在思辨中感悟概念本质

肖备荒

前不久，笔者有幸聆听了特级教师张齐华的“圆的认识”一课。这节课真是与众不同，他从整体的视角，对这一传统题材进行了独特的加工和全新的演绎，让学生在类比、推想、找活动中感悟知识本质，现撷取几个教学片段与大家共赏。

【片段一】类比中触摸概念本质

师：我们学过哪些平面图形？（教师根据学生回答，用多媒体出示）如果要确定一个长方形的大小，需要告诉你几个数据？

生1：2个。

师：哪2个？

生2：长和宽。

师：如果要确定一个正方形的大小，需要告诉你几个数据？

生3：1个，正方形的边长。

师：张老师很好奇，长方形、正方形都有四条边，为什么确定它们的大小，长方形要两个数据，而正方形只要一个数据？

生4：长方形两条长相等，两条宽相等。正方形四条边都相等。

师：张老师今天给大家带来了一个圆，这个圆看起来比其他平面图形更复杂些。要确定这个圆的大小，至少需要几个数据？大家琢磨琢磨再告诉我。（张老师依次询问几个举手的学生。）

师：大家有的说要2个，有的说要1个。究竟是2个还是1个？大家比划比划，想想为什么，在四人小组内说一说。

（小组活动后，教师以举手的方式，检查交流效果。）

师：开始大家的意见不统一，现在讨论后都认为只要1个数据了，这就是讨论的妙处所在。请每个同学拿出画有圆的作业纸，想办法用自己的方式证明：为什么一个数据就能确定这个圆的大小？

（学生独立思考，动手操作，教师巡视指导。）

师：下面进入展示环节。哪个同学带着自己的作品给大家说明一下？

生5：我在圆上任意取了几个点A、B、C、D、E，测量了它们到圆中间这个点的距离都相等，都是3厘米，所以只要一条这样的线段就能确定这个圆的大小。

师：你是一个有数学思维能力的孩子，还有谁对他的发言有补充的吗？

生6：我在画圆的时候，圆规针尖的脚固定不动，圆规两脚间的距离始终不变，才能画成圆；如果要把圆画大些，圆规两脚间的距离就定大些。所以只要知道圆规两脚间的距离也就是半径就能确定圆的大小。

师：说得非常好。在数学上，圆规针尖固定的这个点叫做圆心，用字母O表示。圆规两脚间的距离就是连接圆心到圆上任意一点的距离，我们叫它为半径，用字母r表示。

【赏析】张老师采用了新颖的开课方式，在学生历数已学过的平面图形后，让学生通过长方形、正方形特征的比较，得出“确定一个长方形、正方形的大小，分别需要2个、1个数据”。而后顺势提出：“要确定一个圆的大小，至少需要几个数据？”学生琢磨、比划后，形成了初步的大胆猜测：确定这个圆的大小，只要一个数据。紧接着张老师揭示一个贯彻全课始终、直指圆本质特征的关键问题：“为什么一个数据就能确定圆的大小？”把学生带入探究、推理、论证的学习之旅。这里类比推测，层层递进，让学生很快地抓住了概念的本质，为全课的学习做了很好的铺垫。接着，张老师给足学生自主探究的时间和空间，让他们重现生活经验，独立思考，动手操作，用自己独特的方式分析问题、解决问题。有的学生取点连线，测量比较，得出“圆上的点到圆中间这个点的距离都相等”；有的学生从画圆的经验中感受到“圆规两脚间的距离始终不变”，圆规两脚间的距离能确定圆的大小。这些发现，说明学生已经初步感知“圆中心这个点到圆上的距离都相等”这个圆的本质特征。张老师及时予以肯定，提出圆心、半径等概念，为后续更深刻的探究活动起了很好的导向作用。

【片段二】推理中探究概念本质

师：像半径这样的线段有多少条？

生（齐）：无数条。

师：为什么？（学生无人举手）这是一个相当有难度的问题。四人小组商量商量，看能不能想出更多的思路来说明半径有无数条。

（小组讨论，全班交流。）

生1：圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，每条对称轴对应着两条半径。所以这个圆有无数条半径。

生2：我一直画半径，怎么也画不完。所以有无数条半径。

师：你想的这件事，张老师20年前就干过。我的数学老师说圆有无数条半径，我不同意，他叫我回家去画。我回家后，画了一条又一条，一共画了563条半径，终于把整个圆画满了。

生3：你的铅笔太粗了，要把铅笔削细点，细到1微米。

生4：还可以再细点呀，可以细到看不清，细到没有。

师：你说出了一个伟大的结论。在数学上，线是没有宽度的，所以就可以细到没有。如果半径细到没有的话，这个圆里有多少个这样的没有？

生5：无数。

师：简直就是一个数学家的坯子，太了不起！有的同学从对称轴角度，有的同学从画线的角度说明了圆有无数条半径，我们还可以从什么角度来说呢？

生6：圆上的点也可以细到没有，所以圆上有无数个点。圆心可以和圆上的任何一点画出一条半径，所以一个圆有无数条半径。

师：非常棒。既然一个圆的半径有无数条，那应该用无数个数据才能确定一个圆的大小，为什么只用一个数据就行呢？

生7：无数条半径都相等。

师：除了用半径确定圆的大小，还有一种线段也能确定它的大小。

生8：直径。

师：对，现在请4个同学到黑板上来分别指出一条直径，大家在看的同时，想想直径有什么共同的特点。

（4个同学分别指出了4条不同的直径。）

生9：一个圆有无数条直径。

生10：直径都是两条半径加起来的，所以都相等。

生11：直径都相交于圆心。

师：相交于圆心，我们就说通过圆心。归纳起来就是：通过圆心且两端都在圆上的线段就是直径，这样的线段有无数条，一个圆所有的直径都相等，直径是半径的2倍。

师：回到以前学过的平面图形（课件展示），再仔细看看今天学习的图形，比较它们有哪些不一样？

生12：以前学过的平面图形有角和顶点，而圆没有。

生13：以前学过的图形的边是直的，圆的边是弯的。

师：数学上我们把圆叫做曲线图形，以前学过的平面图形叫做直线图形。

生14：圆有圆心，还有无数条半径和直径。

生15：所有的半径都相等，所有的直径都相等。

师：古时候中国的数学家给出了圆的一个说明：“圆，一中同长也。”“一中”指的是什么？“同长”呢？

生16：“一中”指圆有一个圆心，“同长”指的是所有的半径都相等。

【赏析】为了让学生理解“圆，一中同长也”这一本质属性，张老师不拘泥于教材，独辟蹊径，站在培养学生思维能力、发展初步空间观念的高度，在学生初步感知的基础上，引导学生去粗取精，去伪存真，多层次、多角度地经历透过现象寻求概念本质的过程。首先，张老师提出了一个富有挑战性的问题： “为什么圆有无数条半径？”要求学生想出更多思路来说明，激起了学生强烈的探究欲望。不同的学生有不同的思考，说出了不一样的思路。有的学生从对称轴的角度，用推理的方法来论证；有的学生从实践操作的角度直接说明；有的学生从连接圆心和圆上点的线段的角度，用联想的方式来证明。当一个学生说“我一直画半径，怎么也画不完”时，张老师抓住契机，与之展开深度对话：“你想的这件事，张老师20年前就干过。我一共画了563条半径，终于把整个圆画满了。”“你的铅笔太粗了，要把铅笔削细点。可以细到看不清，细到没有。”在张老师智慧的引领下，一个伟大的结论终于被学生发现了：线没有宽度，可以细到没有，“半径细到看不清，细到没有，就有无数”。这时学生思维完全激活，发现“圆上的点可以细到没有，所以圆上有无数个点，圆心可以和圆上的任何一点画出一条半径，所以一个圆有无数条半径”这个了不起的结论。

学生不仅学习了简单的推理和论证，也对点、线的认识实现了从有形到无形的深度超越。接着，张老师继续追问：“既然一个圆的半径有无数条，那应该用无数个数据才能确定一个圆的大小，为什么只用一个数据就行呢？”让学生进一步领会了“圆心到圆上的线段都相等”。 至此，“一个圆有无数条半径，所有的半径都相等”被孩子们诠释得清清楚楚，明明白白。最后，张老师还引导学生将圆与以前学过的其他平面图形比较，帮助他们系统整理所学的知识，构建完整知识体系。学生对“圆，一中同长”的本质属性，也有了全面深刻的理解。

（作者单位：江西省万安县潞田中心小学）

□责任编辑 周瑜芽

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