a决定抛物线的形状吗

殷菊+叶军

教学“二次函数的图象”这一节时，笔者发现有很多资料使用了以下习题：y=ax2的图象与y=2x2的图象形状相同，则a=_______。

命题者提供的答案是：a=2或-2，其命题意图无非是：二次函数y=ax2+bx+c中，二次项系数a的绝对值大小决定了二次函数的形状，因此|a|=2，所以a=2或-2。网上一些数学论坛里，支持此结论者不在少数，但这却是一个“病题”。

得出这一“结论”大约是混淆了抛物线的“开口大小”与“形状”这两个内涵不同的名词。一般意义上所说的“开口大小”，是指在同一坐标系中，用垂直于对称轴的直线去截抛物线，所得的弦长的大小关系。大小只是相对而言，抛物线不是一个封闭图形，因此不能简单地说某条抛物线开口很大或很小。在高中数学中，引入“通径”这一概念，就可以避免一些纷争。

例：在同一坐标系中，画出y=2x2和y=0.5x2的图象。

从图象可以看出，在同一坐标系中，y=2x2的图象比y=0.5x2的图象开口小。事实上，当|a|越大时，y=|a|x2变化越快，体现在图象上就是上升（或下降）越快，因此开口越小，函数图象越“陡”。

但是，我们能否说二者的图象“形状不同”呢？

在中学阶段，我们对相似形的定义是：形状相同的图形叫作相似形。也就是说，“形状相同”等于同“相似”。而图形的相似，既可以是直线形（三角形、多边形等）的相似，也可以是曲线图形（圆、抛物线、双曲线等）的相似。研究三角形与多边形的相似，我们有现成的判定定理，但是对于曲线形则没有。更主要的区别是，多边形都是有限的封闭图形，而抛物线这样的图形却可以无限延伸。那么，我们能简单地凭借一眼的直观而判断抛物线“形状不同”，因此不相似吗？

我们借助于《几何画板》工具来做一个实验。画好抛物线y=2x2，然后拖动x轴上的单位刻度1，以此改变坐标系中单位长度1所代表的实际长度，则抛物线的开口大小随之发生变化。上图是同一个二次函数在不同坐标系中的图象形状。很显然，它们的“形状不同”，但是它们却是同一条抛物线！

其实，右图可以看作左图的局部放大。我们在左图中取出[-0.3，0.3]上的一段图象，然后用放大镜观察，就会得到右图的效果。而同样的操作，放在三角形或多边形上，却不会出现如此效果。究其原因，是角度在“放大”过程中保持不变，由此反观抛物线，哪一处有“角度”呢？

由此发现，研究曲线形的相似，不像多边形这种“有棱有角”的图形那样通过测量角度作为判断的条件之一，确实是一件比较麻烦的事情。因此，我们也不能简单地凭借观察就断言曲线是否“形状不同”——虽然我们表达的只是“开口大小不同”这一侧面。

若两个图形相似，则一定可以通过平移、旋转、翻折等合同变换，使之成为位似图形。而一般意义上的位似基于以下定义：图形F与F的点一一对应，且有以下关系：

（1）连接每对对应点的连线都通过同一点S；

（2）每对对应点或都在S的同侧，或都在S的异侧；

（3）如果点A与B是F上的任意两点，它们在F′上的对应点分别是A′、B′，且SA′∶SA=SB′∶SB=k（常数）。

则称F与F′是位似图形，其中S是位似中心，k是相似系数。

也可以证明，两条离心率相等的圆锥曲线都相似，抛物线的离心率都等于1，因此所有的抛物线都相似。

（作者单位：1.江苏省南通市通州区二甲中学 2.南京师范大学附属中学江宁分校）