锥度量空间中c-距离下的不动点定理

韩艳，张建元

（昭通学院数学与统计学院，云南昭通657000）

锥度量空间中c-距离下的不动点定理

韩艳，张建元

（昭通学院数学与统计学院，云南昭通657000）

在锥度量空间中，用压缩性函数代替具体实数，获得了c-距离下的映射的新的不动点定理.所得结果在条件上不要求映射的非减性，且第一个定理去掉了锥的正规性，第二个定理去掉了映射的连续性，改进了原有的许多重要结论，并给出了相应的例子.

锥度量空间；c-距离；不动点

1　预备知识

2007年，文献［1］推广了度量空间的概念，用Banach空间取代实数空间，成功获得了满足不同压缩条件的压缩映射的不动点定理.随后，许多学者在此基础上作了进一步推广和改进，获得了很多很好的结果.有关不动点理论的研究也得到了飞跃的发展（见文献［1-4］）.2011年，文献［5］在半序的锥度量空间中引入了一个新的定义，即c-距离，并获得了非减映射相关的一些新的不动点定理，这些定理和结论比经典的Banach压缩映射定理更具有一般性，应用更广.这里c-距离是对w-距离［6］的推广，即每一个w-距离都是c-距离，但反过来不一定成立.在本文中，首先在锥度量空间中，进一步研究c-距离的映射的不动点定理，获得了具有更广泛意义的新的结论，对已有的结论做了改进和推广，同时给出了相应的例子.

设E是实Banach空间，θ是E中的零元，称P是E中的锥，若

（i）x∈P且λ≥0则λx∈P；

（ii）x∈P且-x∈P，则x=θ.

设P是E中的锥，≤是由P定义的半序，即∀x，y∈E，y-x∈P，则x≤y.锥P称为正规锥，如果存在常数K＞0，使得θ≤x≤y（∀x，y∈E）蕴含∥x∥≤∥y∥，其中K为正规常数.用x≪y表示y-x∈int P.

定义1.1［1］设X是一个非空集.若映射d：X×X→E满足：

（i）θ≤d（x，y）对一切x，y∈X.d（x，y）=θ当且仅当x=y；

（ii）d（x，y）=d（y，x），∀x，y∈X；

（iii）d（x，y）≤d（x，z）+d（z，y），∀x，y，z∈X，

则称d是X的一个锥度量.（X，d）称为锥度量空间.

定义1.2［1］设（X，d）称为锥度量空间，x∈X且｛xn｝n≥1是X中的一个序列.则

（i）称｛xn｝n≥1是一个柯西列，若对每一个c∈E且c≫θ，存在正整数N使得对所有的n，m＞N，d（xn，xm）≪c.

（ii）称｛xn｝n≥1是一个收敛列，若对每一个c∈E且c≫θ，存在正整数N使得对所有的n＞N，d（xn，x）≪c；其中x∈X，称x是｛xn｝n≥1的极限，记作：xn→x（n→∞）.

（iii）称（X，d）为完备的锥度量空间，若对X中的每个柯西列都收敛.

定义1.3［5］设（X，d）为锥度量空间，映射q：X×X→E满足下列条件：

（i）θ≤q（x，y），∀x，y∈X；

（ii）q（x，z）≤q（x，y）+q（y，z），∀x，y，z∈X；

（iii）∀x∈X，若存在u=ux∈P，使得q（x，yn）≤u，且序列｛yn｝收敛到一点y∈X，则有d（x，y）≤u；

（iv）对任意c∈E且c≫θ，存在e∈E且e≫θ，使得当q（z，x）≪e，q（z，y）≪e时，有d（x，y）≪c，则称q为X上的c-距离.

引理1.1［5］设（X，d）是锥度量空间，q为X上的c-距离，｛xn｝，｛yn｝是X中的序列.设x，y，z∈X，｛un｝是锥P中收敛到θ的一个序列，则下列结论成立：

（i）若q（xn，y）≤un且q（xn，z）≤un，则y=z.

（ii）若q（xn，yn）≤un且q（xn，z）≤un，则｛yn｝收敛到一点z∈X.

（iii）若对任意的m＞n有q（xn，xm）≤un，则｛xn｝是X中的一个Cauchy列.

（iv）若q（y，xn）≤un，则｛xn｝是X中的一个Cauchy列.

引理1.2［7］锥度量空间中收敛序列的极限是唯一的.

例1.1［5］令E=R，P=｛x∈E，x≥0｝，且X=［0，∞），d：X×X→E，其中

则（X，d）是一个锥度量空间.定义映射q：X×X→E使得∀x，y∈X，q（x，y）=y，则q是X上的c-距离.

例1.2［5］令E=C1R［0，1］，P=｛x∈E，x（t）≥0，t∈［0，1］｝（这是一个非正规的锥），且X=［0，∞），d：X×X→E，其中d（x，y）=|x-y|φ，∀x，y∈X，φ：［0，1］→R使得φ（t）=et，则（X，d）是一个锥度量空间.定义映射q：X×X→E使得∀x，y∈X，q（x，y）=（x+y）φ，则q是X上的c-距离.

注1.1［5］从上面两例子可以看出，在c-距离下，q（x，y）=q（y，x）不一定成立，且∀x，y∈X，q（x，y）=θ也不等价于x=y.

2　主要结果

定理2.1设（X，d）是完备的锥度量空间，q是X上的c-距离，连续映射T：X→X以及映射ai（i=1，···，5）：X→［0，1）满足下列条件：故q（v，v）=θ.得证.

注2.1在定理2.1中，令a4（x）=a5（x）=0，即得文献［8］的定理3.3，文献［9］中定理3.1.进一步令a1（x）=α，a2（x）=β，a3（x）=γ，可得文献［5］中的定理3.1，且去掉了文献［5，9］中映射的非减性.若同时令a2（x）=a3（x）=a4（x）=a5（x）=0可文献［8］的定理3.1.

定理2.2设（X，d）是完备的半序锥度量空间，P是正规常数为K的正规锥，q是X上的c-距离.连续映射T：X→X以及映射ai（i=1，···，5）：X→［0，1）满足下列条件：

矛盾，因此有Ty=y.若假设Tv=v，类似于定理2.1同理可证q（v，v）=θ.定理得证.

注2.2在定理2.2中，令a4（x）=a5（x）=0，即得文献［9］中定理3.2.进一步令a1（x）=α，a2（x）=β，a3（x）=γ，可得文献［5］中的定理3.2，同时去掉了文献［5，9］中映射的非减性.定理2.1和定理2.3对文献［10］进行了推广，在定理2.1和定理2.3中，取a1（x）=A，a2（x）=B，a3（x）=C，a4（x）=D，a5（x）=E，即为文献［10］中的定理2和注1.同时，若令定理中E=R，可得到度量空间中相应的不动点定理，对文献［11，12］做了推广.因此，本文对文献［5，8-12］均作了改进和推广.

从而定理2.1的条件均满足，所以映射T有一个不动点x=0，即T0=0，同时q（0，0）=0.

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Fixed point results under c-distance in cone metric spaces

Han Yan，Zhang Jianyuan

（Department of Mathematics，Zhaotong University，Zhaotong657000，China）

In this paper，some fixed point results for c-distance in cone metric spaces by replacing the constants in contractive conditions with functions are obtained.The results without appealing to nondecreasing in the condition.Furthermore，we delete the normal cone in the first theorem and the continuity of the mappings in the second theorem.The results generalize and improve some well-known comparable results.Some supporting examples are given.

cone metric space，c-distance，fixed point

O177.91

A

1008-5513（2015）06-0581-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.06.005

2014-05-06.

云南省教育厅科学研究基金（2013Y578）.

韩艳（1986-），硕士，助教，研究方向：非线性分析.

2010 MSC：54H25，47H10