具有四个素因子的奇亏完全数

马小艳，王玉杰

（安徽师范大学数学与计算机学院，安徽芜湖241003）

具有四个素因子的奇亏完全数

马小艳，王玉杰

（安徽师范大学数学与计算机学院，安徽芜湖241003）

设n为自然数，σ（n）表示n的所有正因子和函数.令d是n的真因子，若n满足σ（n）=2n-d，则称n为亏因子为d的亏完全数.本文给出了具有四个素因子的奇亏完全数的一些性质的刻画.

亏完全数；因子和函数；阶

1　引言

设n为自然数，令ϕ（n），ω（n），σ（n）分别表示n的欧拉函数，不同素因子的个数和因子和函数.若σ（n）＞2n，称n为盈数.若σ（n）＜2n，称n为亏数.设d是n的真因子，若σ（n）=2n+d，则称n为盈因子为d的盈完全数.特别地，d=1时，称n为准完全数；若σ（n）=2n-d，则称n为亏因子为d的亏完全数.特别地，d=1时，则称n为殆完全数.2012年，文献［1］给出了盈完全数的上界，并且构造出三种类型的盈完全数：

类型1：n=2t-1（2t-2k-1），其中2t-2k-1是素数，盈因子为2k.

类型2：n=22p-1（2p-1），其中p和2p-1为素数，盈因子为2p（2p-1）.

类型3：n=2p-1（2p-1）2，其中p和2p-1为素数，盈因子为2p-1.

2013年，文献［2］有如下结论：除了40之外，所有具有两个不同素因子的盈完全数只有上述三种类型.同年，文献［3］在此基础上又证明了：不存在具有三个不同素因子的奇盈完全数；刻画了素因子个数不超过2的所有亏完全数的结构：若n为亏完全数且ω（n）≤2，则n=2α且盈因子d=1或n=2α（2α+1+2s-1）且盈因子d=2s，其中1≤s≤α且2α+1+2s-1为奇素数.最近，文献［4］又证明不存在具有三个素因子的奇亏完全数.在本文中，设m≥2为正整数，a∈Z.若（a，m）=1，称满足ax≡1（mod m）的最小正整数x为a对模m的阶，记作ordm（a）.本文主要研究具有四个素因子的奇亏完全数［5-7］.

2　主要结果和证明

证明根据引理1，2，3，即可得证.

［1］Poliack P，Shevelev P.On perfect and near-perfect numbers［J］.Number Theory，2012，132：3037-3046.

［2］Ren Xiaozhi，Chen Yonggao.On near-perfect numbers with two distinct prime factors［J］.Bull.Aust.Math.Soc.，2013，88：520-524.

［3］Tang Min，Ren Xiaozhi，Li Meng.On near-perfect and deficient-perfect numbers［J］.Colloq.Math.，2013，133：221-226.

［4］Tang Min，Feng Min.On deficient-perfect numbers［J］.Bull.Aust.Math.Soc.，2014，90：186-194.

［5］Cohen G L.On odd perfect numbers（II），multiperfect numbers and quasiperfect numbers［J］.Aust.Math.Soc.，1980，29：369-384.

［6］Hagis P，Cohen G L.Some results concerning quasiperfect numbers［J］.Aust.Math.Soc.，1982，33：275-286.

［7］Anavi A，Pollack P，Pomerance C.On congruences of the form σ（n）≡a（mod n）［J］.Int.Number Theory，2013，9：115-124.

On deficient-perfect numbers with four distinct prime divisors

Ma Xiaoyan，Wang Yujie

（School of Mathematics and Computer Science，Anhui Normal University，Wuhu241003，China）

For a positive integer n，let σ（n）denote the sum of the positive divisors of n.Let d be a proper divisor of n，we call n a deficient-perfect number if σ（n）=2n-d.In this paper，we characterize some properties of deficient-perfect numbers with four distinct prime divisors.

deficient-perfect numbers，the sum of the positive divisors，order

O156

A

1008-5513（2015）06-0643-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.06.013

2015-09-10.

国家自然科学基金（11471017）.

马小艳（1990-），硕士生，研究方向：组合数论.

2010 MSC：11A25