在活动中感悟数学思想

钱建兵

在不少学生眼里，学数学就是做题目，学生不会提问，不会质疑与求证。没有人喜欢一直做练习，成人如此，儿童亦然。儿童是天生的游戏者、探索者。数学是理性，是疑问，更是学生成长过程中乐趣的源泉。因此，数学教师要立足学生的长远发展，以自己的专业素养开启学生的数学视野，让学生品尝到“好吃又有营养”的数学大餐。特级教师庄慧芬执教的“图形分割”一课，是苏教版小学《数学》第九册“多边形面积计算”内容。教材内容如下：

在方格纸上画平行四边形ABCD，连接对角线AC、BD，它们的交点O称为平行四边形的中心。

过平行四边形的中心O任意画一条直线，把平行四边形分成了两个什么图形？这两个图形完全一样吗？先画一画，再把分成的两个图形剪下来比一比。

你能用上面的方法把下面这些图形分成完全一样的两部分吗？先画一画，再与同学交流。

庄老师以自己的专业素养，在活动中引导学生经历数学探究的过程，为学生打开一扇通往生动丰富的数学世界的窗口，现撷取几个教学片段，与读者共飨。

【片段一】

教师出示一些平面图形：正方形、长方形、平行四边形、正六边形、正八边形。

师：这些图形认识吗？六边形特别吗？每条边都相等、每个角都相等的六边形叫正六边形。

师：今天我们要学习这些图形的分割。

师：你能在这个正六边形上画一条直线，将它分成面积相等的两部分吗？

生1：在中间画一条。

师：有多少种画法？

（学生大都表示有4种，也有学生表示有6种。过了一会儿，有两个学生表示有无数种。）

师：碰到复杂的问题可以从简单的问题入手，你们觉得可以从哪个简单的图形入手？

生2：正方形，因为正方形的边数少。

师：可是长方形也只有4条边啊？

生3：正方形不仅边数比较少，而且跟正六边形相似，每条边都相等。

【赏析】本教学片段中，庄老师没有直接出示正方形让学生研究，而是故意将题目变复杂，“难为”一下学生。这种颠倒法产生的冲突，实际上是在向学生巧妙地渗透“从简单想起”的数学思想。数学思想的渗透，是师生间谈话中的自然流露。“复杂的问题从简单想起”，实际上是一种类比推理，是合情推理。“长方形也是四条边啊”很自然地将学生的视角引向类比的关键：两事物之间必须有相同或相似的属性，相似程度越高，推理的可信度就越高。

【片段二】

师：正方形上画一条直线将它分成面积相等的两部分，这样的直线有几条。请大家拿出正方形，折一折，画一画。

（学生操作，教师找不同的方法展示。）

生1：上下对折，完全重合，再左右对折，然后对角对折。

师：看一看这4条边，这4条边虽然来自四面八方，但都是——

生2：相交于中间的点。

师：我们把这样的点叫中心点，在折的过程中我们有了哪些新的发现？

生3：可以分成两个梯形，这个梯形少的部分（指梯形的上底）在另一个梯形中也有，多的部分（指梯形的下底）在那个梯形里也有。这样两个梯形就一样了。

生4：这条边不是随便画的，是围绕中心点画的。

师：只要找到怎样的直线，就可以将这个正方形分成面积相等的两部分？

生5：我感觉只要通过中心点，就可以了。

师：这位同学很有感觉，但我们还需要验证。

生6：可以剪开分成两份，看能不能重合。

（学生操作，经过中心点任意画一条直线，可以剪，也可以测量。）

师：我看到了两种不同的验证方法 ，一种是经过中心点，有意地画一条不一定就能确定的直线再剪开，另一种是沿对折的折痕剪开，你更欣赏哪一种？

生7：第一种，因为第二种不需要验证了。

……

【赏析】大部分学生都知道“正方形中有4条直线能将它分成面积相等的两部分”，基于对这一学情的把握，教师及时地将这种经验进行提升，引导学生发现问题的关键，都相交于中心点。当学生凭直觉发现其他的经过中心点的直线也可能将正方形平均分成面积相等的两部分时，进行验证的想法自然产生。学生在此感受到猜想—验证的探究过程。在这个教学过程中，教师重视对学生的方法指导，特别是验证的方法对学生的适当启发。

【片段三】

师：长方形呢？平行四边形呢？

师：这些想法是对的吗？是的，还需要科学的验证。你准备怎么研究？

生1：先找中心。

师：为什么不从头开始？是的，我们经常是借鉴之前的规律进行新的研究。

（学生操作后交流。）

师：研究到这儿，我们似乎找到了规律，借助这样的研究，我们来看一开始的那个问题，正六边形能有多少条将它分成面积相等的两部分的直线？

生2：无数条。这无数条直线都经过中心点。

（教师课件演示。）

师：正八边形、正二十边形呢？你想说什么？

生3：我感觉只要有中心点的图形都有无数条将它分成面积相等两部分的直线。

生4：我觉得三角形不可以。普通的三角形不可以，直角三角形不可以。

生5：等边三角形也没有无数条。

师：同学们有这么多猜想、追问，把掌声送给大家！

师：在研究数学的过程中，最重要的是学会数学思考，对自己已有的结论产生新的猜想，这是非常难能可贵的。既然有了猜想与疑问就需要验证，我给大家准备了一个正三角形，还准备了一个正五边形。跟同桌先想一想，有没有直线能将它分成面积相等的两部分？如果有，有多少条？把你找到的画出来。

（学生操作，交流。）

生6：正三角形找到了3条。找到中心点，随便画了经过中心点的一条线，结果发现不相等。

生7：经过正五边形的中心点，只有5条能将它分成面积相等两部分的直线。

生8：每个图形不都是有无数条将它分成面积相等两部分的直线。

生9：我发现了一条规律，边数是双数的正多边形，有无数条将它分成面积相等两部分的直线，边数是单数的没有无数条。

……

【赏析】在这个教学片段中，经历了研究正方形、长方形、平行四边形的过程，积累了确定中心点的经验，正八边形、正二十边形的出现及相关的操作、验证，进一步强化了“只要经过这个图形的中心点的直线就可以将这个图形分为面积相等的两部分”这个结论，同时，这些素材的出现，也促使学生产生新的猜想：“是不是所有的图形都有无数条将它分成面积相等两部分的直线？”此前，学生经历了猜想、验证的过程，自然地想到要进行验证，很快地发现这个猜想的缺陷，继而又完善猜想。整个教学过程，教师给学生的空间很大，问题给学生提，方法也由学生想。学生积累了经验，收获了方法，课堂得以延伸。

总之，从这节课中，笔者体会到：

1.规律重要，但方法更重要。数学教学中，让学生掌握知识、形成技能、发现规律固然重要，更重要的是让学生知道怎么研究这些规律。正如课的最后庄老师引用毕达哥拉斯的话：“在数学的世界里，重要的不是我们已经知道什么，重要的是我们怎么知道什么的。”本节课，庄老师站在让儿童学会数学地思考的角度，把握整个教学，让学生经历了观察、尝试、猜想、验证得出结论的过程。最后，当学生以为规律要尘埃落定时，又产生新的疑问：所有图形都有无数条将它分成面积相等两部分的直线吗？再次反思、验证，向学生展示了探索规律的方法与路径，不断地猜想、验证、质疑、完善。学生收获的是思想方法，数学的活动经验在操作与交流反思中积累与沉淀。

2.教师要有课程意识。数学不只有枯燥和呆板的一面，数学是生动与丰富的。儿童数学课是实践活动课程，在活动中有数学思维的生长，数学思想的渗透、活动经验的积累需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀。数学的世界有大量的素材，因此，教师应有课程开发意识，建立大数学教育观。只有这样，才能成为一个真正意义上的数学教师。

（作者单位：江苏省南通市通州区西亭小学）

□责任编辑 周瑜芽

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