模式思维方法在数项级数求和中的应用

石秀文



模式思维方法在数项级数求和中的应用

石秀文

(邢台学院 数信学院，河北邢台 054001)

数项级数求和是数学分析重点问题之一，建立与数项级数求和问题相关的知识模块，探求知识模块所对应的求和问题的解题思想和规律，把解题思维过程模式化，使学生能模仿这种思维方式来研究和探索问题，加深学生对知识的理解和综合运用，帮助学生提高逻辑思维能力和解决问题的能力。

模式思维；知识模块；数项级数求和；解题规律

所谓模式思维方法，在本文中是指在解决某一类较为复杂的数学问题时，可根据题目的条件或特点联想到相应的知识模块，依照一定解题规律进行解题思维活动。

一般而言，解决数学分析中某一类问题时，往往会涉及到多个简单知识点和基本的方法，按照问题所涉及到的知识点和基本方法进行合理的分类，组成几个不同知识模块，若能掌握每个模块所对应问题的一般解题思路或解题思想，就掌握了这类题目的解题规律。当遇到相关问题时，可根据题目的条件或特点较快的联想到相应的知识模块，依照相应的模式进行解题思维活动。如果教师能指导学生建立不同类型问题的知识模块，探求出相应问题的思维方法和解题规律，使学生的解题思维活动有一定的模式可依，将有效的避免学生遇到综合问题时，没思路或思路混乱的现象，促使学生更全面的理解和掌握相关的知识，帮助学生提高处理综合问题的能力。

数项级数求和是数学分析重点问题之一，本文通过运用模式思维方法来解决某些数项级数的求和问题，通过这一问题的讨论，帮助学生建立与问题相关的知识模块，探求级数求和问题的解题规律。

1 常见数项级数求和的基本思想和方法

1.1 定义法求和思想

求前ｎ项和常用方法：裂项相消求和法。

1.2 等比级数求和思想

将数项级数通过变形转化为等比级数，利用等比级数求和公式求和；化为等比级数常用错位相减法。

1.3 数项级数转化为函数项级数求和思想

按照数项级数特点引入变量，化数项级数为函数项级数，求出函数项级数和函数，进而得数项级数的和。求函数项级数和函数的方法：

（1）利用已知函数的幂级数展开式确定某些幂级数的和函数。

（2）幂级数逐项求导，化为等比级数来求和函数，或将幂级数逐项积分化为等比级数来求和函数。

（3）熟悉几个特殊的函数的傅里叶级数，可确定某些三角级数的和.

2 模块化分类及相应解题规律

列出各模块的知识点，总结一般求和思路。

2.1 模块一（裂项分解求和法）

基本知识点：

2.2 模块二（错位相减求和方法）

基本知识点：数项级数和的定义、等比级数求和公式、错位相减求和方法。

2.3 模块三（幂级数求和法）

基本知识点：（1）等比级数求和公式，常用函数的幂级数展式，如等。

（2）幂级数逐项求导、逐项积分性质；由幂级数的内闭一致收敛性可得：与成立。

求和方法1：转化为“幂”级数：

2.4 模块四

利用已知级数的和求某些特殊数项级数的和。

2.5 模块五（三角级数求和法）

利用已知简单函数的三角级数求某些含有正弦或余弦的数项级数的和。

基本知识点：（1）函数的傅立叶系数与傅立叶级数、奇偶函数的傅立叶展式；

3　模式思维方法应用举例

所以属于模块1类型（求解过程略）。

例2：求下列级数和

（2）解：幂级数解法2（先导后积）

例3：求下列级数和

解：本题特点可知，属于模块3的题型，（1）考虑幂级数解法一，（2）考虑幂级数解法题型二。

（2）明显是模块题型二。

解：题目特点都是等差数列与等比数列的商，是模块二，应用错位相减法化为等比级数求和。 故所以;同理可求。

化为模块一的类型，易求之。

=

同例3（1）。

分析：考虑模块五的思路。

以上通过级数求和问题讨论了模式思维方法在解题中的应用。现在我们大力提倡创造性学习，而创新思想的产生是经过长期知识的积累和不断探索的结果，模仿学习正是创新学习的基础。通过实施模式思维方式解题，使学生经过由模仿到理解，由理解到熟练，由熟练得到巧思，最终达到触类旁通的效果，能更有效的提高学生分析问题、解决问题能力，能为促进学生创新解题和知识网络结构的形成奠定基础。

[1]华东师范大学数学系.数学分析(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2010.

[2]国防科技大学数学竞赛指导组.大学生数学竞赛指导[M].北京:清华大学出版社,2009.

[3]程家柏,沈育民.数学学习关键在于模仿与反思[J].咸宁学院学报,2005,25(3).

2014-10-07

石秀文（1965-）,女,河北邢台人,教授,主要从事《数学分析》、《常微分方程》等教学研究工作.

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1672-4658(2015)02-0170-04