法五：由方法二可得到抛物线的对称轴为x=6，所以可以通过下列方程组求得a、b、c.

c=0

-=6

=3

解法六：（0，0）与（12，0）点是抛物线与x轴的两个交点，横坐标为0与12，也就是方程ax2+bx+c=0的两个根，由根与系数的关系可得：

x1+x2=-=12

x1·x2==0

=3

再联立方程可求得a、b、c.

解法七：由抛物线过（0，0）与（12，0）可知，抛物线的对称轴是x=6，且抛物线最高点的纵坐标为3，所以抛物线的顶点坐标为（6，3），这样可用“顶点式”求解析式.设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+3，再把点（0，0）和点（12，0）代入即可求出a的值.

以上列举了利用待定系数法求二次函数解析式的几种常用方法，学生在平时的学习中只有通过练习才能掌握每种方法的技巧和特点.

下面的几个题目不妨采用上述方法加以练习：

根据下列条件，求二次函数的解析式.

1.图象经过点（0，-3），抛物线的顶点为（2，1）.

2.图象与x轴交于（-1，0）和（3，0），且通过点（-，7）.

3.在y轴上的截距为-2，对称轴是直线x=-2，最大值为2.

4.顶点是（2，3），图象与x轴两交点间的距离为6.

编辑：谢颖丽