一类分数傅里叶变换图像加密算法的安全分析

周业勤，龙敏

长沙理工大学计算机与通信工程学院，长沙410114

◎网络、通信、安全◎

一类分数傅里叶变换图像加密算法的安全分析

周业勤，龙敏

长沙理工大学计算机与通信工程学院，长沙410114

从分数阶傅里叶变换的性质出发，对一类分数阶傅里叶变换图像加密算法进行分析。对原有算法结果图进行肉眼判断，提取图像中间结果数据进行对比分析，可知算法的密钥具有不敏感性，并且解密图具有很大失真。对分数傅里叶变换进行理论上的分析和讨论。分析及实验结果表明，直接使用分数阶傅里叶变换进行加密的算法对密钥并不敏感，存在安全隐患。为实现密文图像的显示和传输而引入的RGB映射将导致解密图像像素值失真。

图像加密；分数傅里叶变换；RGB映射；混沌序列

1　引言

随着多媒体技术和网络的发展，图像的安全性受到人们的普遍重视。图像加密是图像安全技术的核心，针对图像数据的特点众多学者提出基于各种技术的图像加密算法，主要分为空间域和变换域两大类。文献［1］提出用高维Logistic混沌序列进行图像加密，文献［2］中Zhou等人将复合混沌引入图像加密，文献［3］将Henon和Arnold映射应用于图像加密，以上是针对混沌密钥生成方法进行改进的空间域图像加密办法；文献［4-5］讨论了基于位运算的图像加密算法，将图像数据转换至二进制并对位进行处理；文献［6-10］将仿射变换应用于图像加密，加密速度快且能同时改变像素的像素值和像素位置。空间域图像加密办法简单直观，但容易受到不法分子的攻击。文献［11-18］中分别将小波变换、傅里叶变换和光学技术应用于图像加密，也称为变换域图像加密办法，其加密原理复杂、图像敏感性强，但是域的变换会降低加密效率，而且解密图像数据会存在小部分失真。本文对一类分数阶傅里叶变换图像加密算法进行分析，从实验上和理论上证明其不适用于图像加密。

近年来，有不少学者提出采用分数傅里叶变换对图像进行加密，分数阶傅里叶变换的物理意义是做傅里叶变换a次（a为实数），变换后的信号和函数会出现在介于时域和频域之间的分数域。何俊发等人［19］在2005年提出一种分数阶傅里叶变换图像加密算法，对图像的x，y方向分别实施不同级次的一维分数阶傅里叶变换（也叫不对称分数阶傅里叶变换），实现对图像的加密，解密方法就是对变换后的图像实施对应级次的分数傅里叶逆变换。王银花等人［20］将待加密图像先进行混沌置乱，再进行分数阶傅里叶变换，实现图像双重加密，以增强算法的安全性。文献［21］杨倬等人认为分数阶傅里叶变换后的图像矩阵是复数矩阵，不利于实际应用中的显示、存储和传输，引入RGB映射，将分数阶傅里叶变换后的图像矩阵的实部、虚部和控制位分别存储于R、G和B三个分量中，实现加密图像的显示、存储和传输。文献［22］和文献［23］在文献［21］的基础上进行改进，先对待加密图像进行x方向的一维分数阶傅里叶变换，然后进行混沌置乱，再进行y方向的一维分数阶傅里叶变换，最后用RGB映射实现加密图像的显示、存储和传输，同时去掉混沌序列作为变换密钥的部分。本文对上述算法进行分析，发现算法以分数阶傅里叶变换的阶数作为密钥，当x，y方向的逆变换阶数与原变换阶数都接近时，能看到原图像的部分信息，文献［19-20，22-23］中都是直接以分数阶傅里叶变换阶数作为密钥，算法的密钥敏感性能差。文献［21］将图像进行分块加密，每个块的变换阶数由混沌映射产生，变换阶数敏感性增强，但是与算法中的RGB映射步骤相排斥，对密图进行RGB映射会使密图像素值的小数部分丢失，在变换阶数较大时这种数据丢失的影响被扩大，密图不能正常还原。

2　算法的敏感性能分析

文献［19-20，22-23］所进行的分数阶傅里叶变换都是直接以变换阶数作为密钥，以文献［22］为例进行分析。算法过程描述如下：

（1）混沌置乱。根据密钥u（控制参数）和X0（初始值），由Logistic映射方程Xn+1=uXn（1-Xn），3.569 9≤u≤4，Xn∈（0，1），产生长度为M×N的混沌序列X（其中M×N为待加密图像的大小）。对产生的混沌序列X进行排序，得到一个新的序列Xsort；将原二维图像矩阵按行先序转换为一维序列L，L的长度为M×N；用得到的Xsort对一维序列L进行置乱得到序列L′，规则如下：

（2）x方向a阶分数阶傅里叶变换。将（1）得到的矩阵看做一个行向量，对该行向量进行a阶离散分数阶傅里叶变换，得到一个加密的复数矩阵。

（3）混沌置乱。置乱规则与（1）中类似，经过分数阶傅里叶变换后，对图像进行Logistic映射。

（4）y方向b阶分数阶傅里叶变换。将（3）得到的矩阵看做一个列向量，对该列向量进行b阶分数阶傅里叶变换，得到加密的复数矩阵。

（5）RGB映射。上述加密后的图像为复数矩阵，在实际应用中难以传输。将复数加密矩阵的实部和虚部映射到RGB分量，形成可传输并可显示的彩色密文图像。其中实数部分作为R分量存储，虚数部分作为G分量存储。B的每一个元素表示如表1，Fr和Fi表示实部和虚部的符号，Mr和Mi表示实部和虚部的缩小倍数。对每一位B分量元素5-8位设置：若实部为正，则Fr位置至0，否则为1；若实部绝对值小于256，则Fr置0，否则将实部绝对值缩小若干倍后的值存入R，将倍数存入Mr。对虚部做类似处理。

表1　分量B的控制字

下面对上述算法进行仿真，加密密钥设置为K=［3.96，0.82，3.8，0.7，0.2，0.3］，其中［3.96，0.82］为第一次混沌置乱的混沌序列初始值，［3.8，0.7］为第二次混沌置乱的混沌序列初始值，［a=0.2，b=0.3］分别为x和y方向的分数阶傅里叶变换阶数。用密钥K=［3.96，0.82，3.8，0.7，-0.2，-0.3］进行解密，原图像、密图和解密图显示如图1，从图中可以看出加密图像无法辨认，解密图与原图像肉眼看无差别。设解密密钥b=-0.301其他解密密钥不变，或者a=-0.199 9其他密钥不变，分别得解密图像如图2。从图2可知，分数阶傅里叶变换解密阶数加0.001，能解密大部分图像信息；解密阶数变化范围小于0.000 1时的解密图，从肉眼看与原图基本一致。

图1　原图像、加密图像和解密图像

图2　其他密钥不变b=-0.301的解密图和a=-0.199 9的解密图

为了更直观地了解这种现象，取五幅不同图像进行实验，求改变解密密钥a值或b值后解密图相对原图像的像素改变率NPCR和平均变换强度UACI。从表2可以看出，其他解密密钥不变，当a为正确解密密钥时解密图像相对原图像约有8.4%的像素值发生变化，变化范围较小；当a在原来解密密钥上加0.000 1时，大约有8.5%的像素值发生改变并且改变强度较小，与正确解密图仅具有微小差别，说明解密时分数阶傅里叶变换的变换阶数加0.000 1基本不影响密图的正确解密；当a在原来的解密密钥上加0.001时，72%左右的像素值发生了改变，但改变强度不大，解密图能较清楚的呈现原图像轮廓；当a值加0.01时，解密图有99%以上的像素值改变，变换强度大，解密图无法辨认。表3表明，解密阶数b的变化对解密图的影响。从表4可知（设变化量为ε）：a+ε，b+ε或a-ε，b-ε比a±ε或b±ε对解密图像的影响大；a±ε，b∓ε比a±ε或b±ε对解密图像的影响小；a+ε，b-ε与a-ε，b+ε对解密图的影响相同，即a和b对算法具有同等效果。

下面从分数阶傅里叶变换的定义式分析其原因。设连续信号为x（t），令φ=0.5απ，α为实数其周期为4，一维α阶分数阶傅里叶变换定义为：

kα（t，u）为分数阶傅里叶变换的变换核：

定理1函数f（z）=u（x，y）+jv（x，y）在z0=x0+jy0处连续的充要条件是：u（x，y）和v（x，y）在（x0，y0）处连续。

定理2连续是可导的必要条件。

定理3两个连续函数相乘得到的函数连续。

。α⊂（2，4）的情况下分析方法类似。得出结论：Xα（s）对变换阶数α的变化不敏感。因此，分数阶傅里叶变换用于图像加密时，如果用变换阶数a、b作为密钥，会导致密钥敏感性过低，存在安全隐患。

表2　b的值不变，改变a的值对解密图像的影响

表3　a的值不变，改变b的值对解密图像的影响

表4　同时改变a和b的值对解密图像的影响

3　解密图像恢复性能分析

为了克服变换阶数的不敏感性，文献［21］将图像划分成不重叠的子块，块的大小为4×4，分别进行分数阶傅里叶变换，分数阶傅里叶变换的变换阶数由混沌序列产生。具体叙述如下：

（1）先对原始灰度图像进行分块，然后对每个子块进行二维分数阶傅里叶变换，其中x和y方向的变换阶数由两个混沌序列控制，其算法主要过程如下：

①将原图像L按一定规格大小（本文取4×4）划分成不重叠的字块Ik，则I=∪Ik，且Ii∩Ij=φ［i≠j］。

②根据混沌映射，产生用于控制x，y方向分数阶傅里叶变换阶数控制序列Px=｛px1，px2，…｝，Py=｛py1，py2，…｝，他们分别由下式产生：

③对各子块进行二维分数阶傅里叶变换，变换后的子块为I′k，即。

（2）混沌置乱。对（1）结果进行混沌置乱，从而实施双重加密，其算法主要细节为：将变换后的各子块I′k重新组合成二维矩阵，并将其转换为一维序列L，L的长度为M×N；根据密钥u（控制参数）和X0（初始值），由Logistic映射方程Xn+1=uXn（1-Xn），3.569 9≤u≤4，Xn∈（0，1），产生长度为M×N的混沌序列X；对产生的混沌序列X进行排序，记录序列元素在X中的位置信息得到一个新的序列Xsort；用Xsort对一维序列L进行置乱得序列L′，规则如式（1）；最后将置乱后的一维序列L′转换为一个二维矩阵。

（3）将复数加密矩阵映射到RGB分量中（映射方法参考上一章节），得到密文图像。

文献［21］中算法与其他算法的最大不同在于增加了分块步骤，而且分数阶傅里叶变换的变换阶数由混沌序列产生，克服了其他文献中参数不敏感的缺点。但是，实际算法仿真的时候不能完全得到解密图，会出现方块失真，liftingbody、westconcord和lena三图像经文献［21］算法加密的解密图如图3。

图3　文献［21］算法解密图的方块失真现象

为了便于分析，将文献［21］中的分块步骤去掉，对原图像liftingbody进行分数阶傅里叶变换、混沌置乱和RGB映射，并解密。加密和解密的密钥一致，分数阶傅里叶变换阶数用a和b表示。当a，b取值分别为：｛a=0.2，b=0.3｝，｛a=0.9，b=0.2｝，｛a=0.9，b=0.9｝和｛a=1，b=1｝时，解密图如图4。从图中可知，随着分数阶傅里叶变换阶数的增大，解密图失真越大。同样，对liftingbody、westconcord、lena、rice和cameraman五幅图像进行实验，用解密图相对原图像的像素改变率NPCR和平均变换强度UACI来衡量解密图的失真度，结果如表5所示：在没有加入RGB映射的算法中，NPCR和UACI的值为0，说明分数阶傅里叶变换用于图像加密是可完全还原的；加入RGB映射后的分数傅里叶算法中，当a和b的值较小时，算法失真较小；当a和b的值都较大时，算法失真度很大不能正常解密加密图。因此，RGB映射应用于分数阶傅里叶变换中会导致解密图像无法正常解密。

图4　阶数a和b取不同值的解密图

下面对失真的原因进行分析。式（3）中α=1时（φ= 0.5π）），），根据函数的连续性有：，此时。根据指数函数的性质可知，t的值越大，Xα（s）的值越小。所以，在阶数α值等于或趋向于1时，如果图像像素值越大，分数阶傅里叶变换结果值越小。对liftingbody图像进行分数阶傅里叶变换，取其左上角4×4大小的矩阵数据进行分析，当变换阶数为［a=0.2，b=0.2］时，变换后的图像矩阵数据如表6所示，变换阶数为［a=0.8，b=0.9］时，如表7所示。从表6、7可以看出，如果变换阶数较小，得到的分数阶傅里叶变换结果值较大，取整所截取的数据占数据本身的比例较小，能较完整的还原原图像信息；在变换阶数接近1时得到的图像矩阵数据值很小，如果做取整或者四舍五入运算会丢失大部分图像信息，并且不能还原。所以上述算法中，如果使用混沌序列作为变换阶数进行图像加密，在混沌序列值接近1且图像像素值较大时，会造成失真现象。

表5　RGB映射对解密图失真度的影响

表6　变换阶数为［a=0.2，b=0.2］的部分加密图像数据

表7　变换阶数为［a=0.8，b=0.9］的部分加密图像数据

4　结束语

分数阶傅里叶变换应用于图像加密，以变换阶数作为密钥，则算法密钥敏感性差，变换结果数据矩阵是复数形式，不适用于实际网络的传输和存储。为了改善上述缺点，算法引入混沌映射和RGB映射，混沌映射用来提高密钥敏感性，RGB映射可以实现加密图像的传输和存储，但是对密图造成失真，特别是变换阶数接近nπ+π/2（n为整数）时，图像解密时将出现块失真现象。综上所述，使用分数阶傅里叶变换的图像加密算法，变换阶数不适合用做密钥，而且需要寻找新的方法代替RGB映射，解决图像的显示、存储与传输的问题。

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Security analysis of image encryption algorithm for a class of fractional Fourier transform.

ZHOU Yeqin，LONG Min

School of Computer and Communication Engineering，Changsha University of Science and Technology，Changsha 410114，China

According to the properties of fractional Fourier transform，a kind of fractional Fourier transform image encryption algorithm is analyzed.The key is not sensitive and the deciphering diagram is of great distortion，when with the naked eye on results chart to judge and extract the image data for comparison.Theoretical analysis and experimental results show that the algorithm is not sensitive to the key when the fractional Fourier transform is directly applied to image encryption. The introduction of RGB mapping to realize the cipher image display and transmission，result a great distortion in pixels. Key words：image encryption；fraction Fourier transform；RGB mapping；chaotic sequence

A

TP309.7

10.3778/j.issn.1002-8331.1409-0037

国家自然科学基金（No.61001004）；湖南省教育厅项目（No.11B002）；湖南省海外名师项目（No.2013008）。

周业勤（1990—），女，硕士研究生，研究领域为信息安全；龙敏（1976—），女，博士，教授，研究领域为信息安全，无线通信。E-mail：zhouyeqin0220@qq.com

2014-09-02

2014-10-28

1002-8331（2015）22-0085-05

CNKI网络优先出版：2015-04-21，http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20150421.1022.006.html