基于拉格朗日乘数法的轮对外形轮廓拟合方法*

王晓浩邢宗义苏钊颐李兆新高旭东

（1.南京理工大学机械工程学院，210094，南京；2.南京理工大学自动化学院，210094，南京；

3.广州市地下铁道总公司，510308，广州∥第一作者，硕士研究生）

基于拉格朗日乘数法的轮对外形轮廓拟合方法*

王晓浩1邢宗义2苏钊颐3李兆新3高旭东1

（1.南京理工大学机械工程学院，210094，南京；2.南京理工大学自动化学院，210094，南京；

3.广州市地下铁道总公司，510308，广州∥第一作者，硕士研究生）

为实现轮对外形轮廓线的准确提取，提出了一种基于拉格朗日乘数法的轮对外形轮廓线拟合方法。首先将2D激光位移传感器获得的数据点进行区段划分，然后分别确定每个区段数据点的最小二乘拟合方程，最后根据拟合方程建立最小二乘回归模型，以分段点存在三阶连续导数作为约束条件构建拉格朗日函数，采用拉格朗日乘数法求解获得拟合方程参数。采用现场实测数据进行了轮对外形轮廓线拟合，结果表明拟合的轮廓线在分段点处光滑连续，与实际数据点的最大偏移幅度小于0.1%，满足了外形轮廓线拟合精度要求，可用于轮对磨耗及尺寸参数的精确计算。

轨道交通车辆；轮对外形轮廓；分段曲线拟合；拉格朗日乘数法

First-author's address School of Mechanical Engineering，Nanjing University of Science and Technology，210094，Nanjing，China

列车在轨道上运行时，列车轮对会逐渐产生磨耗，从而造成轮对尺寸参数的变化。这将影响列车运行的平稳性与安全性，也将对旅客乘坐舒适度造成影响。当轮对磨耗率超过一定限度时，甚至会引起脱轨等行车安全事故［1-2］。磨耗量可以通过实际测量的轮对外形轮廓线与该型号标准外形轮廓线的差值进行计算，因此准确提取轮对外形轮廓线对轮对磨耗与尺寸参数获取具有重要作用。

实际工程中可通过激光CCD（图像传感器）［3］或激光测距［4］获取以离散数据点表达的轮对外形轮廓线。为了准确描述轮对外形轮廓线，可将测得的轮对踏面及轮缘外形的离散数据点拟合成曲线。由于轮对外形轮廓的复杂性，难以用一种曲线来拟合，故一般采用分段曲线拟合的方法［5］。众多学者针对分段曲线拟合做了大量的研究：文献［6］采用一种基于插值模型的最小二乘曲线拟合方法，得到了实测变形数据无突变和波动较小的分段拟合曲线；文献［7］提出了一种基于全局多目标规划模型的最小二乘曲线拟合方法，得到了无限逼近实测点的多项式拟合曲线；文献［8］采用一种基于最小二乘法的分段三次曲线拟合方法，得到了数据点自适应分段的多项式拟合曲线；文献［9］采用最小二乘迭代法，将离散数据拟合成圆弧和直线，所得结果能方便工程应用。

传统的全局曲线拟合没有考虑由高次多项式带来的附加振荡和分段点处的平滑性，或只是简单的采用插值法进行分段曲线拟合，降低了曲线拟合的精度，故本文提出一种基于拉格朗日乘数法的分段曲线拟合方法，实现了轮对外形轮廓线的精确拟合。首先，根据实测数据点提取出踏面内端面横坐标，并对实测数据进行区段划分；然后，分别确定每个区段数据点的最小二乘拟合方程；最后，根据拟合方程建立最小二乘回归模型，以分段点存在三阶连续导数作为约束条件构建拉格朗日函数，采用拉格朗日乘数法求解获得拟合方程参数，从而获得在全局上平滑连续的轮对外形轮廓线，为提高轮对磨耗及轮对尺寸参数的计算精度奠定基础。

1　车轮外形探测原理及装置

1.1车轮外形与踏面磨耗

列车车轮截面的示意图如图1所示。在检修车轮时，主要通过测量车轮外形参数来判断车轮的磨

耗程度。而车轮外形参数包括车轮直径、轮缘厚度、踏面磨耗和垂直磨耗等，其中以轮缘厚度、踏面磨耗最为关键。为了及时掌握轮缘厚、踏面磨耗的变化情况，需对车轮外形轮廓进行检测并准确拟合出车轮外形轮廓线。

图1　车轮截面示意图

1.2系统结构

车轮外形轮廓检测装置包括四组2D激光位移传感器、车号识别器、磁钢、工控机等，其组成如图2所示［11］。同侧轨道的两组2D激光位移传感器以一定的几何关系镜面对称安装于轨道两侧，每个2D激光位移传感器与轨道的相对距离L1=L2且均为100～450 mm，两组传感器的激光探测面处于同一平面并使得整体装置低于轨面，每个传感器与垂线的夹角β1=β2=45°。其安装示意图如图3所示。

2　轮廓线拟合算法原理介绍

轮对外形轮廓线拟合算法流程图如图4所示。算法主要包括两部分内容：一是通过对传感器输出数据预处理，将有效数据点变换融合到同一直角坐标系中；二是通过数据点分段和最小二乘拟合来构建拉格朗日函数，并采用拉格朗日乘数法对函数进行求解，得到拟合方程中系数的最小二乘解，从而获取在全局上平滑连续的轮对外形轮廓线。

图2　车轮外形检测系统组成

图3　2D激光位移传感器安装示意图

图4　轮对外形轮廓线拟合算法流程图

2.1 数据预处理

2.1.1数据的坐标变换及融合

传感器同时探测车轮得到探测点坐标，并通过坐标变换和坐标平移将两组传感器的输出点融合到同一坐标系上。对轨道外侧2D激光位移传感器输出的二维坐标值根据以下公式进行坐标变换：

u1，n=x1，ncosβ1+y1，nsinβ1ν1，n=y1，ncosβ1-x1，nsinβ1

对轨道内侧2D激光位移传感器输出的二维坐标值根据以下公式进行坐标变换：u2，n=x2，ncosβ2-y2，nsinβ2ν2，n=y2，ncosβ2+x2，nsinβ2

式中：

（x1，n，y1，n），（x2，n，y2，n）——两组传感器探测得到原始坐标系内一点的坐标值；

β1、β2——传感器与纵向竖直线的夹角；

（u1，n，ν1，n），（u2，n，ν2，n）——原始坐标经变换后得到的坐标值。

如（a，b）为外侧传感器的原始坐标原点在内侧传感器变换后的坐标系中的坐标值。则可根据以下公式，将坐标变换后的两组数据进行融合：

u0，n=u1，n+a u0，n=u2，nν0，n=ν1，n+b ν0，n=ν2，n

2.1.2滤除数据干扰点

因传感器自身因素或环境因素等，传感器探测点中存在一定的干扰点，为了提高轮缘尺寸的计算精度应进行干扰点滤除处理。主要通过获取踏面右端面的横坐标值，并以此建立滤窗对测量数据进行干扰点的去除处理。

在输出点变换融合后的数据点中提取出满足式（1）的点：

式（1）中xi为变换后坐标点的横坐标，对满足条件的横坐标值求平均作为踏面右端面的横坐标X。根据X的值建立（X-135，X+5）的一个滤窗，滤除横坐标不在该范围内的点，从而得到踏面有效数据点。

2.2曲线拟合

数据预处理之后的踏面有效数据是以离散点形式保存，为了提高轮缘高、轮缘厚的计算需对离散点进行曲线拟合，重构出轮对外形轮廓线。

2.2.1数据分段

城轨列车轮对踏面的标准曲线的每一段曲线都是由直线和圆弧组成，也就是说可以把标准曲线分成几段，每段曲线用指定函数进行拟合［12］。

设数据预处理后得到的数据点坐标为（xi，yi），i=1，2，…，n，将数据点分为K组S1，S2，…，SK，即

（x11，y11），（x12，y12），…，（x1N1，y1N1）∈S1

（x21，y21），（x22，y22），…，（x2N2，y2N2）∈S2

⋮

（xK1，yK1），（xK2，yK2），…，（xKNK，yKNK）∈SK其中，Nk（k=1，2，…，K）是区间Sk的数据点个数，则：

设每个区间分段点的横坐标为xo1，xo2，…，xo（K-1），则第k个区间的数据点横坐标满足关系式：

2.2.2确定分段拟合方程

根据每个分段区间上的数据点，确定K个数集上的拟合方程F（x），拟合方程一般可选为多项式形式，因为，在一定范围内，连续函数可用多项式任意逼近。则设F（x）的形式为：

式中：

a——待定系数；

f（x）——线性无关的基函数｛1，x，x2，…，xn｝；mk——该分段区间上基函数的个数。

2.2.3分段曲线全局连续化处理

应用数据点的误差最小二乘法进行最佳拟合是一种常用方法。本文采用最小二乘模型拟合分段曲线。令S为最小二乘估计量，则使总体拟合误差最小且在分段点处有三阶导数的最小二乘回归模型为：

为保证曲线在各分段点xok处，Fk-1（x）过渡到Fk（x）时曲线连续，需要前后两段曲线在xok处的函数值相等，即要加入端点约束条件：

Fk-1（xok）=Fk（xok）（4a）

同时，为保证曲线在xok处，Fk-1（x）过渡到Fk（x）时曲线平滑，且考虑使拟合曲线有较好的几何分析性能，要求前后两段曲线在xok处的三阶导数连续，即加入端点约束条件：

F′k-1（xok）=F′k（xok）（4b）

F″k-1（xok）=F″k（xok）（4c）

F‴k-1（xok）=F‴k（xok）（4d）

2.2.4数学模型的求解

该数学模型是求带有约束条件的最小二乘模型的极值问题，本文采用拉格朗日乘数法，将条件极值问题转化为无条件极值问题来求解［13］。

由上述的四个约束条件，设有如下方程：

Hk1=Fk-1（xok）-Fk（xok）=0（5a）

Hk2=F′k-1（xok）-F′k（xok）=0 （5b）

Hk3=F″k-1（xok）-F″k（xok）=0 （5c）

Hk4=F‴k-1（xok）-F‴k（xok）=0（5d）引入拉格朗日乘子λ，并根据（5）式构建出拉格朗日函数为：Lk（a，λ）=L k（a k1，a k2，…，a km k，λk1，λk2，λk3，λk4）=

Fk+λk1Hk1+λk2Hk2+λk3Hk3+λk4Hk4（6）

由多元函数求极值的必要条件，Lk（a，λ）分别对拟合函数中的未知系数a和约束条件未知系数λ求偏导得：

解齐次方程组（7）即可得待定系数a的解。

3　实例分析

在某地铁车辆段安装实际检测系统进行试验，列车以3 km/h的速度通过检测系统，将传感器的输出数据根据上述的轮对外形轮廓线拟合算法进行求解。

3.1初始数据的坐标变换及融合

两组2D激光位移传感器与轨道成45°角安装于轨道两侧，则β1、β2为45°，并对经过车轮的踏面进行探测，则探测得到的数据点坐标值按下式进行坐标变换：

u1，n=x1，ncos 45°+y1，nsin 45°

u2，n=x2，ncos 45°-y2，nsin 45°

ν1，n=y1，ncos 45°-x1，nsin 45°

ν2，n=y2，ncos 45°+x2，nsin 45°

3.2滤除干扰点

图5　轮对外形轮廓线的有效数据点

3.3数据分段

根据滤除干扰点得到踏面右端面横坐标值X，将踏面有效数据点按（X-130，X-100），［X-100，X-60），［X-60，X-46），［X-46，X-25），［X-25，X-6），［X-6，X）这6个数集分段并将踏面有效数据点分配到相对应的区间中，由此分段点xok的横坐标为100、60、46、25、6。

3.4求解拟合曲线方程

根据上述的分段情况，采用四阶拟合曲线确定该6个数集上的拟合方程：

根据最小二乘原理，使得总体拟合误差最小且在分段点上连续的6分段的最小二乘回归模型为：

s.t.F1（xok）=F2（xok）（10a）

F′k-1（xok）=F′k（xok）（10b）

F″k-1（xok）=F″k（xok）（10c）

F‴k-1（xok）=F‴k（xok）（10d）

在式（10）中，k=2，3，…，6。最后，根据拉格朗日乘数法要求建立拉格朗日函数L（a，λ），并由多元函数求极值的必要条件，令L（a，λ）分别对拟合函数中的未知系数a和约束条件未知系数λ求偏导，且令其结果为零建立方程组。利用MATLAB编程［14］求解该方程组，解得系数a如表1所示。

将系数a代入式（8），得到拟合的轮对外形轮廓线如图6所示。

图6　拟合的轮对外形轮廓线

由图6可见，踏面与轮缘连接处的曲线平滑性较差，可能由以下两种原因造成：一是轮对由于磨耗而造成外形实际轮廓如此；二是由于踏面与轮缘连接处的探测数据点缺失而造成曲线不平滑。现将曲线拟合值与实际测量值进行比较，得到曲线拟合前后法向误差如图7所示。

由图7可见，踏面段的拟合偏差较小，在±0.1 mm内，轮缘处的拟合偏差较大，在±0.4mm内，取轮缘处的拟合数据进行分析，分析结果如表2所示。可见，原测量值点（x，y）与经本文算法拟合后曲线上对应的点（x，y′）比较，两者之间最大误差R值不超过±0.39mm，偏移幅度A（A=R/100%）［15］小于0.096%，车轮轮缘厚及轮缘高一般为30mm左右，则拟合的偏移幅度对轮缘尺寸的误差影响为：30mm×0.096%=0.0288mm。

图7　曲线拟合前后法向误差

该误差值对轮对尺寸的检测精度无影响，表明该轮对外形轮廓线拟合方法能满足现场实际测量。

表2　原测量值与曲线拟合值比较

4　结语

本文提出了一种基于拉格朗日乘数法的轮对外形轮廓线拟合方法，实现了对外形轮廓线的准确提取。通过现场实际采集数据的求解分析，得出该方法能有效拟合出轮对外形轮廓线，且拟合轮廓线的值与实际数据点的最大偏移幅度不超过0.1%，证明了经过连续和平滑处理后的曲线基本达到了整体的连续性和较高阶的光滑性，为后续的几何分析奠定了基础。

［1］ 丁军君，黄运华，李芾.地铁车辆车轮磨耗仿真研究［J］.城市轨道交通研究，2014（10）：73.

［2］ Rovira A，Roda A，Marshall M B，et al.Experimental and numerical modelling of wheel-rail contact and wear［J］. Wear，2011，271（5）：911.

［3］ 陈静，禹建伟，谭志忠.地铁车辆轮对动态检测系统研究［J］.城市轨道交通研究，2014（7）：82.

［4］ 官鑫.基于激光测距的车轮踏面外形测量仪的研究［D］.成都：西南交通大学，2010.

［5］ 夏富杰.轮轨型面实测数据的分段曲线拟合法［J］.铁道学报，1998，20（1）：119.

［6］ 孙祥畅，栾元重，颜世英.曲线拟合与插值模型在矿区变形预测中的应用［J］.有色金属：矿山部分，2012，64（1）：66.

［7］ Pourkarimi L，Yaghoobi M A，Mashinchi M.Efficient curve fitting：An application of multi-objective programming［J］. Applied Mathematical Modelling，2011，35（1）：346.

［8］ 蔡山，张浩，陈洪辉，等.基于最小二乘法的分段三次曲线拟合方法研究［J］.科学技术与工程，2007，7（3）：352.

［9］ 陈国锋，王捷，钟晓波，等.车轮踏面外形测量的数值处理［J］.城市轨道交通研究，2014（1）：78.

［10］ TB/T 449—2003机车车辆车轮轮缘踏面外形［S］.

［11］ 朱跃，俞秀莲，邢宗义.城轨车辆轮对尺寸在线测量系统的研制［J］.机械制造与自动化，2014（2）：36.

［12］ 田卫平.激光测量轮廓中的数学方法应用［J］.计算机测量与控制，2006，14（9）：1233.

［13］ 张二艳，朱晓峰.拉格朗日乘数法求解约束线性回归问题研究［J］.北京印刷学院学报，2013，21（2）：76.

［14］ MATLAB7.0编程基础［M］.北京：机械工业出版社，2005.

［15］ 王可，唐忠辉，孙兴伟.基于拉格朗日乘数法对曲线点云数据的光顺处理［J］.沈阳工业大学学报，2013，35（3）：309.

Fitting Method for Wheel Contour Line Based on Lagrange Multiplier

Wang Xiaohao，Xing Zongyi，Su Zhaoyi，Li Zhaoxin，Gao Xudong

In order to achieve the accurate extraction of wheel contour line，Lagrange multiplier method is proposed to fit wheel contour line.Firstly，the data points measured by the 2D laser sensor are divided into several sections；then the least-squares fitting equations are established according to the data points of each section.Finally，a leastsquares regression model is built according to the fitting equation.By taking the break points of the third-order continuous derivative into account，the Lagrange multiplier method is applied to derive the least-squares solution.The model of actual data is soled and the result shows that the curve is smooth and continuous at the segmented points. The maximum offset amplitude compared with the actual data points is within 0.1%，which could meet the accuracy requirements.So the method proposed in this paper is significant for improving the detection accuracy of wheel wear and size.

rail transit vehicle；wheel contour line；piecewise curve fitting；Lagrange multiplier method

U 270.331+.1

10.16037/j.1007-869x.2015.07.009

2014-10-19）

*国家“八六三”高技术研究发展计划（2011AA110506）；广州市产学研协同创新重大专项资助项目（201508010010）