基于区间值模糊集的理想化软BCK代数

刘春辉

1.赤峰学院教务处，内蒙古赤峰024001

2.赤峰学院数学与统计学院，内蒙古赤峰024001

基于区间值模糊集的理想化软BCK代数

刘春辉1，2

1.赤峰学院教务处，内蒙古赤峰024001

2.赤峰学院数学与统计学院，内蒙古赤峰024001

将Zadeh提出的区间值模糊集概念应用于理想化软BCK代数问题的研究。借助于BCK代数的区间值模糊理想、区间值（∈，∈∨q）-模糊理想和区间值（∈，∈∨qˉ）-模糊理想的概念，获得了一个给定的BCK代数上的几类特殊的理想化软BCK代数的若干等价刻画。

BCK代数；区间值模糊集；软集；理想化软BCK代数

1　引言

BCK代数是由日本学者Y.Imai和K.Ieski［1-2］于1966年提出的一类逻辑代数，其结构与许多著名的逻辑代数结构密切相关。著名数理逻辑学家R.Cignoli［3］指出，因为偏序交换剩余整独异点与剩余格都是BCK代数的自然扩张，所以大部分逻辑代数（如MTL代数、BL代数、Heyting代数、R0代数和格蕴涵代数等）都是有界BCK代数的自然扩张。因此对BCK代数的性质和结构的研究具有重要的意义。迄今为止，这方面的研究已经获得了一批优秀的研究成果［4-8］。1999年，Molodtsov提出了软集的概念［9］，试图从参数化的角度为不确定性问题的研究提供一个统一的数学框架。作为一种新的处理不确定性问题的数学工具，软集理论与模糊集理论和粗糙集理论等具有很强的互补性，相关研究受到了学术界的广泛关注，由此，也推动了软集理论研究工作的迅速发展［10-11］。作为软集理论的应用，文献［12-15］将软集概念应用于BCK/BCI代数，提出了软BCK/BCI代数、软BCK/BCI代数的软子代数和理想化软BCK/BCI代数等概念并讨论了这些概念的性质。这些研究工作很好地促进了软集与代数结构的相互融合，丰富和完善了软集理论的研究内容。

以上述研究工作为基础，本文将Zadeh于1975年提出的区间值模糊集［14］概念与软集概念相结合，定义了基于一个区间值模糊集的∈-软集，q-软集和（∈∨q）-软集的概念，并借助于BCK代数的区间值模糊理想、区间值（∈，∈∨q）-模糊理想和区间值模糊理想的概念对BCK代数上的几类特殊的理想化软BCK代数的结构特征进行了刻画，获得了一些有意义的结论。

2　预备知识

定义1［1］（2，0）型代数（X，*，0）称为BCK代数，如果它满足如下公理，∀x，y，z∈X：

BCK-1：（（x*y）*（x*z））*（z*y）=0；

BCK-2：（x*（x*y））*y=0；

BCK-3：x*x=0；

BCK-4：x*y=y*x=0⇒x=y；

BCK-5：0*x=0。

为了叙述简洁起见，以下如无特别说明，X均表示BCK代数。

定义2［4］称BCK代数X的非空子集I为X的理想，若I满足

（I1）0∈I；

（I2）（∀x，y∈X）（（x*y∈I且y∈I）⇒x∈I）。

定义3［9］设U是论域，P（U）是U的幂集，E是一个非空参数集，A⊆E，称二元组（F，A）为U上的一个软集，这里F:A→P（U）是一个映射。

定义4［13］设X是BCK代数，（F，A）为X上的软集。如果∀x∈A，F（x）=Ø或F（x）为X的理想，则称（F，A）为X上的理想化软BCK代数。

定义5［16］一个区间数a˜是指闭区间［a-，a+］，其中0≤a-≤a+≤1。区间数的全体构成的集合记作D［0，1］。特别地，区间［a，a］等同于数a∈［0，1］。

定义6［16］集合X上的一个区间值模糊集（简称IV-模糊集）指的是映射:X→D［0，1］，其中（x）=［Θ-（x），Θ+（x）］∈D［0，1］，∀x∈X。

特别地，若Θ-（x）+t-＞1，则记。在本文的讨论过程中，总假设：］或，∀x∈X。

定义7［8］称BCK代数X上的IV-模糊集为X的区间值模糊理想，如果满足：

称BCK代数X上的一个形如

定义8［8］称BCK代数X上的IV-模糊集为X的区间值（∈，∈∨q）-模糊理想，如果满足：

引理1［8］BCK代数X上的IV-模糊集为X的区间值（∈，∈∨q）-模糊理想当且仅当满足：

定义9［8］称BCK代数X上的IV-模糊集˜为X的区间值（∈，∈∨qˉ）-模糊理想，如果˜满足：

注1有关定义8和定义9的具体实例，请参阅文献［8］，这里不再赘述。

引理2［8］BCK代数X上IV-模糊集˜为X的区间值（∈，∈∨qˉ）-模糊理想当且仅当˜满足：

3　基于区间值模糊集的理想化软BCK代数

（3）F（∈∨q）:A→P（X），，分别称（F，A），（Fq，A）和（F（∈∨q），A）为X上的基于˜的∈-软集，q-软集和（∈∨q）-软集。

反之，设（F，A）为X上的理想化软BCK代数。若存在a∈X使（0）＜（a），则可选取∈A使得（0）＜≤（a），从而a∈但0∈，进而有a∈F（）≠Ø但0∉F（），这与F（）为X的理想矛盾！故（0）≥（x），∀x∈X。若存在a，b∈X使（a）＜rmin｛（a*b），（b）｝，则可选取∈A使得（a）＜≤rmin｛（a*b），（b）｝，从而（a*b）∈，b∈但a∈，即a*b，b∈F（）≠Ø但a∈F（），这亦与F（）为X的理想矛盾！因此对任意x，y∈X都有（x）≥rmin｛（x*y），（y）｝。综合便得是X的区间值模糊理想。

即xq，故x∈Fq（）。因此由定义2得Fq（）为X的理想，进而由定义4得（Fq，A）为X上的理想化软BCK代数。

反之，设（Fq，A）为X上的理想化软BCK代数。若存在a∈X使（0）＜（a），则可选取∈A使得（0）+≤［1，1］＜（a）+，从而得aq，从而Fq（）≠Ø，故Fq（）为X的理想，因此0∈Fq（），即（0）+＞［1，1］。这与（0）+≤［1，1］矛盾！因此（0）≥（x），∀x∈X。若存在a，b∈X使（a）＜rmin｛（a*b），（b）｝，则可选取∈A使得（a）+≤［1，1］＜rmin｛（a*b），（b）｝+，从而得（a*b）q且bq，进而Fq（）≠Ø，故Fq（）为X的理想，因此a∈Fq（），从而aq，进而得（a）+＞［1，1］，这与（a）+≤［1，1］矛盾！因此对任意x，y∈X都有（x）≥rmin｛（x*y），（y）｝。综合便得是X的区间值模糊理想。

反之，设（F，A）为X上的理想化软BCK代数。若存在a∈X使（0）＜rmin｛（a），［0.5，0.5］｝，则存在∈A使得（0）＜≤rmin｛（a），［0.5，0.5］｝，从而得a∈，进而a∈F（），即F（）≠Ø，故F（）为X的理想，因此0∈F（），即（0）≥。这与（0）＜矛盾！因此（0）≥rmin｛（x），［0.5，0.5］｝，∀x∈X。若a，b∈X使（a）＜rmin｛（a*b），则∈A且（a）＜＜rmin｛（a*b），（b），［0.5，0.5］｝，从而得（a*b）∈且b∈，但a∈。这表明a*b∈F（）且b∈F（），但a∈F（），与F（）为X的理想矛盾！因此对任意x，y∈X都有（x）≥rmin｛（x*y），（y），［0.5，0.5］｝。综合便得是X的区间值（∈，∈∨q）-模糊理想。

反之，设（F，A）为X上的理想化软BCK代数。若存在a∈X使（a）＞rmax｛（0），［0.5，0.5］｝，则存在∈A使得（a）≥＞rmax｛（0），［0.5，0.5］｝。一方面，由（0）＜得0∈，因此0∈F（）。另一方面，由（a）≥得a∈F（），从而F（）≠Ø，故F（）为X的理想，因此又得0∈F（），矛盾！故（x）≤rmax｛（0），［0.5，0.5］｝，∀x∈X。若a，b∈X使rmin｛（a*b），（b）｝＞rmax｛（a），［0.5，0.5］｝，则有∈A使得rmin｛（a*b），（b）｝≥＞rmax｛（a），［0.5，0.5］｝。于是得（a*b）∈且b∈，但a∈。这表明a*b∈F（）且b∈F（），但a∈F（），与F（）为X的理想矛盾！因此对任意x，y∈X都有rmin｛（x*y），（y）｝≤rmax｛（x），［0.5，0.5］｝。综合便得是X的区间值（∈，∈∨qˉ）-模糊理想。

从而0q，故0∈Fq（）。设x，y∈X使x*y∈Fq（）且y∈Fq（），则（x*y）q且yq，即（x*y）+＞［1，1］且（y）+＞［1，1］，因此由（intF4）得

反之，设（F（∈∨q），A）为X上的理想化软BCK代数。则∀∈A，F（∈∨q）（）=Ø或F（∈∨q）（）为X的理想。若存在a∈X使得（0）＜rmin｛（a），［0.5，0.5］｝，则存在∈A使得［0，0］＜≤［0.5，0.5］且（0）＜≤rmin｛（a），［0.5，0.5］｝，从而0∈且（0）+＜2≤［1，1］，即0qˉ，因此0∈F（）∪Fq（）=F（∈∨q）（）。而由（a）≥知F（∈∨q）（）≠Ø，从而F（∈∨q）（）为X的理想，故又有0∈F（∈∨q）（），矛盾！因此∀x∈X，（0）≥rmin｛（x），［0.5，0.5］｝。设a，b∈X使得

4　结束语

本文将区间值模糊集的思想和运算方法运用于理想化软BCK代数问题的研究，对一个给定的BCK代数上的若干特殊的的理想化软BCK代数概念进行了刻画，获得了若干有意义的结论。这些结论不但有助于进一步把握BCK代数的结构特征，而且也有助于促进区间值模糊集理论、软集理论与BCK代数理论间的相互融合与交叉渗透。同时，本文所运用的研究方法对基于其他逻辑代数的类似问题的研究也有一定的借鉴意义。

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Idealistic soft BCK-algebras based on interval valued fuzzy sets.

LIU Chunhui1，2

1.Dean’s Office，Chifeng University，Chifeng，Nei Mongol，024001，China
2.Department of Mathematics and Statistics，Chifeng University，Chifeng，Nei Mongol，024001，China

Apply the concept of interval valued fuzzy sets which introduced by Zadeh to idealistic soft BCK-algebras.By means the notions of interval valued fuzzy ideals，interval valued（∈，∈∨q）-fuzzy ideals and interval valued（∈，∈∨qˉ）-fuzzy ideals in BCK-algebras，some equivalent characterizations of various special idealistic soft BCK-algebras on a given BCK-algebra are obtained.

BCK-algebra；interval valued fuzzy set；soft set；idealistic soft BCK-algebra

A

O141.1

10.3778/j.issn.1002-8331.1311-0194

国家自然科学基金（No.10371106，No.60774073）。

刘春辉（1982—），男，讲师，研究领域为非经典数理逻辑、Domain和拓扑学。E-mail：chunhuiliu1982@163.com

2013-11-13

2014-01-02

1002-8331（2015）22-0066-04

CNKI网络优先出版：2014-04-01，http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3778/j.issn.1002-8331.1311-0194.html