具有奇点和时滞的p-Laplacian方程的正周期解

陈仕洲

（韩山师范学院 数学与统计学院，广东 潮州 521041）

1 引言及引理

由于Lienard方程具有较广泛的应用背景，含有一个奇点或含有一个时滞的Lienard方程周期问题已受到人们极大的关注，也取得了很多成果[1-18]．但既含有奇点又含有时滞的Lienard方程周期问题研究则罕见．最近，文献[14]和[18]分别研究了微分方程

正周期解存在性．其中f ∈C(R,R);g ∈C(R×(0 ,+∞),R)是L2-Caratheodory 函数，对第一变元是T 周期 的 且 允 许 x →0+,g(t,x)无 界． 当 x →0+,g(t,x)→-∞， 方 程（1） 是 排 斥 型 的， 当x →0+,g()t,x →+∞，方程（1）是吸引型的．

文献[14]在下列条件（H1）-（H5）下证明了方程（1）存在一个正周期解．

（H1）存在常数0 ＜d1＜d2,s.t.如果x 是方程（1）正的连续T 周期解，且满足

文献[18]在条件（H2）-（H4）和

（H7）存在常数0 ＜d1＜d2使得：如果x 是方程（2）正的连续T 周期解，且满足

之下，证明了方程（2）存在一个正周期解．

本文利用重合度理论，研究了比文献[14]和[18]更广泛的既含有奇点又含有时滞的一类p-Laplacian方程

正周期解的存在问题，所得结果完善、改进和推广了文献[14]、[18]等的结果．这里φp(x)= |x|p-2x,p ≥2,φp(0)=0.0 ≤σ ＜T , e ∈C(R,R) ，是 周 期 为T 的 函 数g ∈C(R×(0,+∞),R) ，

对于周期边值问题

其中f*:[]0,T ×R×R →R 是Caratheodory函数．

引理1[1]（Manasevich-Mawhin）设是有界开集．若下列条件成立

（1）∀λ ∈(0,1),边值问题

在∂Ω 无解；

在∂Ω ⋂R 无解．

引理2[2]设x ∈C1(R,R),x(t+T)≡x(t),且ξ ∈[0 ,T]，则

引理3[4]设x ∈C1(R,R),x(t+T)≡x(t),且∃ξ ∈[0 ,T], | x(ξ)|≤d，则

2 主要结论

定理1 设条件

（A1）存在常数0 ＜d1＜d2使得：如果x 是方程（4）正的连续T 周期解，且满足

被满足，则方程（4）存在一个正的T-周期解．

证明 考虑（4）的同伦方程

方程（8）两边在[]0,T 取积分，得

由引理2得

由方程（8）两边同乘以x(t)，并在区间[0 ,T]上积分即得

对此ε,∃gε∈Lp(0,T),s.t.，（3）成立．注意到x(t)＞0,t ∈[0 ,T],有

由（11）和（13）得

由引理3，有

再由引理3得

由于x(0)=x(T)，知∃t0∈[]0,T ,s.t.x'(t0)=0.于是

其中

其中E1={t ∈[0 ,T]:g(t,x(t-σ))≥0} ,E2=[0 ,T]-E1.由（16）-（18）得

另一方面，由（8）得

上式两边同乘以x'(t)并注意到（A3）即得

设ξ ∈[0 ,T]如同（10）中定义的．∀t ∈[ ξ,T]，对（24）两边在[ ξ,t]取积分得

由（22）-（26）得

由（A4）知，∃M0＞0.s.t.x(t)≥M0.对于t ∈[0 ,ξ]的情形，类似可证．

∀x ∈∂Ω ⋂R,x(t)=q1(or q2)，此时由（A2）有

由条件（A2），deg{F ,Ω ⋂R,0} ≠0.根据引理1，方程（4）有一个正T-周期解x(t)．

3 例子和注记

例1 考察方程

（29）有一个正2π 周期解.

注记1 对于p ＞2 的情形，本文的结果是全新的．在方程（4）中，令p=2,σ=0,e(t)≡0，则方程（4）就是文献[14]所研究的方程；令p=2,e()t ≡0 就是文献[18]所研究的方程．可见本文定理1完善和发展了文献[14]的结果；也包含和推广了文献[18]的结果．

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